Vì `MN` là đường trung trực của cạnh `BC` nên `MN` vuông góc với `BC` tại `M`

`=> hat(NMC)=90^o`

Xét `△MNC` có:  `hat(MNC)+hat(NMC)+hatC=180^o` (tính chất tổng ba góc trong một tam giác)

`=> hat(MNC) + 90^o + 30^o =180^o`

`=> hat(MNC)=60^o`

Vậy `hat(MNC)=60^o`

Vì `E` thuộc đường trung trực của `AB` nên `EA=EB` (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)

Khi đó `△ABE` cân tại `E` (dấu hiệu nhận biết tam giác cân)

`⇒ hat(A_1) = hatB` (tính chất tam giác cân)

Vì `F` thuộc đường trung trực của `AC` nên `FA=FC` (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)

Khi đó `△AFC` cân tại `F` (dấu hiệu nhận biết tam giác cân)

`=> hat(A_3) = hatC` (tính chất tam giác cân)

Do đó: `hat(A_1) + hat(A_2) = hatB + hatC`

Xét `△ABC` có: `hat(BAC) + hatB + hatC = 180^o` (định lí tổng ba góc của một tam giác)

`⇒ hatB+ hatC=180^o − hat(BAC) = 180^o − 110^o = 70^o`

hay `hat(A_1) + hat(A_3) = 70^o`

Lại có:

`hat(A_1)+hat(A_2)+hat(A_3) = hat(BAC)`

`⇒ hat(A_2) = hat(BAC) − (hat(A_1)+hat(A_3))`

`⇒ hat(A_2) = 110^o − 70^o = 40^o`

Vậy `hat(EAF) = 40^o`.

Vì `M` nằm trên đường trung trực của `AB=>MB=MA=4cm`

`=>triangleMAB` cân tại `M`

`=>\hat(MAB)=\hat(MBA)` (tính chất tam giác cân)

`=>\hat(MAB)=(\hat(MAB)+\hat(MBA)):2=(180^o-\hat(AMB)):2=(180^o-70^o):2=55^o`

Vậy `BM=3cm;\hat(MAB)=55^o`

Xét hai tam giác vuông `AHD` và `AKD` có:

`AH = AK` (gt)

`AD` chung

`=> ∆AHD=∆AKD` `(ch-cgv)`

Từ đó ta có: `HD = DK` (`2` cạnh tương ứng);

`hat(HAD)= hat(DAK)` (`2` góc tương ứng) suy ra `AD` là tia phân giác góc `HAK`

Mặt khác: `AH = AK` (gt) và `HD = DK` (cmt) suy ra `AD` là đường trung trực đoạn `HK`

Vậy khẳng định sai là: `HK` là đường trung trực của đoạn thẳng `AD`.

* Xét `△ABC` vuông tại `A` (gt) `=> hatB+hat(ACB)=90^o`

`=> hat(ACB) = 90^o - hatB = 90^o - 28^o = 62^o`

* Vì đường trung trực của `BC` cắt `AB` tại `M` (gt)

`=>M` thuộc đường trung trực của `BC`

`=> MB=MC` (tính chất các điểm thuộc đường trung trực)

`=>△MBC` cân tại `M`

`=> hat(MCB)=hat(MBC)= 28^o` (tính chất tam giác cân)

Ta có  `hat(ACB)=hat(MCA)+hat(MCB)` 

`=> hat(MCA)=hat(ACB)-hat(MCB)=62^o-28^o=34^o`

Vậy `hat(MCA)=34^o`

`△BAC` cân tại `A` có `hat A=40^o`

`=> hat B=hatC_1=(180^o-hat A):2=(180^o-40^o):2=70^o`

Vì `D` thuộc đường trung trực của đoạn `AB => DA=DB`

(tính chất các điểm thuộc đường trung trực)

`=> △ABD` cân tại `D`

`=> hat(DAB)=hatB=70^o` (tính chất tam giác cân)

`=> hat(CAD)=hat(DAB)-hat(BAC)=70^o-40^o=30^o`

Vậy  `hat(CAD)=30^o`

Vì đường trung trực của `AC` cắt `AB` tại `D` nên suy ra `DA=DC` (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)

`=> ∆ADC` là tam giác cân tại `D` (dấu hiệu nhận biết tam giác cân)

`=> hat A= hat(C_2)`   `(1)`  (tính chất tam giác cân)

Vì `CD` là đường phân giác của `hat(ACB)`

Xét `∆ABC` có:

`hatB+hatA+hat(ACB)=180^o`

`⇒hatA+2hatA+2hatA=180^o`

`⇒5hatA=180°`

`⇒hatA=36^o`

`⇒ hatB=hatC=2hatA=2.36^o=72^o`

Vậy `hatA=36^o; hatB=hatC=72^o`.

Xét `△ABC` có `d` là đường trung trực của `BC` cắt `AC` tại `D` nên:

        `DB = DC` (tính chất đường trung trực)

Mà `D` nằm giữa `A` và `C` nên:  `AC=AD+DC=AD+DB`

Xét `△ABD` có:  `AD+DB>AB` (bất đẳng thức tam giác)

                       `=> AC>AB`

Vậy `AC > AB`

* Ta có: `OA=OB => △OAB` cân tại `O`

Mà `Ox` là đường trung trực của `AB`

`=> Ox` là đồng thời tia phân giác của `hat(AOB)`

`=> hat O_1=hatO_2`

* Lại có: `OA=OC => △AOC` cân tại `O`

Mà `Oy` là đường trung trực của `AC`

`=>` `Oy` đồng thời là tia phân giác của `hat(AOC)`.

Suy ra: `hatO_3=hatO_4`

• Ta có: `hat(BOC)=hatO_1+hatO_2+hatO_3+hatO_4`

Mà `hatO_1=hatO_2` và `hatO_3=hatO_4` (chứng minh trên) nên:

     `hat(BOC)=2hatO_2+2hatO_3=2(hatO_2+hatO_3)=2hat(xOy)`

                   `=2.50^o=100^o`

Vậy `hat(BOC)=` `100^o`

Vì `AB` là trung trực của `HD` (gt) nên `AD=AH` (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)

Vì `AC` là trung trực của `HE` (gt) nên `AH=AE` (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)

`=>AD=AE=>triangleADE` cân tại `A`

Ta có:

`M` thuộc đường trung trực của `HD` nên `MD=MH` (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)

Xét `triangleAMD` và `triangleAMH` có:

`MD=MH` (cmt)

`AD=AH` (cmt)

`AM`: cạnh chung

`=>triangleAMD=triangleAMH` (c.c.c)

`=>\hat(MDA)=\hat(MHA)` (hai góc tương ứng)

Lại có:

`N` thuộc đường trung trực của `HE` nên `NH=NE` (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)

Xét `triangleAHN` và `triangleAEN` có:

`AN`: cạnh chung

`AH=AE` (cmt)

`NH=NE` (cmt)

`=>triangleAHN=triangleAEN` (c.c.c)

`=>\hat(NHA)=\hat(NEA)` (hai cạnh tương ứng)

Mà `triangleADE` cân tại `A=>\hat(MDA)=\hat(NEA)=>\hat(MHA)=\hat(NHA)`

Suy ra `HA` là đường phân giác của `\hat(MHN)`

Vậy cả hai đáp án trên là đáp án đúng.