Từ `E` kẻ các đoạn thẳng `EM bot AB; EN bot AC; EP bot BC` `(M in AB; N in AC; P in BC)`

Xét `triangleAMN` và `triangleANE` có:

`\hat(AME)=\hat(ANE)=90^o` (vì `EM bot AB; EN bot AC`)

`AE`: cạnh chung

`\hat(MAE)=\hat(NAE)` (`AE` là tia phân giác của góc `\hat(A)`)

`=>triangleAME=triangleANE` (cạnh huyền - góc nhọn)

`=>EM=EN` (hai cạnh tương ứng)

`=>` Điểm `E` cách đều hai cạnh `AB;AC`

Mặt khác, điểm `E` cách đều hai cạnh `AB;BC`

`=>` Điểm `E` cách đều ba cạnh của `triangleABC` và điểm `E` đồng thời nằm trên tia phân giác của các góc `B,C`

Do đó

Phát biểu "Điểm `E` cách đều ba cạnh của `triangleABC`" là đúng

Phát biểu "Điểm `E` nằm trên tia phân giác của góc `C`" là đúng

Phát biểu "Điểm `E` không nằm trên tia phân giác của góc `B`" là sai

Phát biểu "`\hat(EBC)=\hat(ECB)` là sai

Xét `triangleABC` có: `BC>AC>AB` (gt)

`=>\hat(A)>hat(B)>hat(C)` (Định lí quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác)

Mà `I` là giao điểm của ba đường phân giác

`=>AI, BI,CI` là các đường phân giác của `triangleABC`

`=>hat(A_1)=hat(A_2)=1/2hat(A); hat(B_1)=hat(B_2)=1/2hat(B); hat(C_1)=hat(C_2)=1/2hat(C)`

`=>hat(A_1)>hat(B_1); hat(A_2)>hat(B_2)`

Xét `triangleAIB` có: `hat(A_1)>hat(B_1)` (cmt)

`=>IB>IA` (Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác) (1)

Xét `triangleIBC` có: `hat(A_2)>hat(B_2)` (cmt)

`=>IC>IB` (Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác) (2)

Từ (1) và (2) suy ra `IC>IB>IA`

Xét `triangleABC` có: `\hat(BAC)+\hat(ABC)+\hat(ACB)=180^o` (Định lí tổng ba góc trong tam giác)

`=>\hat(BAC)+2\hat(BAC)=180^o` (vì `\hat(ABC)+\hat(ACB)=2\hat(BAC)`)

`=>3\hat(BAC)=180^o`

`=>\hat(BAC)=180^o:3=60^o`

Do đó khẳng định `\hat(BAC)=60^o` là đúng

Ta có: `\hat(ABC)+\hat(ACB)=180^o-\hat(BAC)=180^o-60^o=120^o`

`=>\hat(ABK)+\hat(ACK)=1/2(\hat(ABC)+\hat(ACB))=1/2 .120^o=60^o`

Vậy khẳng định `\hat(ABK)+\hat(ACK)=60^o` là đúng

Vì các tia phân giác góc `B` và góc `C` cắt nhau tại `K`

`=>AK` cũng là tia phân giác góc `A`

`=>\hat(KAC)=1/2\hat(BAC)=1/2 .60^o=30^o`

Vậy khẳng định `\hat(KAC)=30^o` là đúng

Xét `triangleKBC` có: `\hat(BKC)+\hat(KBC)+hat(KCB)=180^o` (Định lí tổng các góc trong tam giác)

`=>\hat(BKC)=180^o-(hat(KBC)+hat(KCB))=180^o-1/2(hat(ABC)+hat(ACB))=180^o-1/2 .120^o=180^o-60^o=120^o`

Vậy khẳng định `\hat(BKC)=110^o` là sai

* Vì trọng tâm `G` của `triangleABC` chưa chắc đã cách đều ba cạnh của `triangleABC`

Vậy phát biểu "`G` cách đều ba cạnh của `triangleABC`" là sai

* Phát biểu: "`AI=2/3AG`" là sai vì chưa đủ cơ sở để khẳng định.

* Vì `I` là giao điểm của các tia phân giác góc `B` và góc `C`

`=>I` là giao điểm của ba đường phân giác của `triangleABC`

`=>I` cách đều ba cạnh của `triangleABC`

Vậy phát biểu "`I` cách đều ba đỉnh của `triangleABC`" là sai.

Vì `triangleABC` có `I` là giao điểm của ba đường phân giác

`=>AI` là đường phân giác của `triangleABC`

Mà `triangleABC` cân tại `A=>AI` đồng thời là đường trung tuyến

Mặt khác `G` là trọng tâm của `triangleABC` nên `G in AI`

`=>A, G, I` thẳng hàng

Vậy phát biểu "`A, G, I` thẳng hàng" là đúng

Vì `I` là giao điểm của hai tia phân giác góc `M` và góc `P` nên `NI` cũng là phân giác của `\hat(MNP)`

Theo tính chất tia phân giác, ta có: `hat(N_1)=hat(N_2); hat(P_1)=hat(P_2)`

Vì `EF` // `NP` (gt) `=>hat(I_1)=hat(N_2)` (hai góc so le trong)

Mà `hat(N_1)=hat(N_2)` (cmt)

`=>hat(I_1)=hat(N_1)` `(=hat(I_2))`

`=>triangleENI` cân tại `E`

`=>EI=NE=5(cm)` (1)

Chứng minh tương tự, ta có`triangleEPI` cân tại `F=>FI=PF=6(cm)` (2)

Từ (1) và (2) suy ra `NE+PF=EI+FI=5+6=11(cm)` hay `EF=11(cm)`

Vậy `EF=11cm`

Xét `triangleABM` có: `BA=BM` (gt)

`=>triangleABM` cân tại `B`

`=>\hat(M_1)=hat(A_1)` (tính chất tam giác cân) (1)

Lại có: `AB` // `MP` (gt) `=>hat(M_2)=hat(A_1)` (hai góc so le trong) (2)

Từ (1) và (2) suy ra `hat(M_1)=hat(M_2)` (`=hat(A_1)`)

Do đó phát biểu "`MA` là tia phân giác của `hat(PMB)`" là đúng

Chứng minh tương tự, ta cũng có `NA` là tia phân giác của `hat(PNC)`

Xét `triangleMNP` có:

`MA, NA` lần lượt là tia phân giác của `\hat(PMB)` và `hat(PNC)` (câu a)

`=>A` là giao điểm của các đường phân giác trong `trianglePMN`

`=>PA` là tia phân giác của `\hat(MPN)`

Do đó các phát biểu "`\hat(MPA)=hat(NPA)`"; "Điểm `A` cách đều `MN` và `NP`" là các khẳng định đúng

Vậy phát biểu sai là "`MA=NA`" (chưa đủ cơ sở để khẳng định)

Xét `triangleABC` có `I` là giao điểm của ba đường phân giác (gt)

`=>` Điểm `I` cách đều ba cạnh của `triangleABC` hay `ID=IE=IF` (tính chất)

Xét `triangleADI` vuông tại `D` và `triangleAEI` vuông tại `E` có:

`AI`: cạnh chung

`ID=IE` (cmt)

`=>triangleADI=triangleAEI` (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

`=>AE=AD=4(cm)`

Chứng minh tương tự, ta có: `triangleBDI=triangleBFI; triangleCFI=triangleCEI`

`=>BD=BF=5(cm): CF=CE=7(cm)`

Khi đó: `AB=AD+BD=4+5=9cm`

`AC=AE+CE=4+7=11cm`

`BC=CF+CF=5+7=12cm`

Vậy `AB=9cm; AC=11cm; BC=12cm`

Xét tam giác `AHB` vuông ta có:

`hat(BAH)+hat(ABH)=90^o`

Mà `hat(BAH)=2hat(C)` và `hat(ABH)=2.hat(IBH)`

`=>2.hat(C)+2.hat(IBH)=90^o`

`2.(hat(C)+hat(IBH))=90^o`

`=>hat(C)+hat(EBH)=45^o`

Xét `triangleBEC` có `hat(IEA)` là góc ngoài tại đỉnh `E` nên

`hat(AEI)=hat(ECB)+hat(EBC)=45^o`

Xét `triangleABH` có:

`hat(BAH)+hat(HBA)=90^o`

`=>2.hat(IAB)+2.hat(IBA)=90^o`

`=>2.(hat(IAB)+hat(IBA))=90^o`

`=>hat(IAB)+hat(IBA)=90^o:2=45^o`

Xét `triangleAIB` có `hat(AIE)` là góc ngoài tại đỉnh `I` nên

`hat(AIE)=hat(IAB)+hat(IBA)=45^o`

Xét `triangleIAE` có:

`hat(AIE)=45^o=hat(IEA)` suy ra:

`hat(EAI)=180^o-hat(AIE)-hat(IEA)=90^o` (Định lí tổng ba góc trong tam giác)

Vậy `triangleAIE` vuông cân tại `A`

Vì `BE` là tia phân giác góc `B=>hat(B_1)=hat(B_2)=1/2hat(B)`

Mà `hat(B)=2hat(C)=>hat(C)=1/2hat(B)`

Do đó `hat(B_1)=hat(C)` `(=1/2hat(B))`

`=>triangleBEC` cân tại `E`

`=>EB=EC`

Để có `EA=EB=EC` ta cần chứng minh `EA=EC`

Khi đó `BE` vừa là phân giác, vừa là trung tuyến của `triangleABC`

`=>triangleABC` cân tại `B`

`=>hat(A)=hat(C)` (tính chất tam giác cân)

Xét `triangleABC` có: `hat(A)+hat(B)+hat(C)=180^o` (Định lí tổng ba góc trong tam giác)

Mà `hat(B)=2hat(C); hat(A)=hat(C)`

`=>hat(C)+2hat(C)+hat(C)=180^o`

`=>4hat(C)=180^o`

`=>hat(C)=180^o:4=45^o`

Do đó `hat(A)=hat(C)=45^o; hat(B)=2hat(C)=2.45^o=90^o`

`=>triangleABC` vuông cân tại `B`

Vậy điều kiện để `EA=EB=EC` là `triangleABC` vuông cân tại `B`

Kẻ `ID bot BC; IE bot AC; IF bot AB`

`triangleABC` có các đường phân giác của góc `hat(ABC)` và `hat(ACB)` cắt nhau tại `I` nên `AI` là tia phân giác của `hat(BAC)` (tính chất ba đường phân giác trong tam giác)

Vì `BI` là tia phân giác của `hat(ABC)` nên `hat(B_1)=hat(B_2)=(hat(ABC))/2` (tính chất tia phân giác)

Xét `triangleBFI` vuông tại `F` và `triangleBDI` vuông tại `D` có:

`hat(B_2)=hat(B_1)` (cmt)

`BI`: cạnh chung

`=>triangleBFI=triangleBDI` (cạnh huyền - góc nhọn)

`=>BF=BD` (hai cạnh tương ứng)

Chứng minh tương tự, ta được: `AF=AE; CE=CD`

Trên đoạn `DC` lấy điểm `G` sao cho `BD=DG`

Xét `triangleBDI` vuông tại `D` và `triangleGDI` vuông tại `D` có:

`BD=DG` (cách vẽ)

`DI`: cạnh chung`=>triangleBDI=triangleGDI` (hai cạnh góc vuông)

`=>IB=IG` (hai cạnh tương ứng)

`=>triangleIBG` cân tại `I`

`=>hat(B_1)=hat(IGB)` (Tính chất tam giác cân) (1)

Ta có: `\hat(ABC)=2hat(ACB)=>hat(ACB)=(hat(ABC))/2=hat(B_1)` (2)

Từ (1) và (2) suy ra `hat(IGB)=hat(ACB)` mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên `IG` // `AC` (dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)

Khi đó: `hat(C_2)=hat(GIC)` (hai góc so le trong)

Mặt khác: `hat(C_1)=hat(C_2)` (do `CI` là tia phân giác của `hat(ACB)`)

`hat(C_1)=hat(GIC)=>triangleGIC` cân tại `D=>IG=GC` (định nghĩa tam giác cân)

Ta có: `AC=AE+CE`

`=AF+CD=AF+DG+GC`

`=AF+DB+GC`

`=AF+BF+IB`

`=AB+IB`

Vậy `AC=AB+IB`