Xét phương trình hoành độ giao điểm của `(d)` và `(P)` ta có

       `x^2 = 2mx - 2m +1`

`<=> x^2 - 2mx +2m -1=0` `(**)`

Ta có: `Delta= 4m^2 – 4 (2m – 1)`

`=> Delta = 4m^2 – 8m + 4`

`=> Delta = 4 (m – 1)^2  >=  0  forall m`

`=>` Phương trình `(**)` luôn có hai nghiệm `x_1; x_2` với mọi `m`

`=>`  `(d)` luôn cắt `(P)` tại hai điểm có hoành độ `x_1; x_2`

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

`{(x_1 + x_2 = 2m) , (x_1.x_2 = 2m-1) :}`

Xét `x_1^2 + x_2^2 = 10`

`<=> (x_1+x_2)^2 - 2x_1.x_2 = 10`

`<=> 4m^2 - 2(2m-1) = 10`

`<=> 4m^2 - 4m +2-10=0`

`<=> 4m^2 -4m -8=0`

`<=> m^2-m-2=0`

`<=> (m+1)(m-2)=0`

`<=> [(m=2) , (m=-1) :}`

Vậy `m = 2` và `m = −1` là các giá trị cần tìm

Xét phương trình hoành độ giao điểm của `(d)` và `(P)` ta có

       `x^2=3x+m-1`

`<=> x^2-3x-m+1=0` `(**)`

Để `(d)` cắt `(P)` tại hai điểm có hoành độ `x_1;x_2` thì phương trình `(**)` có hai nghiệm `x_1;x_2`

`<=> Delta >0`

`<=> (-3)^2 - 4(-m+1)>0`

`<=> 9 + 4m-4 > 0`

`<=> 4m > -5`

`<=> m > -5/4`

`=> m > -5/4` thì phương trình đã cho có `2` nghiệm `x_1;x_2`

Theo định lý Vi-ét ta có: 

       `{(x_1 + x_2 = 3 ) , (x_1 . x_2 = -m+1) :}`

Ta có:

       `(x_1 + 1)(x_2+1)=1`

`<=> x_1.x_2 + x_1 + x_2 + 1=1`

`<=> -m+1+3 = 0`

`<=> m =4`

Vậy `m = 4` thì `(d)` cắt `(P)` tại hai điểm có hoành độ `x_1;x_2` thỏa mãn `(x_1+1)(x_2+1)=1`.

Xét phương trình hoành độ giao điểm của `(d)` và `(P)` ta có

       `x^2 = 2(m+3)x - m^2 - 3`

`<=> x^2 -2(m+3)x + m^2 + 3 = 0 (**)`

Có  `Delta^' = [-(m+3)]^2 - 1.(m^2 + 3)`

`=> Delta^' = (m+3)^2 - m^2 - 3`

`=> Delta ^' = 6m+6`

Để `(d)` cắt `(P)` tại hai điểm phân biệt có hoành độ `x_1; x_2` thì phương trình `(**)` có hai nghiệm phân biệt `x_1; x_2`

`<=> Delta^' > 0`

`<=> 6m+6 > 0`

`<=> m > -1`

Có  `(2x_1-1)(2x_2-1)=9`

`<=> 4x_1x_2 - 2(x_1+x_2) + 1= 9 (1)`

Theo định lý Vi-ét, ta có:

       `{(x_1+x_2 = 2(m+3)) , (x_1x_2=m^2+3):}`  

Thay vào `(1)` ta được  

        `4(m^2+3) -4(m+3)+1=9`

`<=> 4m^2-4m-8=0`

`<=>m^2-m-2=0`

`<=>(m+1)(m-2)=0`

`<=>m=-1` (loại)

       `m=2` (thỏa mãn)

Vậy  `m=2` là giá trị cần tìm.

Phương trình hoành độ giao điểm của `(P)` và `(d)` là

       `x^2 = 2(m-1)x - 2m +4`

`<=> x^2 - 2(m-1)x + 2m -4 = 0`

Có `Delta^' = [-(m-1)]^2 - 1.(2m-4)`

`=> Delta ^' = (m-1)^2 - 2m +4`

`=> Delta ^ ' = m^2 -4m +5`

`=> Delta^' = (m-2)^2 + 1> 0 forall m`

Do đó phương trình đã cho luôn có hai nghiệm `x_1;x_2` phân biệt với mọi `m`

Theo định lý Vi-ét, ta có:

`{ (x_1 + x_2 = 2m-2) , (x_1x_2 = 2m-4) :}`

Có `A = x_1^2 + x_2^2 + 2x_1x_2 - 2x_1x_2`

`=> A=(x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2`

`=> A = (2m-2)^2 - 2(2m-4)`

`=> A = 4m^2 - 12m+12`

`=> A = (2m-3)^2 + 3 >= 3 forall m`

Vậy GTNN của `A=3` khi `2m-3=0 <=>` `m=3/2`

Xét phương trình hoành độ giao điểm của `(d)` và `(P)` ta có:

       `2x^2 = (m+3)x - m`

`<=> 2x^2 - (m+3)x + m = 0 (**)`

Để `(d)` cắt `(P)` tại hai điểm phân biệt có hoành độ `x_1; x_2` thì phương trình `(**)` có `2` nghiệm phân biệt `x_1; x_2`

`<=> Delta > 0`

`<=> (m+3)^2 - 8m >0`

`<=> m^2 + 6m +9 - 8m > 0`

`<=> (m-1)^2 + 8 > 0` (luôn đúng)

`=>` Phương trình `(**)` luôn có `2` nghiệm phân biệt `x_1; x_2`

Theo định lý Vi-ét ta có:

`{(x_1 + x_2 = (m+3)/2) , (x_1x_2 = m/2) :}`

Ta có:

     `A=abs(x_1 - x_2) `

`=> A = sqrt((x_1-x_2)^2)`

`=> A = sqrt((x_1+x_2)^2 - 4x_1x_2)`

`=> A= sqrt (((m+3)/2)^2 - 4. m/2`

`=> A = sqrt((m^2+6m+9)/4 - (8m)/4)`

`=> A = sqrt (((m-1)^2 +8)/4`

`=> A >= sqrt2`

GTNN của `A` là `sqrt2` khi `m = 1`

Xét phương trình hoành độ giao điểm của `(d)` và `(P)`:

      `-x^2 = kx - 1`

`<=> x^2 + kx -1 = 0` `(**)`

Có `Delta = k^2 - 4.1.(-1)`

`=> Delta = k^2+4>0 forall k` 

Suy ra `(**)` luôn có hai nghiệm phân biệt `x_1;x_2`

Do đó `(d)` luôn cắt `(P)` tại hai điểm `A,B` phân biệt

Theo định lý Vi-ét, ta có:

       `{(x_1 + x_2 = -k) , (x_1x_2 = -1) :}`

Xét `abs(x_1-x_2)^2`

`= (x_1-x_2)^2 `

`= (x_1+x_2)^2 - 4x_1x_2`

`=(-k)^2 - 4.(-1)`

`= k^2 + 4 >= 4`

`=> abs(x_1 - x_2) >= 2`

Khẳng định đã cho là đúng.

Xét phương trình hoành độ giao điểm của `(d)` và `(P)` ta có:

       `x^2 = mx -2`

`<=> x^2 - mx + 2 = 0` `(**)`

Để `(P)` cắt `(d)` tại hai điểm phân biệt thì phương trình  `(**)` có hai nghiệm phân biệt

`<=> Delta = m^2 - 8 >0`

`<=> m^2 > 8`

`<=> absm > sqrt8`

Khi ấy `x_1;x_2` là nghiệm của phương trình `(**)`

Theo hệ thức Vi-ét ta có :

       `{(x_1 + x_2 = m) , (x_1x_2 = 2) :}`

Ta có : `y_1 = mx_1 -2` ; `y_2 = mx_2 - 2`

       `y_1 + y_2 = 2(x_1 + x_2) - 1`

`<=> m(x_1 + x_2) - 4 = 2(x_1 + x_2) - 2`

`<=> m^2 - 4 = 2m -1`

`<=> m^2 - 2m - 3 = 0`

`<=> [(m=-1) , (m=3) :}`

Ta có `m=3` thỏa mãn điều kiện

Vậy với `m=3` thì `(P)` cắt `(d)` tại hai điểm thỏa mãn điều kiện đề bài

Xét phương trình hoành độ giao điểm của `(d)` và `(P)` ta có

      `x^2 = 2(m – 2)x - 2m + 5`

`<=>x^2 – 2(m – 2)x + 2m – 5 = 0` `(**)`

Ta có: `Delta ^ ' = (m – 2)^2 – 2m + 5`

`=> Delta ^' = m^2 – 6m + 9`

`=> Delta ^' = (m – 3)^2 ≥ 0 forall  m`

Nên phương trình luôn có hai nghiệm `x_1; x_2`

Theo hệ thức Vi - ét ta có:

       `{(x_1 + x_2 = 2m-4) , (x_1 . x_2 = 2m -5) :}`

Xét `x_1(1 − x_2) + x_2(1 – x_1) < 4`

`<=> (x_1 + x_2) - 2x_1 x_2 - 4 < 0`

`<=> 2m - 4 - 2.(2m-5) - 4 < 0`

`<=>-2m + 2 < 0`

`<=> m > 1`

Vậy `m > 1` là giá trị cần tìm

Xét phương trình hoành độ giao điểm của `(d)` và `(P)` ta có:

       `x^2 = 2mx - m^2 + 1`

`<=> x^2 - 2mx + m^2 - 1 = 0 (**)` 

Để `(d)` cắt `(P)` tại hai điểm phân biệt thì phương trình `(**)` có hai nghiệm phân biệt

`<=> Delta ^ ' > 0`

`<=> (-m)^2 - 1.(m^2-1) > 0`

`<=> 1 > 0` (luôn đúng `forall m`)

`=>` Phương trình `(**)` luôn có `2` nghiệm phân biệt với mọi `m`

Vậy `(d)` luôn cắt `(P)` tại `2` điểm phân biệt với mọi `m`

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

`{ (x_1 + x_2 = 2m) , (x_1 . x_2 = m^2 - 1) :}`   

Điều kiện: `x_1x_2 != 0`

`=> m^2 - 1 != 0 <=> m != +-1`

Ta có:

        `1/x_1 + 1/x_2 = (-2)/(x_1x_2) + 1`

`<=> (x_1+x_2)/(x_1x_2) = (-2)/(x_1x_2) + (x_1x_2)/(x_1x_2)`

`=> x_1 + x_2 = -2 + x_1x_2`

`=> 2m = -2 + m^2 -1`

`<=> m^2 - 2m - 3 = 0`

`<=> (m+1)(m-3)=0`

`<=> [ (m =-1 (KTM)) , (m=3 (TM)) :}`

 Vậy `m = 3` thì `(d)` cắt `(P)` tại hai điểm phân biệt có hoành độ `x_1;x_2` thỏa mãn `1/x_1 + 1/x_2 = (-2)/(x_1x_2) + 1`.

Xét phương trình hoành độ giao điểm của `(d)` và `(P)` ta có:

       `x^2 = (m+5)x - 3m -6`

`<=> x^2 - (m+5)x + 3m +6 = 0 (**)`

Để `(d)` cắt `(P)` tại hai điểm phân biệt có hoành độ `x_1; x_2` thì phương trình `(**)` có `2` nghiệm phân biệt `x_1; x_2`

`<=> Delta > 0`

`<=> (m+5)^2 - 4(3m+6) > 0`

`<=> m^2 + 10m + 25 - 12m - 24 > 0`

`<=> (m-1)^2 > 0`

`<=> m != 1`

`=> m != 1` phương trình `(**)` luôn có `2` nghiệm phân biệt `x_1; x_2`

 Theo định lý Vi-ét ta có:

       `{ (x_1 + x_2 = m +5) , (x_1x_2 = 3m +6) :}`

Để `x_1; x_2` là độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông có cạnh huyền là `5` thì

`=> { (x_1 > 0) , (x_2 > 0) , (x_1^2 + x_2^2 = 25) :}`

`<=> { (x_1 + x_2 > 0) , (x_1x_2 > 0) , ((x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2 = 25) :}`

`<=> { (m > -5) , (m > -2) , (m^2 + 10m + 25 - 6m -12 = 25) :}`

`<=> { (m > -2) , (m^2 + 4m -12 = 0 (1)) :}`

Giải phương trình `(1)` ta có:

       `m^2 + 4m -12 = 0`

`<=> (m-2)(m+6)=0`

`<=> [(m=2 ),(m=-6) :}`

Kết hợp với điều kiện `m > -2` suy ra `m =2`

Vậy `m=2` thì `(d)` cắt `(P)` tại `2` điểm phân biệt có hoành độ `x_1; x_2` có độ dài là `2` cạnh góc vuông có cạnh huyền bằng `5`.