Xét tam giác `ABC` có: `hat(A)+hatB + hatC =180^o` (định lý tổng ba góc trong tam giác)

`100^o +hatB +hatC =180^o`

`=> hatB+hatC=80^o`

Mà theo đề: `hatB -hatC =20^o`

`=> hatB = (80^o + 20^o):2=50^o`

Vậy `hatB=50^o`

Xét `triangleABC` và `triangleADC` đã có:

`+) AB=AD` (gt)

`+) AC` chung

Do đó để `triangle ABC=triangle ADC` (c.c.c) thì phải thêm điều kiện `BC=DC`

Ta có: " Nếu một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng một cạnh và hai góc kề của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau theo trường hợp góc – cạnh – góc”

Ta có: `triangleABC=triangleDEF`

Suy ra `BC = EF = 5cm; AC = DF = 7 cm` (hai cạnh tương ứng)

Vậy chu vi tam giác `ABC` là: `3 + 5 + 7` `= 15` (cm)

Xét `triangleABD` và `triangleCDB` có: 

`AB=CD` (gt)

`AD=BC` (gt)

`BD` là cạnh chung

`=> triangleABD= triangleCDB` (c.c.c)

Theo đề: `hatA : hatB : hatC =2:3:4`

`=> hatA/2=hatB/3=hatC/4`

Mặt khác: `triangleABC` có: `hatA + hatB + hatC=180^o`

Áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau ta có: 

`hatA/2=hatB/3=hatC/4=(hatA+hatB+hatC)/(2+3+4) = 180^o/9=20^o`

Suy ra `hatC/4=20^o=>hatC=``80^o`

Vậy `hatC=80^o`

Xét `triangle ABD` và `triangle EBD` có: 

`AB=BE` (gt)

`hat(ABD)=hat(EBD)` (`BD` là tia phân giác) 

`BD` là cạnh chung

`=> triangleABD= triangle EBD` (c.g.c)

`=> hat(BAD)=hat(BED)` (hai góc tương ứng)

`=> hat(BED)=90^o=>``hat(DEC)=90^o`

`triangleABC` cân tại `A`

`=>hatB=hatC=40^o`

Xét `triangle ABC` có: 

`hatA+hatB+hatC=180^o`

`hatA+40^o +40^o=180^o`

`=> hatA=100^o`

Vậy `hatA=100^o`

Xét `triangle ABC` cân tại `A` `=> AB=AC; hatB=hatC`

Xét `triangle BAD` và `triangleCAE` có: 

`BD=CE` (gt)

`hatB=hatC` (cmt)

`AB=AC` (cmt)

`=> triangleBAD = triangle CAE` (c.g.c)

`=> AD=AE` (2 cạnh tương ứng)

`=> triangleADE` cân tại `A`

`=> hat(ADE)=hat(AED)`

Xét tam giác `OAC` và tam giác `OBC` là:

`OA = OB` (gt)

`hat(AOC)=hat(BOC)` (vì `Oz` là tia phân giác `hat(xOy)`)

`OC` là cạnh chung

`=> triangle OAC =triangleOBC` (c.g.c)

`=>hat(OAC)=hat(OBC)` (hai góc tương ứng)

Ta có:

   `hat(OAC)+hat(xAC)=180^o`       (hai góc kề bù)

   `hat(OBC)+hat(yBC)=180^o`       (hai góc kề bù)

Mà `hat(OAC)=hat(OBC)`

`=> hat(xAC)=hat(yBC)`

Xét `triangleOAH` và `triangleOBH` có:

`OA=OB` (gt)

`hat(AOH)=hat(BOH)` (vì tia `Oz` là phân giác của `hat(xOy)`)

`OH` là cạnh chung

`=> hat(AHO) =hat(BHO)` (hai góc tương ứng)

Mà `hat(AHO)+hat(BHO)=180^o` (hai góc kề bù)

`=> hat(AHO)=hat(BHO)=180^o/2=90^o`

Vậy `hat(OHA)=90^o`

Xét `triangle ACI` và `triangle BCI` có:

`AI=IB`

`hat(AIC)=hat(BIC)`

`CI` là cạnh chung

`=> triangleACI =triangleBCI` (c.g.c) 

`=> AC=BC`

Tự chứng minh: `triangleAID=triangleBID`(c.g.c) 

`=>AD=BD`

Xét `triangleACD` và `triangleBCD` có:

`AC=BC` (cmt)

`AD=BD` (cmt)

`CD` là cạnh chung

`=> triangle ACD= triangle BCD` (c.c.c)

Xét `triangleABD` và `triangleACE` có:

`hatE=hatD=90^o`

`AB=AC`

`hatA` chung

`=>triangleABD=triangleACE` (cạnh huyền - góc nhọn)

`=>AD=AE` (hai cạnh tương ứng)

Xét `triangleAEK` và `triangleADK` có: 

`hatE=hatD=90^o`

`AE=AD`

`AK` cạnh chung

`=>triangleAEK = triangleADK` (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

`=>DK=EK` (hai cạnh tương ứng)

Xét `triangleABM` và `triangleACM` có:

`AB=AC` (gt)

`BM=MC` (vì `M` là trung điểm của `BC`)

`AM` là cạnh chung

`=>triangleABM=triangleACM` (c.c.c)

Vậy phát biểu `1` đúng

Vì `triangleABM` `=triangleACM` (cmt)

`=> hatM_1 = hatM_2` (hai góc tương ứng)

Mà `hat(M_1)=hat(M_2)=180^o/2 = 90^o`

`=> AM bot BC` (`1`)

Vậy phát biểu `2` đúng 

Xét `triangleDBM` và `triangleDCM` có:

`DB=DC`

`BM=MC`

`MD` là cạnh chung

`=>triangleDBM= triangle DCM` (c.c.c)

`=>hatM_3=hatM_4`

Mà `hatM_3+hatM_4=180^o` (hai góc kề bù)

`=> hat(M_3)=hat(M_4) = 180^o/2 =90^o`

`=> DM bot BC` (`2`)

Từ (`1`),(`2`) `=> A,M,D` thẳng hàng 

Vậy phát biểu `3` đúng

Ta có: `triangleDBM=triangleDCM` (cmt) 

nên `hat(DBM)=hat(DCM)` (hai góc tương ứng)

Vậy phát biểu `4` sai

Xét `triangleOAC` và `triangleOBD` có: 

`hat(CAO)=hat(OBD)(=90^o)`

`AO=OB` (`O` là trung điểm `AB`)

`hat(COA)=hat(BOD)` (`2` góc đối đỉnh)

`=> triangleAOC= triangleBOD` (g.c.g)

`=>OC=OD` (hai cạnh tương ứng)

Xét `triangleOCE` và `triangleODE` có:

`OE` là cạnh chung

`hat(COE)=hat(DOE)(=90^o)`

`OC=OD` (cmt)

`=>triangleOCE=triangleODE` (c.g.c)

`=>CE=DE` (hai cạnh tương ứng)

Ta có: `CE=ED=EB+BD``=EB+AC`

(có `BD=AC` vì `triangleBOD=triangleAOC` chứng minh phần trên)