Phát biểu đúng phải là ''Nếu một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề với cạnh ấy của tam giác vuông này bằng một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề với cạnh ấy của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau''

Xét `△ABC` vuông tại `A` `(hat A=90^o)` và `△MNP` vuông tại `M` `(hat M=90^o)` có:

`hat C=hatP` (hai góc nhọn bằng nhau)

Vậy để `△ABC=△MNP` theo trường hợp cạnh góc vuông - góc nhọn thì cần thêm điều kiện: 

Cạnh góc vuông `AC` = cạnh góc vuông `MP`

Vì `hatE=hatF (g t) => hat D_1=hatD_2` (hai cặp góc phụ nhau)

Xét `△DIE` và `△DIF` có:

         `hat(DIE)=hat(DIF)=90^o` `(DI⊥EF)` 

         `DI` là cạnh chung

         `hat D_1=hatD_2` (chứng minh trên)

`=> △DIE=△DIF` (cạnh góc vuông - góc nhọn kề)

`△ABD` có:  `hat(ABD)+hatA_1+hatD_1=180^o` (định lý tổng ba góc trong một tam giác)

`△ACD` có:  `hat(ACD)+hat A_2+hat D_2=180^o` (định lý tổng ba góc trong một tam giác)

Mà `hat(ABD)=hat(ACD)(hatB=hatC);hat A_1=hat A_2` (`AD` là tia phân giác của `hat(BAC)`)

`=> hatD_1=hatD_2`

Xét `△ABD` và `△ACD` có:

        `hat A_1=hat A_2` (`AD` là tia phân giác `hat(BAC)`)

        `AD` là cạnh chung

        `hat D_1=hatD_2` (chứng minh trên)

`=> △ABD=ACD (g.c.g)`

`=> {(AB=AC),(BD=CD):}` (hai cạnh tương ứng)

`hat(ABD)=hat(ACD)` (hai góc tương ứng)

Vậy đáp án `hat(ABD)=hat(CAD)` là sai

Xét `△ABC` và `△DEF` có:

        `hat A=hatD=90^o`

        `AB=DE`

        `hatB=hatE`

`=> △ABC=△DEF` (cạnh góc vuông – góc nhọn kề)

`=> AC=DF=` `9cm` (hai cạnh tương ứng)

Vì  `AF////ED => {(hatF_1=hatE_1),(hatE_2=hatF_2):}` (hai góc so le trong)

Xét `△AEF` và `△DFE` có:

      `hatE_2=hatF_2` (chứng minh trên)

      `EF` là cạnh chung

      `hatF_1=hatE_1` (chứng minh trên)

`=> △AEF=△DFE (g.c.g)`

`=> AE=DF` (hai cạnh tương ứng)

Xét `△AIE` và `△DIF` có:

      `hatI_1=hatI_2` (hai góc đối đỉnh)

      `IE=IF` (`I` là trung điểm của `EF`)

      `hatE_2=hatF_2` (chứng minh trên)

`=> △AIE=△DIF` `(g.c.g)`

`=> AI=DI` (hai cạnh tương ứng)

Ta có:  `hat I_2+hatI_3=180^o` => `hat I_1+hatI_3=hat AID=180^o`, do đó `A,I,D` thẳng hàng

Từ đó `I` là trung điểm của `AD`

Xét `△DEF` và `△HKI` có:

      `hat D=hat H=90^o`

      `DE=HK`

      `hatE=hatK`

`=> △DEF=△HKI` (cạnh góc vuông – góc nhọn kề)

`=> hatI=hatF=80^o` (hai góc tương ứng)

Xét `△DEF` và `△HKI` có:

       `hatD=hatH=90^o`

       `DF=HI`

       `hat F=hat I`

`=> △DEF=△HKI`  (cạnh góc vuông – góc nhọn kề)

`=> hat I=hatF=55^o` (hai góc tương ứng)

Xét `∆HKI` vuông tại `H`:  `hatK+hat I=90^o`

`=> hatK=90^o -hatI=90^o-55^o=35^o`

Vậy `hatK=35^o`

Xét `△ABD` và `△ACE` có:

        `hatE=hatD=90^o` 

        `AB=AC`

        `hat A` chung

`=> △ABD =△ACE` (cạnh huyền – góc nhọn)

`=> AD =AE` (hai cạnh tương ứng)

Xét `△AEK` và `△ADK` có:

         `hatE=hatD=90^o`

         `AE=AD`

         `AK` là cạnh chung

`=> △AEK=△ADK` (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

`=>DK=EK` (hai cạnh tương ứng)

Trên tia đối của tia `MA` lấy điểm `D` sao cho `MD=MA=(DA)/2`

Xét `△AMB` và `△DMC` có:

       `MA=MD` (Theo cách vẽ điểm `D`)

       `hat(AMB)=hat(DMC)` (hai góc đối đỉnh)

       `MB=MC` (`M` là trung điểm của `BC`)

Do đó: `△AMB=△DMC` `(c.g.c)`

`=> AB=DC` (hai cạnh tương ứng)

`hat(MAB)=hat(MDC)` (hai góc tương ứng)

Mà `hat(MAB)` và `hat(MDC)` ở vị trí so le trong nên `AB` // `CD`

Vì `AB⊥AC` (`△ABC`  vuông tại `A`)  `=> CD⊥AC => hat(ACD)=90^o`

Xét `△ABC` và `△CDA` có:

        `AB=DC` (chứng minh trên)

        `hat(BAC)=hat(DCA) (=90^o)`

        `AC` là cạnh chung

`=> △ABC=△CDA` `(c.g.c)`

`=> BC=DA` (hai cạnh tương ứng)

Do đó: `AM=1/2BC` (vì `MA=1/2DA`)