Hình `3` có ba đường phân giác cùng đi qua một điểm (điểm `I`) nên đây là đáp án đúng.

Các hình `1;2;4` không có ba đường phân giác, mặc dù các đoạn thẳng xuất phát từ các đỉnh `A;B;C` cũng cùng đi qua một điểm.

Ba đường phân giác của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba cạnh của tam giác đó.

Vì `I` là giao điểm của ba đường phân giác trong `triangleABC`

`=>I` cách đều ba cạnh của tam giác

Xét `triangleABC` có các đường phân giác `BD; CE` cắt nhau `I`

`=>I` là giao của ba đường phân giác trong `triangleABC`

`=>AI` cũng là phân giác góc `A`

Xét `triangleABC` có các tia phân giác góc `B` và góc `C`  cắt nhau tại `I`

`=> I` là giao của ba đường phân giác trong `triangleABC`

`=>AI` cũng là tia phân giác góc `A`

Vậy ta có `x=35^o`

Trong một tam giác, đường phân giác xuất phát từ một đỉnh chưa chắc đi qua trung điểm của cạnh đối diện.

Vì vậy phát biểu trên là sai.

Xét `triangleABC` cân tại `A` có đường trung tuyến `AM`

Khi đó `M` là trung điểm của `BC=>MB=MC` (tính chất trung điểm)

Xét `triangleAMB` và `triangleAMC` có:

`AB=AC` (`triangleABC` cân tại `A`)

`\hat(B)=\hat(C)` (`triangleABC` cân tại `A`)

`BM=CM` (cmt)

`=>triangleAMB=triangleAMC  (c.g.c)`

`=>\hat(BAM)=\hat(CAM)` (hai góc tương ứng)

`=>AM` là đường phân giác của `triangleABC`

Vậy nhận xét trên là đúng.

Xét `triangleABC` có các đường trung tuyến `AD; BE; CF` cắt nhau tại `G`

Khi đó `G` là trọng tâm của `triangleABC`

Vì `AD` là đường trung tuyến nên `D` là trung điểm của `BC=>DB=DC`

Xét `triangleADB` và `triangleADC` có:

`AB=AC` (`triangleABC` đều)

`AD`: cạnh chung

`DB=DC` (cmt)

`=>triangleADB=triangleADC` (c.c.c)

`=>\hat(DAB)=\hat(DAC)` (hai góc tương ứng)

`=>AD` là đường phân giác trong `triangleABC`

Chứng minh tương tự, ta cũng có `BE; CF` là các đường phân giác của `triangleABC`

Mà các đường phân giác `AD; BE; CF` cắt nhau tại `G`

`=>` Điểm `G` cách đều ba cạnh của `triangleABC`

Vậy khẳng định trên là đúng.

Vì `triangleABC` cân tại `A` nên ta có: `\hat(B)=\hat(C)=(180^0-\hat(A))/2=(180^o-40^o)/2=70^o`

Vì `I` là giao của ba đường phân giác trong `triangleABC`

`=>\hat(B_1)=1/2\hat(B)=1/2 .70^o=35^o`; `\hat(C_1)=1/2\hat(C)=1/2 .70^o=35^o`

Xét `triangleBIC` có: `\hat(BIC)+\hat(B_1)+\hat(C_1)=180^o` (Định lí tổng các góc trong tam giác)

`=>\hat(BIC)=180^o-(\hat(B_1)+\hat(C_1))=180^o-(35^o +35^o)=110^o`

Vậy `\hat(BIC)=110^o`

Vì `BD; CE` là các đường phân giác của `triangleABC` (gt) `=>\hat(B_1)=\hat(B_2)=1/2\hat(B); \hat(C_1)=\hat(C_2)=1/2\hat(C)`

Mà `\hat(B)=\hat(C)` (do `triangleABC` cân tại `A`) `=>\hat(B_2)=\hat(C_2)`

Xét `triangleBCD` và `triangleCBE` có: `\hat(B_2)=\hat(C_2)` (cmt); `BC`: cạnh chung; `\hat(EBC)=\hat(DCB)` (do `triangleABC` cân tại `A`)

`=>triangleBCD=triangleCBE` (g.c.g)

Xét `triangleOBC` có: `\hat(B_2)=\hat(C_2)` (cmt)

`=>triangleOBC` cân tại `O=>OB=OC`

Vì các đường phân giác `BD, CE` của góc `B` và góc `C` cắt nhau tại `O`

`=>O` là giao điểm các đường phân giác trong `triangleABC`

`=>O` cách đều các cạnh `AB;AC;BC`

`=>OH=OK`

Vậy khẳng định sai là `OA=OE` (chưa đủ cơ sở so sánh)

Xét `triangleBIC` có: `\hat(BIC)+\hat(B_1)+\hat(C_1)=180^o` (Định lí tổng ba góc trong tam giác)

`=>\hat(B_1)+\hat(C_1)=180^o-\hat(BIC)=180^o-125^o=55^o`

Do `BI` và `CI` là phân giác các góc `B` và `C` của `triangleABC` nên ta có:

`\hat(B)+\hat(C)=2.(\hat(B_1)+\hat(C_1))=2.55^o=110^o`

Xét `triangleABC` có: `\hat(A)+\hat(B)+\hat(C)=180^o` (Định lí tổng các góc trong tam giác)

`=>\hat(A)=180^o-(\hat(B)+\hat(C))=180^o-110^o=70^o`

Vậy `\hat(BAC)=70^o`