Vì ba điểm `M, N, P` không thẳng hàng nên `M, N, P` lập thành tam giác `MNP`.

Vì điểm `O` cách đều ba điểm `M, N, P` nên `O` là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác `MNP`.

Vậy đáp án đúng là: `O` là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác `MNP`.

Dựa vào giả thiết ta suy ra các đường thẳng `m, n, p` là ba đường trung trực của tam giác `ABC`. Do đó ba đường thẳng `m, n, p` đồng quy tại một điểm (hình vẽ).

Giả sử `∆ABC` có `AM` là đường phân giác đồng thời là đường trung trực ứng với cạnh `BC`.

Vì `AM` là đường phân giác của `∆ABC` (gt)

`⇒ hat(BAM) = hat(MAC)` (tính chất tia phân giác)

Vì `AM` là đường trung trực của `BC` nên `AM bot BC`

`=> hat(AMB) = hat(AMC) = 90^o`

Xét `∆ABM` và `∆ACM` có:

`hat(AMB) = hat(AMC) = 90^o` (cmt)

`AM` chung

`hat(BAM) = hat(MAC)` (cmt)

`⇒△ABM=△ACM ` ` (g.c.g)`

`⇒ AB=AC` (hai cạnh tương ứng)

`=> ∆ABC` cân tại `A`

Vậy tam giác `ABC` là tam giác cân.

Vì `OM` và `ON` là hai đường trung trực của tam giác `ABC` nên `O` là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác `ABC`  (tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác `ABC`).

Suy ra `O` cách đều ba đỉnh `A, B` và `C` hay `OA = OB = OC`

Do đó:  `OB = OC = 10` `cm`

Vậy `OB + OC = 10 + 10 = 20` `cm`.

Số cần điền là   20

Vì `M` là trung điểm của `BC` nên `AM` là đường trung tuyến mà tam giác `ABC` cân tại `A` nên `AM` đồng thời là đường cao, đường phân giác (của góc `BAC`), đường trung trực của cạnh `BC`.

Vậy đáp án đúng là: Tất cả đều đúng.

Vì đường trung trực của `AC` cắt `AB` tại `D` nên suy ra `DA=DC` (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)

`=> ∆ADC` là tam giác cân tại `D` (dấu hiệu nhận biết tam giác cân)

`=> hat A= hat(C_2)`   `(1)`  (tính chất tam giác cân)

Vì `CD` là đường phân giác của `hat(ACB)`

Xét `∆ABC` có:

`hatB+hatA+hat(ACB)=180^o`

`⇒hatA+2hatA+2hatA=180^o`

`⇒5hatA=180°`

`⇒hatA=36^o`

`⇒ hatB=hatC=2hatA=2.36^o=72^o`

Vậy `hatA=36^o; hatB=hatC=72^o`.

Vì `OM` và `ON` là hai đường trung trực của tam giác `ABC` nên `O` là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác `ABC`  (tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác `ABC`).

Suy ra `O` cách đều ba đỉnh `A, B` và `C` hay `OA = OB = OC`.

Xét `∆OAB` có:  `OA=OB` (cmt)

`=> ∆OAB` cân tại `O` (dấu hiệu nhận biết)

`=> hat(OBA)=hat(OAB) = 40^o`

Xét `∆OBC` có:  `OB=OC` (cmt)

`=> ∆OBC` cân tại `O` (dấu hiệu nhận biết)

`=> hat(OCB)=hat(OBC) = 20^o`

Xét `∆OAC` có:  `OA=OC` (cmt)

`=> ∆OAB` cân tại `O` (dấu hiệu nhận biết)

`=> hat(OAC)=hat(OCA) = 30^o`

Khi đó: 

`hat(BAC)=hat(OAB)+hat(OAC)=40^o + 30^o=70^o`

`hat(ABC)=hat(OBA)+hat(OBC)=40^o + 20^o=60^o`

`hat(ACB)=hat(OCA)+hat(OCB)=30^o + 20^o=50^o`

Vậy `hatA=70^o; hatB=60^o; hatC=50^o`.

Vì `E` thuộc đường trung trực của `AB` nên `EA=EB` (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)

Khi đó `△ABE` cân tại `E` (dấu hiệu nhận biết tam giác cân)

`⇒ hat(A_1) = hatB` (tính chất tam giác cân)

Vì `F` thuộc đường trung trực của `AC` nên `FA=FC` (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)

Khi đó `△AFC` cân tại `F` (dấu hiệu nhận biết tam giác cân)

`=> hat(A_3) = hatC` (tính chất tam giác cân)

Do đó: `hat(A_1) + hat(A_2) = hatB + hatC`

Xét `△ABC` có: `hat(BAC) + hatB + hatC = 180^o` (định lí tổng ba góc của một tam giác)

`⇒ hatB+ hatC=180^o − hat(BAC) = 180^o − 110^o = 70^o`

hay `hat(A_1) + hat(A_3) = 70^o`

Lại có:

`hat(A_1)+hat(A_2)+hat(A_3) = hat(BAC)`

`⇒ hat(A_2) = hat(BAC) − (hat(A_1)+hat(A_3))`

`⇒ hat(A_2) = 110^o − 70^o = 40^o`

Vậy `hat(EAF) = 40^o`.

* Ta có: `OA=OB => △OAB` cân tại `O`

Mà `Ox` là đường trung trực của `AB`

`=> Ox` là đồng thời tia phân giác của `hat(AOB)`

`=> hat O_1=hatO_2`

* Lại có: `OA=OC => △AOC` cân tại `O`

Mà `Oy` là đường trung trực của `AC`

`=>` `Oy` đồng thời là tia phân giác của `hat(AOC)`.

Suy ra: `hatO_3=hatO_4`

• Ta có: `hat(BOC)=hatO_1+hatO_2+hatO_3+hatO_4`

Mà `hatO_1=hatO_2` và `hatO_3=hatO_4` (chứng minh trên) nên:

     `hat(BOC)=2hatO_2+2hatO_3=2(hatO_2+hatO_3)=2hat(xOy)`

                   `=2.50^o=100^o`

Vậy `hat(BOC)=` `100^o`

Vì `AB` là trung trực của `HD` (gt) nên `AD=AH` (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)

Vì `AC` là trung trực của `HE` (gt) nên `AH=AE` (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)

`=>AD=AE=>triangleADE` cân tại `A`

Ta có:

`M` thuộc đường trung trực của `HD` nên `MD=MH` (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)

Xét `triangleAMD` và `triangleAMH` có:

`MD=MH` (cmt)

`AD=AH` (cmt)

`AM`: cạnh chung

`=>triangleAMD=triangleAMH` (c.c.c)

`=>\hat(MDA)=\hat(MHA)` (hai góc tương ứng)

Lại có:

`N` thuộc đường trung trực của `HE` nên `NH=NE` (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)

Xét `triangleAHN` và `triangleAEN` có:

`AN`: cạnh chung

`AH=AE` (cmt)

`NH=NE` (cmt)

`=>triangleAHN=triangleAEN` (c.c.c)

`=>\hat(NHA)=\hat(NEA)` (hai cạnh tương ứng)

Mà `triangleADE` cân tại `A=>\hat(MDA)=\hat(NEA)=>\hat(MHA)=\hat(NHA)`

Suy ra `HA` là đường phân giác của `\hat(MHN)`

Vậy cả hai đáp án trên là đáp án đúng.