`triangleABC` có: `AB < BC < AC(`VÌ `2cm < 4cm < 5cm)`

`=> hatC < hatA < hatB(`định lý`)`

Ta có: `|4-13| < 8 < 4+13 => 9 < 8 < 17` (vô lý)

`=>`Bộ ba cạnh `8cm; 4cm; 13cm` không thể tạo thành `1` tam giác

`triangle ABC` có: 

`=>|AB-BC| < AC < AB+BC(`Bất đẳng thức tam giác`)`

`=>|1-5| < AC <1+5`

`=>4 < AC < 6`

Mà `AC` là số nguyên `=> AC=5cm`

Vậy `AC=5cm`

`hatM = 2hatN = 2hatP` . BCNN`(1;2;2)=2`

`=> (hatM)/2 = (2hatN)/2 = (2hatP)/2`

`=> (hatM)/2 = (hatN)/1 = (hatP)/1`

Mà `hatM + hatN + hatP = 180^o(`tổng số `3` góc`)`

Áp dụng tính chất dẫy tỉ số bằng nhau, ta có:

`(hatM)/2 = (hatN)/1 = (hatP)/1 = (hatM +hatN + hatP)/(2+1+1) = 180^o/4 =45^o`

`=> (hatM)/2 = 45^o=>hatM =90^o ; (hatN)/1 = 45^o=>hatN=45^o ; (hatP)/1 = 45^o=>hatP = 45^o`

`triangle MNP` có: `hatP = hatN < hat M(`vì `45^o<90^o)`

`=> MN = MP < NP``(`định lý`)`

Xét `triangleABC` có `d` là đường trung trực của `BC` cắt `AC` tại `D` nên:

`DB = DC (`tính chất đường trung trực`)`

Mà `D` nằm giữa `A` và `C` nên: `AC = AD + DC = AD + DB`

Xét `triangle ABD` có: `AD + DB > AB (`bất đẳng thức tam giác`)`

`=> AC > AB`

Vậy `AC>AB`

Vì `BI` là phân giác của `hat(ABC) => hat(B_1) = hat(B_2) =hat(B)/2`

`CI` là phân giác `hat(ACB) => hat(C_1) = hat(C_2) = hatC/2`

`Delta ABC`có: `AB < AC(`gt`)`

`=> hatC < hatB`

`=> hatC/2 < hatB/2`

`=> hat(C_2) < hat(B_2)`

`=> hat(IBC) > hat(ICB)`

TH`1`: có thêm `1` cạnh là `13cm`

`=>` bộ ba cạnh là `6cm ; 13cm ; 13cm`

Ta có:

 `|13-13| < 6 <13+13(`thỏa mãn`)`

`|6-13| < 13 < 6+13(`thỏa mãn`)`

`=>`Tạo thành `1` tam giác `(`bất đẳng thức tam giác`)`

Chu vi tam giác là:

`6+13+13=32(cm)`

TH`2`: Có thêm `1` cạnh là `6cm`

`=>` bộ ba cạnh là `6cm ; 6cm ; 13cm`

Ta có: `|13-6| < 6 <6+13(`vô lý)

`=>`Không tạo thành `1` tam giác `(`bất đẳng thức tam giác`)`

Vậy chu vi tam giác là `32cm`

Vì `Din` đường trung trực của `BC`

`=>DB = DC = 4cm`

Mà `AC = 7cm`

`=> AD + DC = 7cm =>AD =3cm`

Vậy `DC =4cm; AD=3cm`

Vì `MH_|_AB` tại `H`

`=>MH` là đường vuông góc từ `M` xuống `AB;MB` là đường xiên từ `M` xuống `AB`

`=> MH < MB` `(`Đường vuông góc nhỏ hơn đường xiên`)`       `(1)`

Vì `MK_|_AC` tại `K`

`=>MK` là đường vuông góc từ `M` xuống `AC; MC` là đường xiên từ `M` xuống `AC`

`=> MK < MC (`Đường vuông góc nhỏ hơn đường xiên`)`       `(2)`

Từ `(1)` và `(2)` `=>  MH + MK < MB + MC` mà `MB+MC=BC`

`=> MH + MK < BC`

Xét `triangleABH` và `triangle ACH` có:

`hat(AHB) = hat(AHC)=90^o`

`AB = AC` `(` do `triangleABC` cân tại `A``)`

`hat(ABH) = hat(ACH)`

`=> triangleABH = triangleACH(`cạnh huyền `-`góc nhọn`)`

`=> hat(BAH) = hat(CAH)(``2` góc tương ứng`)`

`=> AH` là phân giác tam giác `triangleABC`

Xét `triangleABC` có: `2` đường phân giác `AH` và `BK` cắt nhau tại `I`

`=> I` cách đều `3` cạnh `triangleABC`

`=>IM = IN = IH`

Ta có: `hat(B_1) + hat(BAC) = 90^o(2` góc phụ nhau`)`

`hat(C_1) + hat(BAC) =90^o(2` góc phụ nhau`)`

`=> hat(B_1) = hat(C_1)`

Ta có: `hat(ABE) + hat(B_1) = 180^o(2` góc kề bù`)`

`hat(ACF) + hat(C_1) =180^o(2` góc kề bù`)`

Mà `hat(B_1) = hat(C_1)(`chứng minh trên`)``=> hat(ABE) = hat(ACF)`

Xét `triangleABE` và `triangleFCA` có:

`AB = AF(`giả thiết`)`

`hat(ABE) = hat(ACF)(`chứng minh trên`)`

`BE = CA(`giả thiết`)``=> triangleABE = triangleFCA(``c.g.c)`

`=>AE = AF ( 2` cạnh tương ứng`)`   `(1)`

`hat(AEB) = hat(FAC)(2` góc tương ứng`)`

Ta có: 

`hat(EAF) = hat(EAB) + hat(BAC) + hat(FAC)`

`= hat(EAB) + hat(BAC) + hat(AEB)`

`=90^o(`Do `triangleAEK`vuông tại`K)`

`=> hat(EAF) = 90^o`   `(2)`

Từ `(1)` và `(2)``=> triangleAFE` vuông cân tại `A`

Xét `triangleABC` có: `

`hat(ABC) + hat(ACB) + hat(BAC) =180^o(`định lý tổng `3` góc tam giác`)`

`hat(ABC) +35^o + 90^o = 180^o`

`=> hat(ABC) = 55^o`

Có `K in`đường trung trực của`BC`

`=> KB = KC`

`=> triangleKBC` cân tại `K`

`=> hat(KBC) = hat(KCB) = 35^o`

Ta có: `hat(ABC) = hat(ABK) + hat(KBC)`

`=>55^0 = hat(ABK) + 35^o`

`=> hat(ABK) = 20^o`

Vậy `hat(ABK) = 20^o`

Xét `triangle ABC` có

`2` đường cao `BD` và `EC` cắt nhau tại `H`

`=> H` là trực tâm `triangleABC`

`=>AH` là đường cao của `triangleABC`

Mà `triangleABC`cân tại `A`

`=> AH` là đường cao đồng thời là giân giác `hat(BAC)`

Có `AH` là phân giác `hat(BAC)`

`=>hat(A_1) = hat(A_2) = hat(BAC)/2 =20^o`

Xét `triangle AEH` có

`hat(A_1) +hatE +hat(H_1) = 180^o(` tổng `3` góc tam giác`)`

`20^o + 90^o +hat(H_1) = 180^o`

`=> hat(H_1) = 70^o`

mà `hat(H_1) = hat(H_3)(2` góc đối đỉnh`)=> hat(H_3) = 70^o`

Tương tụ `hat(H_4) = 70^o`

`=> hat(BHC)= hat(H_3) + hat(H_4) = 70^o + 70^o = 140^o`

Vậy `hat(BHC) =140^o`

Xét `triangleABC` có `I` là giao điểm của ba đường phân giác`(`gt`)`

`=>`điểm `I` cách đề ba cạnh của `triangleABC` hay `ID=IE=IF(`tính chất`)`

Xét `triangleADI` vuông tại `D` và `triangleAEI` vuông tại `E` có:

`AI` chung; `ID = IE(`chứng minh trên`)`

`=>triangleADI = triangleAEI(`cạnh huyền `-`cạnh góc vuông`)``=> AE = AD= 3(cm)`

Chứng minh tương tự ta có: `triangle BDI = triangle BFI ; triangleCFI = triangleCEI`

`=> BD = BF = 4(cm) ; CF = CE = 6(cm)`

Khi đó: 

`AB = AD + BD = 3 +4 =7cm;`

`AC = AE + CE = 3 +6 = 9cm;`

`BC = BF + CF = 4 +6 = 10cm.`

Vậy `AB = 7cm ; AC=9cm ; BC=10cm`