Gọi `O` là trung điểm của `BC`

Ta có: `AO` là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên `OA=OB=OC`

`=> O` là tâm của đường tròn đi qua `3` điểm `A,B,C`

Vậy tâm đường tròn ngoại tiếp `△ABC` là trung điểm của cạnh huyền `BC`

Hay khẳng định trên là đúng

Xét `△ABC` cân tại `A` có: `AH` là đường cao

`=> AH` đồng thời là đường phân giác của góc `A`

Xét `△ABD` và `△ACD` có:

        `AB=AC` (`△ABC` cân tại `A`)

        `hat(BAD)=hat(CAD)` (`AD` là phân giác của góc `hat A`)

        `AD`: cạnh chung

`=> △ABD=△ACD(c.g.c)`

`=> hat(ABD)=hat(ACD)=90^o` (hai góc tương ứng)

Ta có:

+) `△ABD` vuông tại `B`(`hat(ABD)=90^o`)

 `=>` `A,B,D` cùng thuộc một đường tròn đường kính `AD` `(1)`

+) `△ADC` vuông tại `C` (`hat(ACD)=90^o`)

`=>` `A,C,D` cùng thuộc một đường tròn đường kính `AD` `(2)`

Từ `(1)` và `(2)` suy ra `A,B,D,C` cùng thuộc đường tròn đường kính `AD`

Vậy `B,C` cùng thuộc đường tròn đường kính `AD`

Kẻ `OE⊥AB;OF⊥AC`

`=>` `E` là trung điểm của `AB,F` là trung điểm của `CD`

Vì dây `AB=AC` nên `OE=OF` (hai dây bằng nhau cách đều tâm)

Xét tứ giác `OEIF` có: `hatE=hatF=hatI=90^o`

Suy ra tứ giác `OEIF` là hình chữ nhật và `OE=OF` nên tứ giác `OEIF` là hình vuông

`=>OE=OF=EI`

Mà `AB=IA+IB=6cm => EB=3cm`

`=> EI=EB-IB=1cm`

`=> OE=OF=1cm`

Vậy khoảng cách từ tâm `O` đến mỗi dây là `1cm`

Ta có `AB` là trung trực của `OI` (giả thiết)

`=> HO=HI`

    `AH=HB` (chứng minh trên)

`=> OAIB` là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

Mà `OI⊥AB` (giả thiết)

`=> OAIB` là hình thoi (dấu hiệu nhận biết)

Xét `(O)` có:

+) `ME,MF` là hai tiếp tuyến

`ME` cắt `MF` tại `M`

`=> ME = MF` và `hat(EMO)=hat(FMO)=30^o`

`=> △EMF` cân tại `M` và `hat(ÈM)=60^o`

Suy ra `△EMF` là tam giác đều

`=> EF=ME=MF` mà `EF+ME+MF=30(cm)` (chu vi tam giác `MEF` là `30cm`)

`=> EF=ME=MF=30/3=10(cm)`

Gọi `H` là giao điểm của `EF` và `OM`

Vì `△EMF` là tam giác đều, `MH` là tia phân giác

`=> MH` đồng thời là đường trung trực của `△EMF`

`=> EH=(EF)/2=5(cm) => MH=sqrt(10^2-5^2)=5sqrt3 (cm)`

`=> S_(MEF)=1/2 . MH.EF=1/2 . 5sqrt3 .10=25sqrt3(cm^2)`

Vậy diện tích tam giác `MEF` là `25sqrt3` `cm^2`

Qua tâm `O` kẻ `HK⊥MN => HK⊥PQ`

`=> {(MH=(MN)/2=20(cm)),(PK=(PQ)/2=24(cm)):}` (định lí đường kính và dây cung)

Xét `△OHM` vuông tại `H`

`OM^2=OH^2+HM^2` (định lí Pytago)

`OH=sqrt(OM^2-HM^2)` 

`OH=sqrt(25^2-20^2)`

`OH=15(cm)`

Xét `△OPK` vuông tại `K`

`OP^2=OK^2+KP^2` (định lí Pytago)

`OK=sqrt(OP^2-PK^2)`

`OK=sqrt(25^2-24^2)`

`OK=7(cm)`

Ta có `HK` là khoảng cách giữa hai dây `MN` và `PQ`

`=> HK=OH+OK=` `22(cm)`

Xét `△ABC` có:

`hat A+hatB+hatC=180^o` (định lí tổng ba góc trong một tam giác)

`=> 40^o + 60^o +hatC=180^o`

`=> hatC=180^o-60^o-40^o=80^o`

`=> hat A < hatB < hatC` 

`=> BC < AC < AB` (định lí về góc và cạnh đối diện)

`=> ` `OI > OK > OH` (định lí khoảng cách từ tâm đến dây)

Gọi `H` là giao điểm của `MN` và `OI`

`=> OI⊥MN;MH=HN` (định lí đường nối tâm)

Đặt `OH=x => HI=21-x`

Xét `△MHO` vuông tại `H`

    `OM^2=OH^2+MH^2` (định lí Pytago)

  `=> MH^2=OM^2-OH^2`

Xét `△MHI` vuông tại `H`

`IM^2=MH^2+IH^2` (định lí Pytago)

    `=> MH^2=IM^2-HI^2`

    `OM^2-OH^2=IM^2-HI^2`

  `<=> 10^2-x^2=17^2-(21-x)^2`

  `<=> 100-x^2=289-441+42x-x^2`

  `<=> 42x=252`

  `<=> x=6(cm)`

`=> MH=sqrt(10^2-8^2)=8(cm)`

   `MN=2MH=16(cm)`

Ta có `OA⊥AI;KI⊥AI` nên `OA////KI`

`=> hat(AOI)=hat(OIK)` (hai góc so le trong)

Mà `hat(AOI)=hat(BOI)` (tính chất của đường tiếp tuyến)

`=> hat(BOI)=hat(OIK)`

Xét `△OIK` có `hat(BOI)=hat(OIK)` nên `△OIK` cân tại `K`

Kẻ `KH⊥OI` tại `H`

Vì `△IOK` cân tại `K` nên `KH` vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến

`=> IH=OH=1/2 OI=1/2 . 15=7,5(cm)`

Xét `△OHK` và `△OBI` có:

         `hatB=hatH=90^o`

         `hatO` chung

`=> △OHKᔕ△OBI (g.g)`

`=> (OH)/(OK)=(OB)/(OI)`

`=> (7,5)/(OK)=9/15`

`=> OK=(7,5 . 15)/9=12,5 (cm)`

Vậy `OK=12,5` `cm`

Kẻ tiếp tuyến chung `AE` của hai đường tròn

Ta có: `OE` và `IE` lần lượt là đường phân giác của `hat(MEA)` và `hat(NEA)`

`=> {(hat(OEA)=1/2hat(MEA)),(hat(IEA)=1/2 hat(NEA)):}` (tính chất phân giác)

`=> hat(OEI)=hat(OEA)+hat(IEA)=1/2(hat(MEA)+hat(NEA))=1/2 180^o=90^o`

Xét `△OEI` vuông tại `E`

`AE^2=OA.AI` (hệ thức lượng trong tam giác)

`=8.6=48`

`=> AE=4sqrt3(cm)`

Mà `EM=EN=EA` (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

`=> MN=2AE=` `8sqrt3 (cm)`