Nếu tứ giác `ABCD` nội tiếp thì mới có tổng hai góc đối bằng `180^o`

`=>` Khẳng định “Tứ giác `ABCD` có tổng hai góc đối bằng `180^o`” là sai

Vì các hình chữ nhật, hình vuông, hình thang cân luôn nội tiếp được đường tròn nên đáp án đúng là hình chữ nhật

+ Đáp án `50^o ; 60^o ; 130^o ; 140^o`:

`{(hat A+hatC=50^o + 130^o=180^o),(hatB+hatD=60^o + 140^o=200^o):}` loại

+ Đáp án `65^o ; 85^o ; 115^o ; 95^o`:

`{(hat A+hatC=65^o + 115^o=180^o),(hatB+hatD=85^o + 85^o=180^o):}` đúng

+ Đáp án `82^o ; 90^o ; 98^o ; 100^o`:

`{(hat A+hatC=82^o + 98^o=180^o),(hatB+hatD=90^o + 100^o=190^o):}` loại

Xét tứ giác nội tiếp `ABCD` có `hat A+hatC=180^o`

`=> 2x+x=180^o`

`=> 3x=180^o`

`=> x=60^o`

Vậy số đo của `x` là `60^o`

Vì `F` nằm trên đường tròn đường kính `BD` (giả thiết) nên: `hat(BFD)=90^o`

Xét tứ giác `ACBF` có: `hat(BAC)=hat(BFC)=90^o`, mà hai đỉnh `A` và `F` kề nhau cùng nhìn cạnh `BC`

`=>` tứ giác `ACBF` là tứ giác nội tiếp 

Khi đó xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác `ACBF` có:

`hat(FAB)=hat(FCB)` (hai góc nội tiếp cùng chắn cung `BF`)

Vì `D` nằm trên đường tròn đường kính `AB` (giả thiết) nên: 

`hat(BDA)=90^o => hat(BDM)=90^o`

Vì `MC` vuông góc với `BC` tại `C` (giả thiết) nên:  `hat(BCM)=90^o`

Xét tứ giác `MCBD` có: `hat(BDM)+hat(BCM)=90^o +90^o=180^o`, mà hai góc này ở vị trí đối nhau

`=>`  Tứ giác `MCBD` là tứ giác nội tiếp (dấu hiệu nhận biết)

Ta có `ABCD` nội tiếp đường tròn `(O)`

`=> hat(BCD)+hat(BAD)=180^o` (tổng hai góc đối diện)  `(1)`

Do `AD////BC => hat(BCD)+hat(CDA)=180^o` (tổng hai góc trong cùng phía)  `(2)`

Từ `(1)` và `(2)` `=> hat(CDA)=hat(BAD)`

`=>` `ABCD` là hình thang cân

Ta có: `hat(AEB)=90^o` (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

`hat(ABD)=90^o` (tính chất tiếp tuyến)

`=> hat(ABE)=hat(ADB)` (cùng phụ với `hat(DAB)`)

Mặt khác `hat(AFE)=hat(ABE)` (hai góc nội tiếp cùng chắn một cung)

`=> hat(ADB)=hat(AFE)`

`=> CDEF` là tứ giác nội tiếp (dấu hiệu nhận biết)

Mà hai góc`hat( CFE` và `hat(CDE` là hai góc đối nhau của tứ giác `CDEF`

Khi đó:  `hat(CFE)+hat(CDE)=180^o`

Ta có: `hat(BCE)=hat(DCF)` (hai góc đối đỉnh)

Đặt `x=hat(BCE)=hat(DCF)`

Theo tính chất góc ngoài tam giác có:

     `hat(ABC)=x+40^o` `(1)`

     `hat(ADC)=x+20^o` `(2)`

Lại có `hat(ABC)+hat(ADC)=180^o` `(3)`(hai góc đối diện của tứ giác nội tiếp)

Từ `(1);(2);(3)` ta nhận được `(x+20^o)+(x+40^o)=180^o => x=60^o`

Từ `(1)` ta có: `hat(ABC)=60^o + 40^o= ` `100^o`

Theo giả thiết ta có `OC⊥AB;CG⊥AG` nên suy ra `hat(AOC)=hat(AGC)=90^o`

Nói cách khác `O, G` cùng nhìn `AC` dưới một góc vuông

Do đó tứ giác `ACGO` nội tiếp đường tròn đường kính `AC` nên `hat(OGA)=hat(OCA)`

Mà `△OAC` vuông cân tại `O` nên:

            `hat(OCA)=45^o`

Suy ra `hat(OGA)= 45^o`

Ta lại có `hat(OGH)+hat(OGA)=hat(HGA)=hat(AGC)=90^o`

`=> hat(OGH)=90^o-hat(OGA)=90^o-45^o=45^o`

Do đo `hat(OGH)=45^o`