Tứ giác có tổng `2` góc đối bằng `180^o` là tứ giác nội tiếp nên khẳng định “Tứ giác có tổng hai góc bằng `180^o`” là sai

Xét nửa `(O)` có `AF` là tiếp tuyến tại `F` nên `hatF=90^o`

                        `BD` là tiếp tuyến tại `B` nên `hatB=90^o`

Xét tứ giác `OBDF` có `hat F+hatB=90^o + 90^o=180^o` mà hai góc ở vị trí đối diện

`=>` Tứ giác `OBDF` là tứ giác nội tiếp

Gọi `O` là trung điểm của `AH`

Xét `△ADH` vuông tại `D`: tâm đường tròn ngoại tiếp `△ADH` là trung điểm `O` của `AH`

`=> A;D;H in (O)`

Xét `△AEH` vuông tại `E`:  tâm đường tròn ngoại tiếp `△AEH` là trung điểm `O` của `AH`

`=> A;E;H in (O)`

`=> A;D;H;E in (O)`

Vậy tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác `ADHE` là trung điểm của `AH`

Xét tứ giác `ABCD` nội tiếp `(O)` có `hat(DCx)=hat(DAB)=140^o`

Xét `△ADE` có `hat(DAB)=hat(EDQ)+hatE` (tính chất góc ngoài của tam giác)

`=> 140^o=hat(EDA)+30^o`

`=> hat(EDA)=110^o`

`=> hat(ADC)=180^o-110^o=70^o` (hai góc kề bù)

Vậy `hat(ADC)=70^o`

Vì `CE` là tiếp tuyến của `(O)` tại tiếp điểm `C` nên `hat(OCE) =90^o` (tính chất tiếp tuyến)

Xét tứ giác `OCEI` có `hat(OIE)+hat(OCE) = 90^o + 90^o =180^o` mà hai góc đối nhau

`=>` Tứ giác `OCEI` là tứ giác nội tiếp (dấu hiệu nhận biết)

`=> hat(CEM)+hat(COB)=sđoverset(frown)(CB)` (Tính chất góc ở tâm)

Xét `(O)` đường kính `AB` có `sđoverset(frown)(AB)=180^o=sđ overset(frown)(AC)+sđ overset(frown)(CB)`

`=> 180^o =120^o +sđ overset(frown)(CB)=>sđoverset(frown)(CB)=60^o`

Vậy `hat(CEM)=60^o`

Vì `I` là điểm chính giữa cung `AB`(không chứa `C` và `D`) nên `sđoverset(frown)(AI)=sđ overset(frown)(BI)`

Xét `(O)` có `hat(CDI)=1/2 . sđ overset(frown)(CI)=1/2. (sđ overset(frown)(CB) +sđ overset(frown)(BI))=1/2(sđ overset(frown)(CB) +sđ overset(frown)(AI))` (góc nội tiếp)

Mặt khác `hat(IEF)=1/2 (sđ overset(frown)(CB)+sđ overset(frown)(AI))` (góc có đỉnh bên trong đường tròn)

Vậy `hat(CDI)=hat(IEF)`

Do tứ giác `ABCD` nội tiếp đường tròn tâm `(O)` nên ta có:

`hat(CAD)=hat(CBD)` (cùng chắn cung `CD`)

Do đo ta có  `hat(CAD)=40^o`

Tổng ba góc trong một tam giác bằng `180^o` nên:

`hat(CAD)+hat(ACD)+hat(ADC)=180^o`

`=> hat(ADC)=180^o-(hat(CAD)+hat(ACD))`

                    `=180^o-(60^o + 40^o)`

                    `=80^o`

Vậy `hat(ADC)=80^o`

Xét tứ giác `ACBD` có  `hat(BAC)=hat(BDC)=90^o` và cùng nhìn đoạn `BC`

`=>` tứ giác `ACBD` là tứ giác nội tiếp (dấu hiệu nhận biết)

`=> hat(BDA)+hat(BCA)=180^o`

`<=> hat(BDA)=180^o-30^o=150^o`

Có góc `hat(ADH)` và `hat(BDA)` kề bù nên :

`hat(ADH)=180^o-hat(BDA)=` `30^o`

Kẻ đường kính `AD` của `(O)`

`=> hat(ACD)=90^o` (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Ta có: `ABCD` nội tiếp đường tròn

`=> hat(ABH)=hat(ADC)` (góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện)

Xét `△ABH` và `△ADC` có:

`{(hat(AHB)=hat(ACD)=90^o),(hat(ABH)=hat(ADC)):}`

`=> △ABHᔕ△ADC` `(g.g)`

`=> (AB)/(AD)=(AH)/(AC)` (tỉ số đồng dạng)

`=> 8/(2R)=5/15=> R=(8.15)/(2.5)=` `12` `(cm)`

Xét `△ABP` có:

 `BN⊥AP;AH⊥BP` (giả thiết)

`=> M` là trực tâm tam giác

`=> PM⊥AB`

Mà `AC⊥AB` (giả thiết)

`=> PM////AC` (từ vuông góc đến song song)

`=> hat(MPH)=hat(HCD)` `(1)`(hai góc đồng vị)

Dễ dàng chứng minh `MNPH` nội tiếp

`=> hat(MNH)=hat(MPH)` `(2)` (hai góc nội tiếp chắn một cung)

Từ `(1)` và `(2)` `=> ` `hat(MNH)=hat(HCD)`

`=> HNDC` nội tiếp đường tròn