Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc là đường ngắn nhất

Vì `AC` là đường vuông góc; còn `AB, AC, AF` là các đường xiên kẻ từ `A` xuống đường thẳng `d`

Do đó đoạn thẳng `AC` là đoạn ngắn nhất

Xét `△ABC` có:  `hat A+hatB+hatC=180^o` (định lí tổng ba góc trong một tam giác)

`=> hat A=180^o-(hatB+hatC)=180^o - (60^o + 50^o)=70^o`

Ta có:  `hat A > hat B > hat C` (vì `70^o > 60^o > 50^o`)

`=> BC > AC > AB` (Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác)

Vậy `BC > AC > AB`

Bộ ba độ dài `1cm;2cm;4cm` không thể là ba cạnh của một tam giác vì  `4 > 1+2` (Hoặc `1 < 4-2`)

Bộ ba độ dài `3cm;4cm;8cm` không thể là ba cạnh của một tam giác vì  `8 > 3+4` (Hoặc `3 < 8-4`)

Bộ ba độ dài `2cm;6cm;8cm` không thể là ba cạnh của một tam giác vì `2+6=8` (Hoặc `2=8-6`)

Bộ ba độ dài `2cm;3cm;4cm` có thể là ba cạnh của một tam giác vì `4 < 2+3` (hoặc `2 > 4-3`)

Vậy đáp án đúng là `2cm;` `3cm;` `4cm`

Vì giao điểm của ba đường trung trực trong tam giác thì cách đều ba đỉnh của tam giác đó nên điểm `O` ở hình `4` sẽ cách đều ba đỉnh của tam giác

Vậy đáp án là hình `4`

Xét `△ABC` có: `AM` là đường trung tuyến, `G` là trọng tâm của tam giác

`=> AG=2/3 AM` và  `GM=1/3 AM`

`=> AG=2/3 . 21=14` `(cm)` và `GM=1/3 .21=7` `(cm)`

Vậy  `AG=14(cm)` và `Gm=7(cm)`

Ta có nếu điểm `H` là trực tâm của `△ABC` thì:

`△ABC` nhọn thì `H` nằm trong tam giác

`△ABC` vuông tại `A` thì `H-=A`

`△ABC` tù, `hat A > 90^o` thì `H` nằm ngoài tam giác

Xét `△ABC`:

Vì đường trung trực của cạnh `BC` trùng với đường cao xuất từ đỉnh `A`

`=> △ABC` cân tại `A => AB=AC`    `(1)`

Vì đường trung trực của cạnh `AB` trùng với đường cao xuất từ đỉnh `C`

`=> △ABC` cân tại `C => AC=BC`    `(2)`

Từ `(1);(2) => AB=AC=BC => △ABC` là tam giác đều

Xét `△MNP` có  `hatM+hat(MNP)+hat(MPN)=180^o` (Định lí tổng ba góc trong tam giác)

`=> hat(MNP)+hat(MPN)=180^o-hatM=180^o-40^o=140^o`  `(1)`

Vì `NH` là phân giác của `hat(MNP)` `(g t)` `=>` `hat(INP)=1/2 hat(MNP)`  `(2)`

Vì `PK` là phân giác của `hat(MPN)` `(g t)` `=>` `hat(IPN)=1/2 hat(MPN)`  `(3)`

Từ `(1);(2);(3)` `=>` `hat(INP)+hat(IPN)=hat(MNP)/2+hat(MPN)/2=(hat(MNP)+hat(MPN))/2 =140^o/2=70^o`

Xét `△INP` có:  `hat(INP)+hat(IPN)+hat(NIP)=180^o` (Định lí tổng ba góc trong tam giác)

`=> hat(NIP)=180^o-(hat(NIP)+hat(IPN))=180^o - 70^o=110^o`

Vậy  `hat(NIP)=110^o`

Vì `AD` và `BE` là các đường cao trong tam giác `=>` `AD⊥BC` tại `D`, `BE⊥AC` tại `E`

Ta có:

      `hat(BID)+hatB_1=90^o` (Do `△BID` vuông tại `D`)

       `hat(ACB)+hatB_1=90^o`  (Do `△BEC` vuông tại `E`)

`=> hat(BID)=hat(ACB)=40^o`

Ta có:  `hat(BID)+hat(DIE)=180^o` (hai góc kề bù)

`=> hat(DIE)=180^o-hat(BID)=180^o-40^o=140^o`

Ta có:  `△DAC` vuông tại `D` nên `hat(DAC)+hat(ACB)=90^o`

`=> hat(DAC)=90^o-hat(ACB)=90^o-40^o=50^o`

Vậy  `hat(BID)=40^o;hat(DIE)=140^o ;hat(DAC)=50^o`