Bài tập 1

Câu 1

Chọn đáp án đúng nhất

Cho parabol $(P): y= x^2$ và đường thẳng $d: y = 2mx - 2m +1$ . Tìm $m$ để $(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm có hoành độ $x_1;x_2$ thỏa mãn $x_1^2 + x_2^2 = 10$ .

$m=2$

$m=-1$

$m=-3$

$m=2 ; m=-1$

Đáp án đúng là:

$m=2 ; m=-1$

Kiểm tra

Xem hướng dẫn giải

Câu tiếp theo

Hướng dẫn giải chi tiết

Xét phương trình hoành độ giao điểm của $(d)$ và $(P)$ ta có

$x^2 = 2mx - 2m +1$

$<=> x^2 - 2mx +2m -1=0$ $(**)$

Ta có: $Delta= 4m^2 – 4 (2m – 1)$

$=> Delta = 4m^2 – 8m + 4$

$=> Delta = 4 (m – 1)^2 >= 0 forall m$

$=>$ Phương trình $(**)$ luôn có hai nghiệm $x_1; x_2$ với mọi $m$

$=>$ $(d)$ luôn cắt $(P)$ tại hai điểm có hoành độ $x_1; x_2$

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

${(x_1 + x_2 = 2m) , (x_1.x_2 = 2m-1) :}$

Xét $x_1^2 + x_2^2 = 10$

$<=> (x_1+x_2)^2 - 2x_1.x_2 = 10$

$<=> 4m^2 - 2(2m-1) = 10$

$<=> 4m^2 - 4m +2-10=0$

$<=> 4m^2 -4m -8=0$

$<=> m^2-m-2=0$

$<=> (m+1)(m-2)=0$

$<=> [(m=2) , (m=-1) :}$

Vậy $m = 2$ và $m = −1$ là các giá trị cần tìm

Câu 2

Điền đáp án đúng

Cho parabol $(P): y = x^2$ và đường thẳng $d:y=3x+m-1$ . Tìm $m$ để $(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm có hoành độ $x_1;x_2$ thỏa mãn $(x_1+1)(x_2+1)=1$ .

Giá trị của $m$ là $m=$

Đáp án đúng là:

$m=4$

Kiểm tra

Xem hướng dẫn giải

Câu tiếp theo

Hướng dẫn giải chi tiết

Xét phương trình hoành độ giao điểm của $(d)$ và $(P)$ ta có

$x^2=3x+m-1$

$<=> x^2-3x-m+1=0$ $(**)$

Để $(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm có hoành độ $x_1;x_2$ thì phương trình $(**)$ có hai nghiệm $x_1;x_2$

$<=> Delta >0$

$<=> (-3)^2 - 4(-m+1)>0$

$<=> 9 + 4m-4 > 0$

$<=> 4m > -5$

$<=> m > -5/4$

$=> m > -5/4$ thì phương trình đã cho có $2$ nghiệm $x_1;x_2$

Theo định lý Vi-ét ta có:

${(x_1 + x_2 = 3 ) , (x_1 . x_2 = -m+1) :}$

Ta có:

$(x_1 + 1)(x_2+1)=1$

$<=> x_1.x_2 + x_1 + x_2 + 1=1$

$<=> -m+1+3 = 0$

$<=> m =4$

Vậy $m = 4$ thì $(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm có hoành độ $x_1;x_2$ thỏa mãn $(x_1+1)(x_2+1)=1$ .

Câu 3

Điền đáp án đúng

Cho parabol $(P): y=x^2$ và đường thẳng $d:y=2(m+3)x - m^2 - 3$ Tìm $m$ để $(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_1;x_2$ thỏa mãn $(2x_1 - 1)(2x_2-1)=9$

Giá trị của $m$ cần tìm là $m=$

Đáp án đúng là:

$m=2$

Kiểm tra

Xem hướng dẫn giải

Câu tiếp theo

Hướng dẫn giải chi tiết

Xét phương trình hoành độ giao điểm của $(d)$ và $(P)$ ta có

$x^2 = 2(m+3)x - m^2 - 3$

$<=> x^2 -2(m+3)x + m^2 + 3 = 0 (**)$

Có $Delta^' = [-(m+3)]^2 - 1.(m^2 + 3)$

$=> Delta^' = (m+3)^2 - m^2 - 3$

$=> Delta ^' = 6m+6$

Để $(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_1; x_2$ thì phương trình $(**)$ có hai nghiệm phân biệt $x_1; x_2$

$<=> Delta^' > 0$

$<=> 6m+6 > 0$

$<=> m > -1$

Có $(2x_1-1)(2x_2-1)=9$

$<=> 4x_1x_2 - 2(x_1+x_2) + 1= 9 (1)$

Theo định lý Vi-ét, ta có:

${(x_1+x_2 = 2(m+3)) , (x_1x_2=m^2+3):}$

Thay vào $(1)$ ta được

$4(m^2+3) -4(m+3)+1=9$

$<=> 4m^2-4m-8=0$

$<=>m^2-m-2=0$

$<=>(m+1)(m-2)=0$

$<=>m=-1$ (loại)

$m=2$ (thỏa mãn)

Vậy $m=2$ là giá trị cần tìm.

Câu 4

Điền đáp án đúng

Cho parabol $(P): y = x^2$ và đường thẳng $d: y = 2(m-1) x - 2m + 4$ Tìm $m$ để $(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_1;x_2$ sao cho biểu thức $A = x_1^2 + x_2^2$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Giá trị của $m$ là $m =$

Đáp án đúng là:

$m =3/2$

Kiểm tra

Xem hướng dẫn giải

Câu tiếp theo

Hướng dẫn giải chi tiết

Phương trình hoành độ giao điểm của $(P)$ và $(d)$ là

$x^2 = 2(m-1)x - 2m +4$

$<=> x^2 - 2(m-1)x + 2m -4 = 0$

Có $Delta^' = [-(m-1)]^2 - 1.(2m-4)$

$=> Delta ^' = (m-1)^2 - 2m +4$

$=> Delta ^ ' = m^2 -4m +5$

$=> Delta^' = (m-2)^2 + 1> 0 forall m$

Do đó phương trình đã cho luôn có hai nghiệm $x_1;x_2$ phân biệt với mọi $m$

Theo định lý Vi-ét, ta có:

${ (x_1 + x_2 = 2m-2) , (x_1x_2 = 2m-4) :}$

Có $A = x_1^2 + x_2^2 + 2x_1x_2 - 2x_1x_2$

$=> A=(x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2$

$=> A = (2m-2)^2 - 2(2m-4)$

$=> A = 4m^2 - 12m+12$

$=> A = (2m-3)^2 + 3 >= 3 forall m$

Vậy GTNN của $A=3$ khi $2m-3=0 <=>$ $m=3/2$

Câu 5

Chọn đáp án đúng nhất

Cho Parabol $(P): y=2x^2$ và $(d): y = (m+3)x-m$ ( $m$ là tham số). Khi $(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_1; x_2$ thì giá trị nhỏ nhất của $A= abs(x_1-x_2)$ là bao nhiêu?

$1$

$sqrt2$

$sqrt3$

$2sqrt2$

Đáp án đúng là:

$sqrt2$

Kiểm tra

Xem hướng dẫn giải

Câu tiếp theo

Hướng dẫn giải chi tiết

Xét phương trình hoành độ giao điểm của $(d)$ và $(P)$ ta có:

$2x^2 = (m+3)x - m$

$<=> 2x^2 - (m+3)x + m = 0 (**)$

Để $(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_1; x_2$ thì phương trình $(**)$ có $2$ nghiệm phân biệt $x_1; x_2$

$<=> Delta > 0$

$<=> (m+3)^2 - 8m >0$

$<=> m^2 + 6m +9 - 8m > 0$

$<=> (m-1)^2 + 8 > 0$ (luôn đúng)

$=>$ Phương trình $(**)$ luôn có $2$ nghiệm phân biệt $x_1; x_2$

Theo định lý Vi-ét ta có:

${(x_1 + x_2 = (m+3)/2) , (x_1x_2 = m/2) :}$

Ta có:

$A=abs(x_1 - x_2)$

$=> A = sqrt((x_1-x_2)^2)$

$=> A = sqrt((x_1+x_2)^2 - 4x_1x_2)$

$=> A= sqrt (((m+3)/2)^2 - 4. m/2$

$=> A = sqrt((m^2+6m+9)/4 - (8m)/4)$

$=> A = sqrt (((m-1)^2 +8)/4$

$=> A >= sqrt2$

GTNN của $A$ là $sqrt2$ khi $m = 1$

Câu 6

Chọn đáp án đúng nhất

Cho Parabol $(P): y = -x^2$ và đường thẳng $d: y = kx-1$ . Biết $A, B$ là giao điểm của $(d)$ và $(P)$ và $A$ có hoành độ là $x_1$ , $B$ có hoành độ là $x_2$ . Khẳng định $abs(x_1 - x_2) >= 2$ là đúng hay sai?

Đúng

Sai

Đáp án đúng là:

Đúng

Kiểm tra

Xem hướng dẫn giải

Câu tiếp theo

Hướng dẫn giải chi tiết

Xét phương trình hoành độ giao điểm của $(d)$ và $(P)$ :

$-x^2 = kx - 1$

$<=> x^2 + kx -1 = 0$ $(**)$

Có $Delta = k^2 - 4.1.(-1)$

$=> Delta = k^2+4>0 forall k$

Suy ra $(**)$ luôn có hai nghiệm phân biệt $x_1;x_2$

Do đó $(d)$ luôn cắt $(P)$ tại hai điểm $A,B$ phân biệt

Theo định lý Vi-ét, ta có:

${(x_1 + x_2 = -k) , (x_1x_2 = -1) :}$

Xét $abs(x_1-x_2)^2$

$= (x_1-x_2)^2$

$= (x_1+x_2)^2 - 4x_1x_2$

$=(-k)^2 - 4.(-1)$

$= k^2 + 4 >= 4$

$=> abs(x_1 - x_2) >= 2$

Khẳng định đã cho là đúng.

Câu 7

Điền đáp án đúng

Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ sao cho parabol $(P): y=x^2$ cắt đường thẳng $d: y = mx - 2$ tại hai điểm phân biệt $A(x_1 ; y_1)$ ; $B(x_2 ; y_2)$ thỏa mãn $y_1 + y_2 = 2(x_1 + x_2) - 1$

Giá trị của $m$ là $m=$

Đáp án đúng là:

$m=3$

Kiểm tra

Xem hướng dẫn giải

Câu tiếp theo

Hướng dẫn giải chi tiết

Xét phương trình hoành độ giao điểm của $(d)$ và $(P)$ ta có:

$x^2 = mx -2$

$<=> x^2 - mx + 2 = 0$ $(**)$

Để $(P)$ cắt $(d)$ tại hai điểm phân biệt thì phương trình $(**)$ có hai nghiệm phân biệt

$<=> Delta = m^2 - 8 >0$

$<=> m^2 > 8$

$<=> absm > sqrt8$

Khi ấy $x_1;x_2$ là nghiệm của phương trình $(**)$

Theo hệ thức Vi-ét ta có :

${(x_1 + x_2 = m) , (x_1x_2 = 2) :}$

Ta có : $y_1 = mx_1 -2$ ; $y_2 = mx_2 - 2$

$y_1 + y_2 = 2(x_1 + x_2) - 1$

$<=> m(x_1 + x_2) - 4 = 2(x_1 + x_2) - 2$

$<=> m^2 - 4 = 2m -1$

$<=> m^2 - 2m - 3 = 0$

$<=> [(m=-1) , (m=3) :}$

Ta có $m=3$ thỏa mãn điều kiện

Vậy với $m=3$ thì $(P)$ cắt $(d)$ tại hai điểm thỏa mãn điều kiện đề bài

Câu 8

Chọn đáp án đúng nhất

Tìm tham số $m$ để đường thẳng $d: y = 2(m-2)x - 2m + 5$ cắt parabol $(P): y = x^2$ tại $2$ điểm có hoành độ $x_1, x_2$ sao cho $x_1(1 − x_2) + x_2(1 – x_1) < 4$

$m>1$

$m<0$

$m>2$

$m<3$

Đáp án đúng là:

$m>1$

Kiểm tra

Xem hướng dẫn giải

Câu tiếp theo

Hướng dẫn giải chi tiết

Xét phương trình hoành độ giao điểm của $(d)$ và $(P)$ ta có

$x^2 = 2(m – 2)x - 2m + 5$

$<=>x^2 – 2(m – 2)x + 2m – 5 = 0$ $(**)$

Ta có: $Delta ^ ' = (m – 2)^2 – 2m + 5$

$=> Delta ^' = m^2 – 6m + 9$

$=> Delta ^' = (m – 3)^2 ≥ 0 forall m$

Nên phương trình luôn có hai nghiệm $x_1; x_2$

Theo hệ thức Vi - ét ta có:

${(x_1 + x_2 = 2m-4) , (x_1 . x_2 = 2m -5) :}$

Xét $x_1(1 − x_2) + x_2(1 – x_1) < 4$

$<=> (x_1 + x_2) - 2x_1 x_2 - 4 < 0$

$<=> 2m - 4 - 2.(2m-5) - 4 < 0$

$<=>-2m + 2 < 0$

$<=> m > 1$

Vậy $m > 1$ là giá trị cần tìm

Câu 9

Chọn đáp án đúng nhất

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , cho đường thẳng $(d): y = 2mx - m^2 + 1$ và Parabol $(P): y = x^2$ . Tìm $m$ để $(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_1;x_2$ thỏa mãn $1/x_1 + 1/x_2 = (-2)/(x_1x_2) + 1$

$m=1$

$m=0$

$m=2$

$m=3$

Đáp án đúng là:

$m=3$

Kiểm tra

Xem hướng dẫn giải

Câu tiếp theo

Hướng dẫn giải chi tiết

Xét phương trình hoành độ giao điểm của $(d)$ và $(P)$ ta có:

$x^2 = 2mx - m^2 + 1$

$<=> x^2 - 2mx + m^2 - 1 = 0 (**)$

Để $(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt thì phương trình $(**)$ có hai nghiệm phân biệt

$<=> Delta ^ ' > 0$

$<=> (-m)^2 - 1.(m^2-1) > 0$

$<=> 1 > 0$ (luôn đúng $forall m$ )

$=>$ Phương trình $(**)$ luôn có $2$ nghiệm phân biệt với mọi $m$

Vậy $(d)$ luôn cắt $(P)$ tại $2$ điểm phân biệt với mọi $m$

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

${ (x_1 + x_2 = 2m) , (x_1 . x_2 = m^2 - 1) :}$

Điều kiện: $x_1x_2 != 0$

$=> m^2 - 1 != 0 <=> m != +-1$

Ta có:

$1/x_1 + 1/x_2 = (-2)/(x_1x_2) + 1$

$<=> (x_1+x_2)/(x_1x_2) = (-2)/(x_1x_2) + (x_1x_2)/(x_1x_2)$

$=> x_1 + x_2 = -2 + x_1x_2$

$=> 2m = -2 + m^2 -1$

$<=> m^2 - 2m - 3 = 0$

$<=> (m+1)(m-3)=0$

$<=> [ (m =-1 (KTM)) , (m=3 (TM)) :}$

Vậy $m = 3$ thì $(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_1;x_2$ thỏa mãn $1/x_1 + 1/x_2 = (-2)/(x_1x_2) + 1$ .

Câu 10

Điền đáp án đúng

Cho Parabol $(P): y = x^2$ và đường thẳng $d: y = (m+5)x - 3m - 6$ ( $m$ là tham số). Tìm $m$ để $(d)$ cắt $(P)$ tại $2$ điểm phân biệt có hoành độ $x_1; x_2$ có độ dài là $2$ cạnh góc vuông có cạnh huyền bằng $5$ .

Giá trị cần tìm của $m$ cần tìm là $m=$

Đáp án đúng là:

$m=2$

Kiểm tra

Xem hướng dẫn giải

Hướng dẫn giải chi tiết

Xét phương trình hoành độ giao điểm của $(d)$ và $(P)$ ta có:

$x^2 = (m+5)x - 3m -6$

$<=> x^2 - (m+5)x + 3m +6 = 0 (**)$

Để $(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_1; x_2$ thì phương trình $(**)$ có $2$ nghiệm phân biệt $x_1; x_2$

$<=> Delta > 0$

$<=> (m+5)^2 - 4(3m+6) > 0$

$<=> m^2 + 10m + 25 - 12m - 24 > 0$

$<=> (m-1)^2 > 0$

$<=> m != 1$

$=> m != 1$ phương trình $(**)$ luôn có $2$ nghiệm phân biệt $x_1; x_2$

Theo định lý Vi-ét ta có:

${ (x_1 + x_2 = m +5) , (x_1x_2 = 3m +6) :}$

Để $x_1; x_2$ là độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông có cạnh huyền là $5$ thì

$=> { (x_1 > 0) , (x_2 > 0) , (x_1^2 + x_2^2 = 25) :}$

$<=> { (x_1 + x_2 > 0) , (x_1x_2 > 0) , ((x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2 = 25) :}$

$<=> { (m > -5) , (m > -2) , (m^2 + 10m + 25 - 6m -12 = 25) :}$

$<=> { (m > -2) , (m^2 + 4m -12 = 0 (1)) :}$

Giải phương trình $(1)$ ta có:

$m^2 + 4m -12 = 0$

$<=> (m-2)(m+6)=0$

$<=> [(m=2 ),(m=-6) :}$

Kết hợp với điều kiện $m > -2$ suy ra $m =2$

Vậy $m=2$ thì $(d)$ cắt $(P)$ tại $2$ điểm phân biệt có hoành độ $x_1; x_2$ có độ dài là $2$ cạnh góc vuông có cạnh huyền bằng $5$ .