Gọi `M` là trung điểm của `BC` và `G` là trọng tâm của `triangleABC`

Xét `triangleABC` có: `G` là trọng tâm và `AM` là đường trung tuyến

`=>AG=2/3AM`

Ta có: `ME=MB+BE`; `MF=MC+MF`

Mà `MB=MC` (`M` là trung điểm của `BC`), `BE=CF` (gt)

`=>ME=MF`

`=>M` là trung điểm của `EF`

`=>AM` là đường trung tuyến của `triangleAEF`

Xét `triangleAEF` có: `AM` là đường trung tuyến và `AG=2/3AM`

`=>G` là trọng tâm của `triangleAEF`

Vậy `triangleABC` và `triangleAEF` có cùng trọng tâm `G`

Khi `G` thuộc tia `MA` và `GM=1/2GA` thì ta có `GM=1/3AM`.

Mà `AG+GM=AM` nên `AG=2/3AM`

Vậy `triangleABC` có điểm `G` nằm trên đường trung tuyến `AM` và `AG=2/3AM` nên `G` sẽ là trọng tâm của `triangleABC`

Do đó đáp án đúng là: "`G` thuộc tia `MA` và `GM=1/2GA`"

Gọi `G` là giao điểm của `BD` và `CE`

Xét `triangleABC` có: `BD; CE` là các đường trung tuyến

`BD cap CE = {G}`

`=>G` là trọng tâm của `triangleABC`

Do đó `BG=2/3BD=2/3 .3=2(cm)`

`CG=2/3CE=2/3 .4,5=3(cm)`

Xét `triangleGBC` có: `CG-BG < BC < CG + BG`  (Bất đẳng thức tam giác)

`=>3-2<BC<3+2`

`=>1<BC<5`

Mà `BC` là số tự nhiên lẻ (cm) nên `BC=3 (cm)`

Xét `triangleABC` có `AM` là đường trung tuyến và `G` là trọng tâm của `triangleABC`

`=>GM=1/2AG` hay `AG=2.GM`

Do đó: `3x-4=2x=>x=4 (cm)`

`=>GM=4 (cm); AG=2.4=8 (cm)`

`=>AM=AG+GM=4+8=12(cm)`

Vậy `AG=12(cm)`

Vì `BD=BM` (gt) `=>B` là trung điểm của `MD=>EB` là đường trung tuyến của `triangleMDE`

Vì `N` là trung điểm của `BC` (gt) `=>BN=CN`

Mà `CE=CN` (gt)

`=>BN=CN=CE`

`=>EN=2/3EB; NB=1/3EB`

Vậy khẳng định `NB=1/3EB` là đúng

Xét `triangleMDE` có: `EB` là đường trung tuyến và `EN=2/3EB`

`=>N` là trọng tâm của `triangleMDE`

Vậy khẳng định: `N` là trọng tâm của `triangleMDE` là đúng

Xét `triangleMDE` có: `P` là trung điểm của `DE`

`=>MP` là đường trung tuyến

Mà `N` là trọng tâm của `triangleMDE` (cmt)

`=>MP` phải đi qua trọng tâm `N` của `triangleMDE`

Vậy ba điểm `M, N, P` thẳng hàng

Ta thấy: `EB` là đường trung tuyến của `triangleMDE` nên trọng tâm của `triangleMDE` phải nằm trên đoạn `EB`

Mà `EB` không phải là trung tuyến của `triangleADE` (Do `B` không phải là trung điểm của `AD`)

`=>` Trọng tâm của `triangleADE` không nằm trên đoạn `EB`

Do vậy `triangleADE` và `triangleMDE` không thể có cùng trọng tâm

Vậy khẳng định sai là: `triangleADE` và `triangleMDE` có cùng trọng tâm

Xét `triangleABC` có:

`K` là giao điểm của các đường trung tuyến `AD` và `BE` (gt)

`=>K` là trọng tâm của `triangleABC`

`=>KE=1/3BE=1/3 .18=6(cm)`

`triangleAKC` có `I, E` lần lượt là trung điểm của `AK, AC`

`=>CI, KE` là các trung tuyến của tam giác này

Mà `KE cap IC = {O}` (Do `BE cap IC = {O}` theo giả thiết)

`=>O` là trọng tâm của `triangleAKC`

`=>OE=1/3KE=1/3 .6=2(cm)`

Vậy `OE=2(cm)`

Gọi `G` là giao điểm của `BD` và `CE`

Khi đó `G` sẽ là trọng tâm của `triangleABC`

Xét `triangleGBC` có: `GB+GC>BC` (Quan hệ giữa ba cạnh trong tam giác)

Mà `GB=2/3BD; GC=2/3CE` (Tính chất các đường trung tuyến trong tam giác)

`=>2/3BD+2/3CE>BC`

`=>2/3.(BD+CE)>BC`

`=>BD+CE>3/2BC`

Vậy đáp án đúng là `BD+CE>3/2BC`

Xét `triangleAMB` có `MA=MB` (gt) `=>triangleAMB` cân tại `M=>\hat(A_1)=\hat(B)`

Xét `triangleAMC` có `MA=MC` (gt) `=>triangleAMC` cân tại `M=>\hat(A_2)=\hat(C)`

Do đó `\hat(B)+\hat(C)=\hat(A_1)+\hat(A_2)=\hat(BAC)`

Mặt khác: `\hat(B)+\hat(C)+\hat(BAC)=180^o` (Định lí tổng 3 góc trong tam giác)

`=>\hat(B)+\hat(C)=\hat(BAC)`

`=>\hat(BAC)+\hat(BAC)=180^o`

`=>2.\hat(BAC)=180^o`

`=>\hat(BAC)=90^o`

Vậy `triangleABC` vuông tại `A`

Gọi `G` là trọng tâm của `triangleABC`

Vẽ điểm `M` sao cho `D` là trung điểm của `AM`

Xét `triangleABD` và `triangleMCD` có:

`AD=MD` (gt)

`\hat(ADB)=\hat(MDC)` (hai góc đối đỉnh)

`DB=DC` (gt)

`=>triangleABD=triangleMCD` (c.g.c)

`=>AB=MC` (hai cạnh tương ứng)

Xét `triangleACM` có: `AM<AC+CM` (Bất đẳng thức tam giác)

`=>2.AD<AC+AB`

`=>AD<(AB+AC)/2`

Chứng minh tương tự, ta có: `AD<(AB+AC)/2; BE<(BA+BC)/2; CF<(CA+CB)/2`

`=>AD+BE+CF<(AB+AC+BA+BC+CA+CB)/2=AB+BC+CA` (1)

Xét `triangleGAB` có: `GA+GB>AB` (Bất đẳng thức tam giác)

Mà `GA=2/3AD; GB=2/3BE` (Tính chất các đường trung tuyến trong tam giác)

`=>2/3AD+2/3BE>AB`

`=>2/3.(AD+BE)>AB`

`=>AD+BE>3/2AB`

Chứng minh tương tự, ta có `BE+CF>3/2BC; AD+CF>3/2AC`

`=>(AD+BE)+(BE+CF)+(AD+CF)>3/2(AB+BC+CA)`

`=>2.(AD+BE+CF)>3/2(AB+BC+CA)`

`=>AD+BE+CF>3/4(AB+BC+CA)` (2)

Từ (1) và (2) suy ra `3/4P_(triangleABC)<AD+BE+CF<P_(triangleABC)`

Kẻ các đường cao `AH; BK` của `triangleABC`

Vì `triangleAMB` và `triangleAMC` có cùng đường cao `AH` và có các cạnh đáy bằng nhau `(BM=CM)`

`=>S_(triangleAMB)=S_(triangleAMC)`

Vậy `S_(triangleAMB)=S_(triangleAMC)` là đáp án đúng.

Vì `triangleABG` và `triangleABM` có cùng đường cao `BK` và có cạnh đáy `AG=2/3AM`

`=>S_(triangleABG)=2/3S_(triangleABM)`

Mặt khác `triangleABM` và `triangleABC` có cùng đường cao `AH` và có cạnh đáy `BM=1/2BC`

`=>S_(triangleABM)=1/2S_(triangleABC)`

Do đó `S_(triangleABG)=2/3S_(triangleABM)=2/3. 1/2S_(triangleABC)=1/3S_(triangleABC)`

`=>3.S_(triangleABG)=S_(triangleABC)`

Vậy `S_(triangleABM)=1/2S_(triangleABC); 3.S_(triangleABG)=S_(triangleABC)` là đáp án đúng.

Vì `triangleABG` và `triangleBMG` có cùng đường cao `BK` và có cạnh đáy `AG=2MG=>S_(triangleABG)=2.S_(BMG)`

Vậy `S_(triangleABG)=3.S_(triangleBMG)` là đáp án sai