Phát biểu “Trong một tam giác vuông, cạnh đối diện với góc vuông là cạnh nhỏ nhất” là sai

Vì trong tam giác vuông, góc vuông là góc lớn nhất nên cạnh đối diện với góc vuông phải là cạnh lớn nhất.

Phát biểu “Trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn nhất là góc tù” là sai

Vì trong một tam giác góc đối diện với cạnh lớn nhất vẫn có thể là góc vuông hoặc góc nhọn.

Các phát biểu đúng là:

“Trong một tam giác tù, cạnh đối diện với góc tù là cạnh lớn nhất”

“Trong một tam giác, góc đối diện với cạnh nhỏ nhất là góc nhọn”

Ta có: `BC>AC>AB` nên `BC+BC+BC>AC+AB+BC`, tức là `3BC>18`

Do đó `BC>6cm` (1)

Lại có: `BC<AC+AB` nên `BC+BC<AC+AB+BC`, tức là `2BC<18`

Do đó `BC<9cm` (2)

Do `BC` là số chẵn nên từ (1) và (2) suy ra `BC=8cm`

Xét `triangleABC`. Giả sử điểm `M` là giao của ba đường trung trực trong tam giác và `M` nằm trên cạnh `BC`. Khi đó ta có: `MA=MB=MC`

Do `M in BC` và `MB=MC` nên `M` là trung điểm của `BC`

Do `MA=MB; MA=MC` nên `triangleMAB` cân tại `M`; `triangleMAC` cân tại `M`

`=>hat(MBA)=hat(MAB); hat(MCA)=hat(MAC)`

Mà `triangleABC` có: `hat(A)+hat(B)+hat(C)=180^o` (Định lí tổng ba góc trong tam giác)

`=>hat(MBA)+hat(MAB)+hat(MCA)+hat(MAC)=180^o`

`=>2.(hat(MAB)+hat(MAC))=180^o`

`=>hat(MAB)+hat(MAC)=90^o`

`=>triangleABC` vuông tại `A`

Vậy đáp án đúng là "Tam giác vuông"

Xét `triangleABC` cân tại `B`. Ta có: `AB=BC` (tính chất tam giác cân) (1)

Giả sử điểm `H` là trực tâm đồng thời cũng là trọng tâm của tam giác

Khi đó ta có:

Đường thẳng `AH` là đường cao đồng thời cũng là đường trung tuyến của `triangleABC`

`=>triangleABC` cân tại `A`

`=>AB=AC` (2)

Từ (1) và (2) suy ra `AB=BC=AC=>triangleABC` đều `=>hat(A)=60^o`

Do đó để trực tâm `H` đồng thời là trọng tâm `triangleABC` thì cần thêm điều kiện là `hat(A)=60^o`.

Gọi giao điểm của hai đường trung tuyến `BM` và `CN` là `G`

Khi đó ta có `G` là trọng tâm của `triangleABC`

`=>BG=2/3BM; CG=2/3CN`

Xét `triangleGBC` có: `GB+GC>BC` (Bất đẳng thức tam giác)

`=>2/3(BM+CN)>BC`

`=>BM+CN>3/2BC=6(cm)`

Do đó đáp án là `6,5cm`

Xét `triangleABM` có đường cao xuất phát từ đỉnh `A` đồng thời cũng là đường phân giác

`=>triangleABM` cân tại `A`

`=>AB=AM`

Mà `AC=2AM` (Do `M` là trung điểm của `BC`)

`=>AC=2AB`

Do ba cạnh của `triangleABC` là ba số tự nhiên liên tiếp nên:

`AC-AB le 2=>2AB-AB le 2=>AB le 2=>AB in {1;2}`

Với `AB=1(cm)` thì `AC=2(cm); BC=3(cm)` (Không thỏa mãn bđt tam giác vì `3=1+2`)

Với `AB=2(cm)` thì `AC=4(cm); BC=3(cm)` (Thỏa mãn bđt tam giác vì `4<2+3`)

Vậy `AB=2(cm); AC=4(cm); BC=3(cm)`

Kẻ `IK bot AC` tại `K`; `IM bot AB` tại `M`

Xét `triangleBIM` và `triangleBIH` có:

`hat(BMI)=hat(BHI)=90^o` (Vì `IK bot AC` tại `K`; `IM bot AB` tại `M`)

`BI`: cạnh chung

`hat(MBI)=hat(HBI)` (Vì `BI` là tia phân giác góc `B`)

`=>triangleBIM=triangleBIH` (cạnh huyền - góc nhọn)

`=>BM=BH` (hai cạnh tương ứng)

Chứng minh tương tự, ta cũng có: `CK=CH; AM=AK`

Do đó:

`AC-AB=(AK+CK)-(AM+BM)`

`=AK+CK-AM-BM`

`=CK-BM` (vì `AK=AM`)

`=CH-BH` (vì `CK=CH; BM=BH`)

Vì `CH-BH=AC-AB=1(cm)`

`CH+BH=BC=7(cm)`

Nên: `BH=(7-1):2=3(cm); CH=3+1=4(cm)`

Vậy `BH=3(cm); CH=4(cm)`

Ta có: `BM=BC` (gt) `=>triangleBMC` cân tại `B`

`=>hat(MCB)=hat(CMB)` (tính chất) (1)

Lại có: `{(hat(MCB)+hat(MCA)=hat(ACB)=90^o,,,,),(hat(CMB)+hat(MCH)=90^o,,,,):}`

`=>hat(MCA)=hat(MCH)` và `hat(MCN)=hat(MCH)`

Xét `triangleMHC` và `triangleMNC` có:

`MC`: cạnh chung

`hat(MCH)=hat(MCN)` (cmt)

`NC=HC` (gt)

`=>triangleMHC=triangleMNC` (c.g.c)

`=>hat(MNC)=hat(MHC)=90^o` (hai cạnh tương ứng)

`=>MN bot AC`

Xét `triangleAMN` có `AM, AN` lần lượt là đường xiên và đường vuông góc hạ từ `A` xuống `MN`

`=>AM>AN` (Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên)

Ta có: `{(BM=BC,,,,),(HC=CN,,,,),(AM>AN,,,,):}``=>BM+MA+HC>BC+CN+NA`

`=>AB+HC>BC+AC`

Vậy `AB+HC>BC+AC`

Xét `triangleABC` có `AM` là đường trung tuyến

`=>M` là trung điểm của `BC=>MB=MC` (tính chất trung điểm)

Xét `triangleMAB` và `triangleMDC` có:

`MA=MD` (gt)

`hat(AMB)=hat(DMC)` (hai góc đối đỉnh)

`MB=MC` (cmt)

`=>triangleMAB=triangleMDC` (c.g.c)

`=>hat(MAB)=hat(MDC)` (hai góc tương ứng); `AB=DC` (hai góc tương ứng)

Mà 2 góc này ở vị trí so le trong `=>AB` // `CD`

Vì `AB` // `CD; AB bot AC=>CD bot AC`

Xét `triangleBAK` và `triangleDCK` có:

`BA=DC` (cmt)

`hat(BAK)=hat(DCK)=90^o` (Do `BA bot AC; DC bot AC`)

`KA=KC` (Do `K` là trung điểm của `DC`)

`=>triangleBAK=triangleDCK` (c.g.c)

`=>KB=KD` (hai cạnh tương ứng)

Xét `triangleABC` có các đường trung tuyến `AM; BK` cắt nhau tại `N`

`=>N` là trọng tâm `triangleABC`

`=>KN=1/3BK` (1)

Xét `triangleACD` có các đường trung tuyến `CM; DK` cắt nhau `I`

`=>I` là trọng tâm `triangleACD`

`=>KI=1/3DK` (2)

Mà `BK=DK` (cmt) nên từ (1) và (2) suy ra `KN=KI` `=>triangleKNI` cân tại `K`

Ta có: `triangleABC` cân tại `A` (Vì `AB=AC`)

`=>AH` là đường cao đồng thời là đường phân giác

`=>hat(A_1)=hat(A_2)` (1)

Mà `DH` // `AC` (gt) `=>hat(H_1)=hat(A_2)` (hai góc so le trong) (2)

Từ (1) và (2) suy ra `hat(A_1)=hat(H_1) (=hat(A_2))=>triangleADH` cân tại `D=>DA=DH`

Vì `DH` // `AC` (gt) `=>hat(H_2)=hat(ACB)` (hai góc đồng vị) (3)

Mặt khác `hat(ABC)=hat(ACB)` (do `triangleABC` cân tại `A`) (4)

Từ (3) và (4) suy ra `hat(H_2)=hat(ABC) (=hat(ACB))`

`=>triangleDBH` cân tại `D`

`=>DB=DH`

Mà `DA=DH` (cmt)

`=>DB=DA`

`=>D` là trung điểm của `AB`

`=>CD` là đường trung tuyến của `triangleABC`

Xét `triangleABC` cân tại `A` có `AH` là đường cao nên `AH` đồng thời là đường trung tuyến

Hai đường trung tuyến `AH, CD` của `triangleABC` cắt nhau tại `G`

`=>G` là trọng tâm của `triangleABC`

Gọi `E` là trung điểm của `AC`

Ta có `BE` là trung tuyến của `triangleABC`

Do `G` là trọng tâm của `triangleABC` nên `G in BE` và `BG=2/3BE`

`=>3BG=2BE` (5)

Trên tia đối của tia `EB` lấy điểm `K` sao cho `EK=EB`

`=>BK=BE+EK=2BE` (6)

Từ (5) và (6) suy ra `3.BG=BK`

Xét `triangleAEK` và `triangleCEB` có:

`AE=CE; hat(AEK)=hat(CEB)` (hai góc đối đỉnh); `EK=EB`

`=>triangleAEK=triangleCEB` (c.g.c)

`=>AK=BC` (hai cạnh tương ứng)

Xét `triangleABK` có: `AB+AK>BK` (Bất đẳng thức tam giác)

`=>AB+BC>3BG` (do `AK=BC; BK=3BG`)

Mà `AC>AH` (đường xiên lớn hơn đường vuông góc)

`=>AB+BC+AC>3BG+AH` (đpcm)