Vì chu vi `triangleMPQ` bằng `27cm=>MP+MQ+PQ=27(cm)`

`=>MP+MQ+12=27(cm)`

`=>MP+MQ=27-12=15 (cm)`

Ta có: `MP+MQ=15(cm); MQ-MP=5(cm)`

Do đó: `MQ=(15+5):2=10(cm); MP=(15-5):2=5(cm)`

Xét `triangleMPQ` có: `PQ>MQ>MP` `(12cm>10cm>5cm)`

Mà các góc đối diện với các cạnh `PQ;MQ;MP` lần lượt là `\hat(M);\hat(P);\hat(Q)`

`=>\hat(M)>\hat(P)>\hat(Q)` (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác)

Áp dụng bất đẳng thức tam giác, ta có: `BC-AB < AC < BC+AB`   `(**)`

Thay `AB=3cm,BC=27cm` vào `(**)` ta được:

   `27-3 < AC < 27+3`  hay  `24 < AC < 30`

Mà độ dài `CA` là số nguyên tố (tính theo `cm`) nên `AC=29(cm)`

Xét `△ABC` có `AC>BC>AB` (`29cm > 27cm > 3cm`)

`=> hatB > hat A > hatC`  (Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác)

Áp dụng định lý tổng ba góc trong tam giác vào `triangleDEF` có:

`\hat(D)+\hat(E)+\hat(F)=180^o`

`=>\hat(E)+\hat(F)=180^o-\hat(D)`

`\hat(E)+\hat(F)=180^o-60^o=120^o` (1)

Ta có: `\hat(E)-\hat(F)=30^o` (2)

Thay (2) vào (1) ta được: `\hat(F)+30^o +\hat(F)=120^o`

`=>2\hat(F)=120^o-30^o=90^o`

`=>\hat(F)=90^o:2=45^o`

`=>\hat(E)=\hat(F)+30^o=45^o +30^o=75^o`

Do đó: `\hat(F)<\hat(D)<\hat(E) (45^o<60^o<75^o)`

Suy ra: `DE<EF<FD`

Goi độ dài ba cạnh của tam giác là `a,b,c`. Nửa chu vi tam giác là: `(a+b+c)/2`

ta có:

`a < b+c => a+a < a+b+c`

`=> 2a < a+b+c => a < (a+b+c)/2`

Tương tự ta cũng có: `b < (a+b+c)/2;c < (a+b+c)/2`

Do đó phát biểu đúng là: Trong một tam giác, độ dài một cạnh luôn nhỏ hơn nửa chu vi

Vì `AB:BC:AC=7:10:13`, tức là `(AB)/7=(BC)/10=(AC)/13`

Mà chu vi tam giác `ABC` bằng `120cm` nên `AB+BC+AC=120 (cm)`

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

`(AB)/7=(BC)/10=(AC)/13=(AB+BC+AC)/(7+10+13)=(120)/30=4`

Do đó: `{(AB=7.4=28cm,,,,),(BC=10.4=40cm,,,,),(AC=13.4=52cm,,,,):}`

Ta có: `AB<BC<AC` `(28cm<40cm<52cm)`

`=>\hat(C)<\hat(A)<\hat(B)` (Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác)

Hay `\hat(B)>\hat(A)>\hat(C)`

Xét `△AMB` có: `AB-BM < AM` (tính chất)

Xét `△AMC` có:  `AC-CM < AM` (tính chất)

Cộng từng vế của hai bất đẳng thức trên ta được:

       `AB-BM+AC-CM < 2AM`

       `AB+AC-(BM+CM) < 2AM`

       `AB+AC-BC < 2AM`

Vậy `AB+AC-BC < 2AM`

Vì `12.\hat(A)=10.\hat(B)=15.\hat(C)` nên:

`(12.\hat(A))/60=(10.\hat(B))/60=(15.\hat(C))/60=>\hat(A)/5=\hat(B)/6=\hat(C)/4`

`=>\hat(A)/5=\hat(B)/6=\hat(C)/4=(\hat(A)+\hat(B)+\hat(C))/(5+6+4)=180^o/15=12^o`

`=>\hat(A)=12^o .5=60^o; \hat(B)=12^o .6=72^o; \hat(C)=12^o .4=48^o`

`=>\hat(C)<\hat(A)<\hat(B)` `(48^o<60^o<72^o)`

Xét `triangleABC` có `\hat(C)<\hat(A)<\hat(B)` (cmt)

`=>AB<BC<AC`

Áp dụng bất đẳng thức tan giác vào `△AMB` ta được:  

`MA+MB >AB` `(1)`

Áp dụng bất đẳng thức tan giác vào `△BMC` ta được:  

`MB+MC > BC` `(2)`

Áp dụng bất đẳng thức tan giác vào `△CMA` ta được:  `

MA +MC > CA` `(3)`

Cộng  `(1),(2),(3)`  theo vế với vế ta được:

`MA+MB+MB+MC+MC+MA > AB+AC+BC`

      `=> 2MA+2MB+2MC > AB+AC+BC`

      `=> MA+MB+MC > (AB+AC+BC)/2`

Vậy tổng khoảng cách từ `M` đến ba đỉnh lớn hơn nửa chu vi `△ABC`

Xét `triangleDEF` có: `DF>DE` `(7cm>5cm)`

`=>\hat(DEF)>\hat(DFE)` (Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác)

Ta có: `\hat(DEF)+\hat(DEx)=180^o` (hai góc kề bù) `=>\hat(DEx)=180^o-\hat(DEF)` (1)

`\hat(DFE)+\hat(DFy)=180^o=>\hat(DFy)=180^o-\hat(DFE)` (2)

Mà `\hat(DEF)>\hat(DFE)` (cmt) nên từ (1) và (2) suy ra `\hat(DEx)<\hat(DFy)`

Tam giác `ABC` cân tại `A` có `\hat(A)=110^o` nên `\hat(ABC)=\hat(ACB)=35^o`

Xét `triangleADC` có:

`\hat(DAC)=180^o-105^o-35^o=40^o`

`=>\hat(DAB)=110^o-40^o=70^o`

`\hat(CAE)=180^o-110^o=70^o`

Vì `CE` // `AD` nên `\hat(AEC)=\hat(BAD)=70^o` (hai góc đồng vị)

`\hat(DAC)=\hat(ACE)=40^o` (hai góc so le trong)

Xét `triangleACE` có: `\hat(AEC)=180^o-\hat(EAC)-\hat(ACE)=180^o-70^o-40^o=70^o`

Vậy tam giác `ACE` cân tại `C` và ta có: `\hat(A)=\hat(E)>\hat(C) (70^o=70^o>40^o)`

Suy ra `CE=CA>AE` (Quan hệ giữa cạnh và góc đối diện trong tam giác)