Bài tập luyện số 3

Câu 1

Chọn đáp án đúng nhất

Khẳng định “Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm cạnh huyền của tam giác đó” là đúng hay sai?

Đúng

Sai

Đáp án đúng là:

Đúng

Kiểm tra

Xem hướng dẫn giải

Câu tiếp theo

Hướng dẫn giải chi tiết

Gọi $O$ là trung điểm của $BC$

Ta có: $AO$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên $OA=OB=OC$

$=> O$ là tâm của đường tròn đi qua $3$ điểm $A,B,C$

Vậy tâm đường tròn ngoại tiếp $△ABC$ là trung điểm của cạnh huyền $BC$

Hay khẳng định trên là đúng

Câu 2

Chọn đáp án đúng nhất

Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ , đường cao $AH$ . Đường vuông góc với $AC$ tại $C$ cắt đường thẳng $AH$ ở $D$ . Các điểm $B,C$ cùng thuộc đường tròn đường kính nào sau đây?

$AH$

$AC$

$AB$

$AD$

Xem gợi ý

Gợi ý

+ Sử dụng trường hợp bằng nhau của tam giác chỉ ra được $hat(ABD)=hat(ACD)$

+ Sử dụng định lí về đường trung tuyến của tam giác vuông để kết luận

Đáp án đúng là:

$AD$

Kiểm tra

Xem hướng dẫn giải

Câu tiếp theo

Hướng dẫn giải chi tiết

Xét $△ABC$ cân tại $A$ có: $AH$ là đường cao

$=> AH$ đồng thời là đường phân giác của góc $A$

Xét $△ABD$ và $△ACD$ có:

$AB=AC$ ( $△ABC$ cân tại $A$ )

$hat(BAD)=hat(CAD)$ ( $AD$ là phân giác của góc $hat A$ )

$AD$ : cạnh chung

$=> △ABD=△ACD(c.g.c)$

$=> hat(ABD)=hat(ACD)=90^o$ (hai góc tương ứng)

Ta có:

+) $△ABD$ vuông tại $B$ ( $hat(ABD)=90^o$ )

$=>$ $A,B,D$ cùng thuộc một đường tròn đường kính $AD$ $(1)$

+) $△ADC$ vuông tại $C$ ( $hat(ACD)=90^o$ )

$=>$ $A,C,D$ cùng thuộc một đường tròn đường kính $AD$ $(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra $A,B,D,C$ cùng thuộc đường tròn đường kính $AD$

Vậy $B,C$ cùng thuộc đường tròn đường kính $AD$

Câu 3

Điền đáp án đúng

Cho đường tròn $(O)$ và $2$ dây $AB,CD$ bằng nhau và vuông góc với nhau tại $I$ . Giả sử $IA=2cm,IB=4cm$ .

Khoảng cách từ tâm $O$ đến mỗi dây là $cm$

Xem gợi ý

Gợi ý

Sử dụng kiến thức “Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm”

Đáp án đúng là:

$1$

Kiểm tra

Xem hướng dẫn giải

Câu tiếp theo

Hướng dẫn giải chi tiết

Kẻ $OE⊥AB;OF⊥AC$

$=>$ $E$ là trung điểm của $AB,F$ là trung điểm của $CD$

Vì dây $AB=AC$ nên $OE=OF$ (hai dây bằng nhau cách đều tâm)

Xét tứ giác $OEIF$ có: $hatE=hatF=hatI=90^o$

Suy ra tứ giác $OEIF$ là hình chữ nhật và $OE=OF$ nên tứ giác $OEIF$ là hình vuông

$=>OE=OF=EI$

Mà $AB=IA+IB=6cm => EB=3cm$

$=> EI=EB-IB=1cm$

$=> OE=OF=1cm$

Vậy khoảng cách từ tâm $O$ đến mỗi dây là $1cm$

Câu 4

Chọn đáp án đúng nhất

Cho điểm $I$ trên đường tròn $(O;R)$ , đường trung trực của $OI$ cắt đường tròn $(O)$ tại $A$ và $B$ . Tứ giác $OAIB$ là hình gì?

Hình bình hành

Hình thoi

Hình chữ nhật

Hình vuông

Xem gợi ý

Gợi ý

Sử dụng dấu hiệu nhận biết của các loại tứ giác

Đáp án đúng là:

Hình thoi

Kiểm tra

Xem hướng dẫn giải

Câu tiếp theo

Hướng dẫn giải chi tiết

Ta có $AB$ là trung trực của $OI$ (giả thiết)

$=> HO=HI$

$AH=HB$ (chứng minh trên)

$=> OAIB$ là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

Mà $OI⊥AB$ (giả thiết)

$=> OAIB$ là hình thoi (dấu hiệu nhận biết)

Câu 5

Chọn đáp án đúng nhất

Cho đường tròn $(O)$ . Từ một điểm $M$ ở ngoài $(O)$ , vẽ hai tiếp tuyến $ME$ và $MF$ ( $E,F$ là tiếp điểm) sao cho $hat(EMO)=30^o$ . Biết chu vi tam giác $MEF$ là $30cm$ . Diện tích tam giác $MEF$ là:

$10sqrt3$ $cm^2$

$25sqrt3$ $cm^2$

$50sqrt3$ $cm^2$

$20sqrt3$ $cm^2$

Xem gợi ý

Gợi ý

Bước 1: Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau để tính toán $EF$

Bước 2: Sử dụng định lý pytago để tính $MH$ và từ đó tính được $S_(MEF)$

Đáp án đúng là:

$25sqrt3$ $cm^2$

Kiểm tra

Xem hướng dẫn giải

Câu tiếp theo

Hướng dẫn giải chi tiết

Xét $(O)$ có:

+) $ME,MF$ là hai tiếp tuyến

$ME$ cắt $MF$ tại $M$

$=> ME = MF$ và $hat(EMO)=hat(FMO)=30^o$

$=> △EMF$ cân tại $M$ và $hat(ÈM)=60^o$

Suy ra $△EMF$ là tam giác đều

$=> EF=ME=MF$ mà $EF+ME+MF=30(cm)$ (chu vi tam giác $MEF$ là $30cm$ )

$=> EF=ME=MF=30/3=10(cm)$

Gọi $H$ là giao điểm của $EF$ và $OM$

Vì $△EMF$ là tam giác đều, $MH$ là tia phân giác

$=> MH$ đồng thời là đường trung trực của $△EMF$

$=> EH=(EF)/2=5(cm) => MH=sqrt(10^2-5^2)=5sqrt3 (cm)$

$=> S_(MEF)=1/2 . MH.EF=1/2 . 5sqrt3 .10=25sqrt3(cm^2)$

Vậy diện tích tam giác $MEF$ là $25sqrt3$ $cm^2$

Câu 6

Điền đáp án đúng

Cho đường tròn $(O;25cm)$ và hai dây $MN////PQ$ . Biết dây $MN$ dài $40cm$ và $PQ$ dài $48cm$ ( $MN$ và $PQ$ khác phía so với $O$ ).

Khi đó khoảng cách giữa dây $MN$ và $PQ$ là $cm$

Xem gợi ý

Gợi ý

Qua tâm $O$ kẻ $HK⊥MN$

Đáp án đúng là:

$22$

Kiểm tra

Xem hướng dẫn giải

Câu tiếp theo

Hướng dẫn giải chi tiết

Qua tâm $O$ kẻ $HK⊥MN => HK⊥PQ$

$=> {(MH=(MN)/2=20(cm)),(PK=(PQ)/2=24(cm)):}$ (định lí đường kính và dây cung)

Xét $△OHM$ vuông tại $H$

$OM^2=OH^2+HM^2$ (định lí Pytago)

$OH=sqrt(OM^2-HM^2)$

$OH=sqrt(25^2-20^2)$

$OH=15(cm)$

Xét $△OPK$ vuông tại $K$

$OP^2=OK^2+KP^2$ (định lí Pytago)

$OK=sqrt(OP^2-PK^2)$

$OK=sqrt(25^2-24^2)$

$OK=7(cm)$

Ta có $HK$ là khoảng cách giữa hai dây $MN$ và $PQ$

$=> HK=OH+OK=$ $22(cm)$

Câu 7

Chọn đáp án đúng nhất

Cho tam giác $ΔABC$ nội tiếp đường tròn tâm $O$ . Biết $hat A=40^o;hatB=60^o$ . Kẻ $OH,OK,OI$ lần lượt vuông góc với các cạnh $AB,AC,BC$ . So sánh các đoạn $OH,OK,OI$ ta được:

$OH > OK > OI$

$OK > OH > OI$

$OI > OH > OK$

$OI > OK > OH$

Xem gợi ý

Gợi ý

So sánh các góc trong tam giác $ABC$ từ đó so sánh được các cạnh đối diện và các khoảng cách từ tâm đến dây

Đáp án đúng là:

$OI > OK > OH$

Kiểm tra

Xem hướng dẫn giải

Câu tiếp theo

Hướng dẫn giải chi tiết

Xét $△ABC$ có:

$hat A+hatB+hatC=180^o$ (định lí tổng ba góc trong một tam giác)

$=> 40^o + 60^o +hatC=180^o$

$=> hatC=180^o-60^o-40^o=80^o$

$=> hat A < hatB < hatC$

$=> BC < AC < AB$ (định lí về góc và cạnh đối diện)

$=>$ $OI > OK > OH$ (định lí khoảng cách từ tâm đến dây)

Câu 8

Điền đáp án đúng

Cho hai đường tròn $(O;10cm)$ và $(I;17cm)$ cắt nhau tại $M$ và $N$ . Biết khoảng cách gữa hai tâm là $21cm$ .

Độ dài dây cung $MN$ là $cm$

Xem gợi ý

Gợi ý

Gọi $H$ là giao điểm của $MN$ và $OI$

Sử dụng định lí Pytago để tính độ dài $MH$ từ đó tính được độ dài $MN$

Đáp án đúng là:

$16$

Kiểm tra

Xem hướng dẫn giải

Câu tiếp theo

Hướng dẫn giải chi tiết

Gọi $H$ là giao điểm của $MN$ và $OI$

$=> OI⊥MN;MH=HN$ (định lí đường nối tâm)

Đặt $OH=x => HI=21-x$

Xét $△MHO$ vuông tại $H$

$OM^2=OH^2+MH^2$ (định lí Pytago)

$=> MH^2=OM^2-OH^2$

Xét $△MHI$ vuông tại $H$

$IM^2=MH^2+IH^2$ (định lí Pytago)

$=> MH^2=IM^2-HI^2$

$OM^2-OH^2=IM^2-HI^2$

$<=> 10^2-x^2=17^2-(21-x)^2$

$<=> 100-x^2=289-441+42x-x^2$

$<=> 42x=252$

$<=> x=6(cm)$

$=> MH=sqrt(10^2-8^2)=8(cm)$

$MN=2MH=16(cm)$

Câu 9

Chọn đáp án đúng nhất

Hai tiếp tuyến tại $A$ và $B$ của đường tròn $(O)$ cắt nhau tại $I$ . Đường thẳng qua $I$ và vuông góc với $IA$ cắt $OB$ tại $K$ . Biết $OA=OB=9cm;OI=15cm.$ Độ dài đoạn thẳng $OK$ là:

$12,5$ $cm$

$7,5$ $cm$

$15$ $cm$

$20$ $cm$

Xem gợi ý

Gợi ý

Kẻ $KH$ vuông góc với $OI$ .

Đáp án đúng là:

$12,5$ $cm$

Kiểm tra

Xem hướng dẫn giải

Câu tiếp theo

Hướng dẫn giải chi tiết

Ta có $OA⊥AI;KI⊥AI$ nên $OA////KI$

$=> hat(AOI)=hat(OIK)$ (hai góc so le trong)

Mà $hat(AOI)=hat(BOI)$ (tính chất của đường tiếp tuyến)

$=> hat(BOI)=hat(OIK)$

Xét $△OIK$ có $hat(BOI)=hat(OIK)$ nên $△OIK$ cân tại $K$

Kẻ $KH⊥OI$ tại $H$

Vì $△IOK$ cân tại $K$ nên $KH$ vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến

$=> IH=OH=1/2 OI=1/2 . 15=7,5(cm)$

Xét $△OHK$ và $△OBI$ có:

$hatB=hatH=90^o$

$hatO$ chung

$=> △OHKᔕ△OBI (g.g)$

$=> (OH)/(OK)=(OB)/(OI)$

$=> (7,5)/(OK)=9/15$

$=> OK=(7,5 . 15)/9=12,5 (cm)$

Vậy $OK=12,5$ $cm$

Câu 10

Chọn đáp án đúng nhất

Cho hai đường tròn $(O;8cm)$ và $(I;6cm)$ tiếp xúc ngoài tại $A$ . $MN$ là một tiếp tuyến chung ngoài của $(O)$ và $(I)$ . Độ dài đoạn thẳng $MN$ là:

$MN=8cm$

$MN=8sqrt3 cm$

$MN=9cm$

$MN=9sqrt3cm$

Xem gợi ý

Gợi ý

Kẻ tiếp tuyến chung $AE$ của hai đường tròn

Sử dụng tính chất tia phân giác để chỉ ra tam giác $OEI$ vuông

Đáp án đúng là:

$MN=8sqrt3 cm$

Kiểm tra

Xem hướng dẫn giải

Hướng dẫn giải chi tiết

Kẻ tiếp tuyến chung $AE$ của hai đường tròn

Ta có: $OE$ và $IE$ lần lượt là đường phân giác của $hat(MEA)$ và $hat(NEA)$

$=> {(hat(OEA)=1/2hat(MEA)),(hat(IEA)=1/2 hat(NEA)):}$ (tính chất phân giác)

$=> hat(OEI)=hat(OEA)+hat(IEA)=1/2(hat(MEA)+hat(NEA))=1/2 180^o=90^o$

Xét $△OEI$ vuông tại $E$

$AE^2=OA.AI$ (hệ thức lượng trong tam giác)

$=8.6=48$

$=> AE=4sqrt3(cm)$

Mà $EM=EN=EA$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

$=> MN=2AE=$ $8sqrt3 (cm)$