Đường trung trực của tam giác là đường thẳng vuông góc với một cạnh của tam giác tại trung điểm của cạnh ấy.

Theo tính chất các đường trung trực trong tam giác:

Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm

Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác đó

Do vậy `O` là giao điểm ba đường trung trực trong `△ABC` nên `O` cách đều ba đỉnh `△ABC`

Trong tam giác `ABC`, giao điểm `O` của ba đường trung trực cách đều ba đỉnh nên có một đường tròn tâm `O` đi qua ba đỉnh `A,B,C`. Đó là đường tròn ngoại tiếp `△ABC`.

Vậy giao ba đường trung trực còn được gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.

Giả sử `△ABC` có `O` là giao của ba đường trung trực trong tam giác.

Xét các trường hợp:

Nếu tam giác nhọn thì giao của ba đường trung trực nằm bên trong tam giác

Nếu tam giác tù thì giao của ba đường trung trực nằm bên ngoài tam giác

Nếu tam giác vuông thì giao của ba đường trung trực là trung điểm của cạnh huyền

Vì giao ba đường trung trực của tam giác cách đều ba đỉnh của tam giác nên nó không thể trùng với các đỉnh của tam giác

Vậy giao ba đường trung trực không là đỉnh của tam giác

Vì `MN` là đường trung trực của cạnh `BC` nên `MN` vuông góc với `BC` tại `M`

`=> hat(NMC)=90^o`

Xét `△MNC` có:  `hat(MNC)+hat(NMC)+hatC=180^o` (tính chất tổng ba góc trong một tam giác)

`=> hat(MNC) + 90^o + 30^o =180^o`

`=> hat(MNC)=60^o`

Vậy `hat(MNC)=60^o`

* Xét `△ABC` vuông tại `A` (gt) `=> hatB+hat(ACB)=90^o`

`=> hat(ACB) = 90^o - hatB = 90^o - 28^o = 62^o`

* Vì đường trung trực của `BC` cắt `AB` tại `M` (gt)

`=>M` thuộc đường trung trực của `BC`

`=> MB=MC` (tính chất các điểm thuộc đường trung trực)

`=>△MBC` cân tại `M`

`=> hat(MCB)=hat(MBC)= 28^o` (tính chất tam giác cân)

Ta có  `hat(ACB)=hat(MCA)+hat(MCB)` 

`=> hat(MCA)=hat(ACB)-hat(MCB)=62^o-28^o=34^o`

Vậy `hat(MCA)=34^o`

Vì `M` nằm trên đường trung trực của `AB=>MB=MA=4cm`

`=>triangleMAB` cân tại `M`

`=>\hat(MAB)=\hat(MBA)` (tính chất tam giác cân)

`=>\hat(MAB)=(\hat(MAB)+\hat(MBA)):2=(180^o-\hat(AMB)):2=(180^o-70^o):2=55^o`

Vậy `BM=3cm;\hat(MAB)=55^o`

Xét `△ABC` có `d` là đường trung trực của `BC` cắt `AC` tại `D` nên:

        `DB = DC` (tính chất đường trung trực)

Mà `D` nằm giữa `A` và `C` nên:  `AC=AD+DC=AD+DB`

Xét `△ABD` có:  `AD+DB>AB` (bất đẳng thức tam giác)

                       `=> AC>AB`

Vậy `AC > AB`

Xét `triangleABC`. Giả sử điểm `M` là giao của ba đường trung trực trong tam giác và `M` nằm trên cạnh `BC`. Khi đó ta có: `MA=MB=MC`

Do `M in BC` và `MB=MC` nên `M` là trung điểm của `BC`

Do `MA=MB; MA=MC` nên `triangleMAB` cân tại `M`; `triangleMAC` cân tại `M`

`=>hat(MBA)=hat(MAB); hat(MCA)=hat(MAC)`

Mà `triangleABC` có: `hat(A)+hat(B)+hat(C)=180^o` (Định lí tổng ba góc trong tam giác)

`=>hat(MBA)+hat(MAB)+hat(MCA)+hat(MAC)=180^o`

`=>2.(hat(MAB)+hat(MAC))=180^o`

`=>hat(MAB)+hat(MAC)=90^o`

`=>triangleABC` vuông tại `A`

Vậy đáp án đúng là "Tam giác vuông"

`△BAC` cân tại `A` có `hat A=40^o`

`=> hat B=hatC_1=(180^o-hat A):2=(180^o-40^o):2=70^o`

Vì `D` thuộc đường trung trực của đoạn `AB => DA=DB`

(tính chất các điểm thuộc đường trung trực)

`=> △ABD` cân tại `D`

`=> hat(DAB)=hatB=70^o` (tính chất tam giác cân)

`=> hat(CAD)=hat(DAB)-hat(BAC)=70^o-40^o=30^o`

Vậy  `hat(CAD)=30^o`