Trong một tam giác vuông thì tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác nằm ở trung điểm cạnh huyền hay chính là nằm ở trung điểm cạnh lớn nhất.

Trong một đường tròn, đường kính là dây lớn nhất

Như vậy, dây lớn nhất của đường tròn `(O; 25)` có độ dài là `50`

" Trong hai dây của một đường tròn, dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn " là sai

Ta có `H` là trung điểm `BC``=>``BH=HC=BC:2=12`

Xét `(O)`, có H là trung điểm của BC

`=>``OH bot BC` (qh giữa đường kính và dây cung)

Xét `triangleOBH` vuông tại `H`, ta có :

`OH^2+BH^2=OB^2` ( Đ/l pytago)

`=>` `OH^2=15^2-12^2=>OH=``9`

Kẻ `OH botAB=>` Khoảng cách từ tâm `O` đến dây `AB` là `OH` 

Xét `(O)` , có `OH botAB` 

`=>` `H` là trung điểm `BC` ( qh giữa đường kính và dây cung)

`=> BH=AB=AB:2=12 (cm)`

Xét `triangleOBH` vuông tại `H` , ta có:

`OH^2+BH^2=OB^2` ( Đ/l Pytago)

`=>OH^2=15^2-12^2``=>OH=9(cm)`

Nếu `d` cắt `(O;6cm)` tại `1` điểm (hay `d` tiếp xúc với `(O;6cm)=>d=R=6cm`

Nếu `d` cắt `(O;6cm)` tại `2` điểm `=> d < R = 6cm`

Gọi `(O; 12)` có dây cung `AB` vuông góc với bán kính tại trung điểm `H` của `OD` 

`=> HO=HD=OD:2=12:2=6`

Xét `triangleOBH` vuông tại `H`, ta có:

`OH^2+BH^2=OB^2` ( Đ/l Pytago)

`=>BH^2=12^2-6^2=>BH=``6sqrt3(cm)`

Để `a` cắt `(O)` tại `2` điểm phân biệt `=> OH < R = 5 cm`

Ta có `OM = OA – AM = R – AM = 6,5 – 4 = 2,5`

Xét `triangleOCM` vuông tại `M`, ta có

`OM^2+MC^2=OC^2` ( Đ/l Pytago)

`=>MC^2=6,5^2-2,5^2=>MC=6(cm)`

Xét (O; OA), có `OA botOB` tại `M`

`=> M` là trung điểm `DC` ( qh giữa đường kính và dây cung) 

`=> CD=2.MC=2.6=12`

Ta có: `MB=MO+OB=2,5+6,5=9`

`S_(triangleBCD)=1/2MB.CD=1/2 .9.12=``54` (Đơn vị  `S`)

Theo đề bài ta có `MN` là tiếp tuyến của `(O)`

`=>OHbotMN` tại `H`

Mà `AB//MN` 

`=> OHbotAB` tại `I`

Xét `(O;OH), có `OHbotAB` tại `I`

`=> I` là trung điểm `AB` ( qh giữa đường kính và dây cung)

`=> IA=IB=AB:2=1,6R:2=0,8R`

Xét `triangleOBI` vuông tại `I` , ta có:

`OI^2+BI^2=OB^2` ( Đ/l Pytago)

`=>OI^2=R^2-(0,8)^2=0,36R^2=>OI=0,6R`

Ta có `AB//MN` , `triangleOAB` và `triangleOMN` đồng dạng

`=>(AB)/(MN)=(OI)/(OH)=>MN=(AB.OH)/(OI)=(1,6R.R)/(0,6R)=(8R)/3`

( Tỉ số hai đường cao tương ứng bằng tỉ số đồng dạng)

`=>S_(triangleOMN)=1/2(OH.MN)=1/2.R.(8R)/3``=(4R^2)/3`

Xét `triangleABC`, có `AB^2+AC^2=3^2+4^2=25^2=BC^2`

`=>triangleABC` vuông tại `A` ( định lý Pytago đảo) 

`=>`` AC` là tiếp tuyến của `(B;3)`

Xét `(O)` có dây `CD` vuông góc với `OA` tại trung điểm `I` của `OA`

`=>` `I` là trung điểm của `CD` (liên hệ đường kính và dây cung)

`=>` `ACOD` là hình bình hành

Và `OAbotCD` (giả thiết)

`=>ACOD` là hình thoi

`=>AC = OC`, mà `OC = OA = R`

`=>ACO` là tam giác đều

`=>AC=OC` , mà `OC=OA=R`

`=>ACO` là tam giác đều

`=>hat(AOC)=60^o`

`=>hat(OMC)=30^o`

Xét `(O)` có `MC, MD` là 2 tiếp tuyến cắt nhau

`=>MC=MD` và `MO` là phân giác của `hat(CMD)`

`=>hat(OMD)=hat(OMC)=30^o=>hat(CMD)=60^o`

Vậy đáp án `hat(OMD)=45^o` là sai.

Ta có: `R_1+R_2=10+3=13`

`=>R_1+R_2>OO'=>``(O)` cắt `(O')` tại `2` điểm phân biệt

Gọi `H` là giao điểm của `AB` với `OO’`

Ta có `OA = OB = 17` ; `O’A = O’B = 10`

`=> O, O’` thuộc trung trực của `AB`

`=> OO’` vuông góc với `AB, HA = HB`

Áp dụng định lí pytago vào các tam giác vuông ta có:

`(OA)^2-(OH)^2=(O'A)^2-(O'H)^2=(AH)^2`

Đặt `OH=x=>O'H=OO'-OH=21-x`

`=>17^2-x^2=10^2-(21-x)^2`

`x=15=>AH=8``=>AB=16`

Xét `(O; r)` , có  tại `M`

`=> M` là trung điểm `CD` (qh giữa đường kính và dây cung)

`=> MC = MD = CD : 2 = 16 : 2 = 8`

Ta có `MO = R – MH = R – 4`

Xét `triangleOMC` vuông tại `M` , ta có:

`OM^2+CM^2=OC^2` ( Đ/l Pytago)

`=>(R-4)^2+8^2=R^2`

`=>R^2-8R+16+64-R^2=0`

`=>R=10`