Gọi vận tốc dự định của ô tô là:

       `x` `(km//h;x>10)`

Thời gian dự định đi từ `A` đến `B` là:

       `y` `(giờ; y>3)`

Quãng đường `AB` là: `xy` `(km)`

Vì xe chạy mỗi giờ nhanh hơn `10` `km` thì đến sớm hơn dự định `3` `giờ` nên:

      `(x+10)(y-3)=xy`

Vì xe chạy chậm lại mỗi giờ `10` `km` thì đến nơi chậm mất `5` `giờ` nên:

       `(x-10)(y+5)=xy`

Ta có hệ phương trình:

       `{((x+10)(y-3)=xy),((x-10)(y+5)=xy):}`

`<=>{(xy-3x+10y-30=xy),(xy+5x-10y-50=xy):}`

`<=>{(-3x+10y=30),(5x-10y=50):}`

`<=>{(x=40),(y=15):}``(tm)`

Vậy quãng đường `AB` dài `600` `km`.

Đổi `30` `phút` `=1/2` `giờ`

Gọi thời gian ô tô đi trên quãng đường `AB` là: `x` `(giờ,0<x<y)`

Thời gian ô tô đi trên quãng đường `BC` là: `y` `(giờ,y> 1/2)`

Quãng đường `AB` là: `50x` `(km)`

Quãng đường `BC` là: `45y` `(km)`

Ta có phương trình:

       `50x+45y=165`   `(1)`

Theo đề bài, thời gian đi trên quãng đường `AB` ít hơn thời gian đi trên quãng đường `BC` là `30` `phút`

Ta có phương trình:

       `y-x=1/2`   `(2)`

Từ `(1)` và `(2)` ta có hệ phương trình:

       `{(50x+45y=165),(y-x=1/2):}`

Giải ra ta được:

      `{(x=3/2),(y=2):}`  (thỏa mãn)

Vậy thời gian ô tô đi trên quãng đường `AB` và `BC` lần lượt là `1`,`5` `giờ` và `2` `giờ`.

Gọi vận tốc riêng của ca nô là:

       `x` `(km//h,x>0)`

Vận tốc của dòng nước là:

       `y` `(km//h,0<y<x)`

Vận tốc xuôi dòng của ca nô là:

       `(x+y)` `km//h`

Vận tốc ngược dòng của ca nô là:

       `(x-y)` `km//h`

Theo đề bài, ca nô chạy trên sông trong `7` `giờ`, xuôi dòng `108` `km` và ngược dòng `63` `km`, ta có:

       `108/(x+y)+63/(x-y)=7` `(1)`

Theo đề bài, ca nô chạy trên sông cũng trong `7` `giờ`, xuôi dòng `81` `km` và ngược dòng `64` `km`, ta có:

       `81/(x+y)+84/(x-y)=7` `(2)`

Từ `(1)` và `(2)` ta có hệ phương trình:

       `{(108/(x+y)+63/(x-y)=7),(81/(x+y)+84/(x-y)=7):}`

Đặt `1/(x+y)=a;1/(x-y)=b`

Hệ phương trình có dạng:

       `{(108a+63b=7),(81a+84b=7):}`

Giải ra ta được:

       `{(a=1/247),(b=1/21):}`

Suy ra:

       `{(x+y=27),(x-y=21):}`

`<=>{(x=24),(y=3):}` `(tm)`

Vận tốc riêng của ca nô là `24` `km//h`.

Vận tốc của dòng nước là `3` `km//h`.

Gọi vận tốc của người đó đi từ `A` đến `B` là:  `x` `(0<x<y; km//h)`

Vận tốc của người đó đi từ `B` về `A` là:

       `y` `(y>5; km//h)`

Vì vận tốc đi từ `B` về `A` lớn hơn vận tốc lúc đi mỗi giờ `5` `km`

`=>y-x=5` `(1)`

Thời gian đi từ `A` đến `B` là: `60/y` `(h)`

Thời gian đi từ `B` về `A` là: `60/y` `(h)`

Vì thời gian về ít hơn thời gian đi là

`1` giờ `=>60/x-60/y=1`  `(2)`

Từ `(1)` và `(2)` ta có hệ phương trình:

       `{(y-x=5),(60/x-60/y=1):}`

`<=>{(y-x=5),((60y-60x)/(xy)=1):}`

`<=>{(y-x=5),(300/(xy)=1):}`

`<=>{(y-x=5),(xy=300):}`

`<=>{(y=x+5),(x(x+5)=300):}`

`<=>{(y=x+5),(x^2+5x-300=0):}`

`<=>{(y=x+5),([(x=15,,),(x=-20,,(L)):}):}`

`<=>{(y=20),(x=15):}`  (TM)

Vậy vận tốc của người đó đi từ `A` đến `B` là `15 km//h`.

Gọi vận tốc của người thứ nhất là:

       `x``(x>0; km//h)`

Vận tốc của người thứ hai là:

       `y``(y>0;km//h)`

Quãng đường người thứ nhất đi từ điểm xuất phát đến khi gặp người thứ hai là: `4x` `(km)`

Quãng đường người thứ hai đi từ điểm xuất phát đến khi gặp người thứ nhất là: `4y` `(km)`

Mà người thứ nhất đi nhiều hơn người thứ hai `2` `km`

`=>4x-4y=2`  `(1)`

Hai điểm xuất phát cách nhau `38` `km`

`=>4x+4y=38`  `(2)`

Từ `(1)` và `(2)` suy ra:

       `{(4x+4y=38),(4x-4y=2):}`

`<=>{(8x=40),(4x-4y=2):}`

`<=>{(x=5),(x=9/2):}` (TM)

Vậy vận tốc của người thứ nhất 

là `5` `km//h`

Vận tốc của người thứ hai

là `4`,`5` `km//h`

Gọi vận tốc riêng của tàu thủy là:
       `x` `(x>0; km//h)`

Vận tốc của dòng nước là:

       `y` `(0<y<x; km//h)`

Vận tốc tàu chạy xuôi dòng là:

       `(x+y)` `km//h`

Vận tốc tàu chạy ngược dòng là:

       `(x-y)` `km//h`

Thời gian tàu chạy xuôi dòng sông

`66` `km` là: `66/(x+y)` `(h)`

Thời gian tàu chạy ngược dòng

`54` `km` là: `54/(x-y)` `(h)`

Vì thời gian tàu thủy chạy xuôi dòng sông `66` `km` bằng thời gian tàu chạy ngược dòng `54` `km`

`=> 66/(x+y)=54/(x-y)`

Thời gian tàu chạy xuôi dòng `22` `km`:

       `22/(x+y)` `(h)`

Thời gian tàu chạy ngược dòng `9` `km`:

       `9/(x-y)` `(h)`

Vì tàu chạy xuôi dòng `22` `km` và ngược dòng `9` `km` thì hết `1` `giờ`

`=> 22/(x+y)+9/(x-y)=1`

Ta có hệ phương trình:

       `{(66/(x+y)=54/(x-y)),(22/(x+y)+9/(x-y)=1):}`

Đặt `a=1/(x+y)`  `(a>0)`

      `b=1/(x-y)`   `(b>0)`

`=>{(66a=54b),(22a+9b=1):}`

`<=>{(66a=54b),(66a+27b=3):}`

`<=>{(66a=54b),(54b+27b=3):}`

`<=>{(66a=54b),(81b=3):}`

`<=>{(a=11/33),(b=1/27):}`

`=>{(1/(x+y)=1/33),(1/(x-y)=1/27):}`

`<=>{(x+y=33),(x-y=27):}`

`=>{(x=30),(y=3):}` (tm)

Vậy vận tốc riêng của dòng nước là:

        `3` `km//h`.

Gọi địa điểm hai xe gặp nhau là `C`

Gọi vận tốc ô tô là `x` `(km//h, x>0)`

      vận tốc mô tô là `y` `(km//h, x>0)`

Quãng đường ô tô đi từ `C` đến `B` là:

       `1/2x` `(km)`

Quãng đường mô tô đi từ `C` đến `A` là:

       `2y` `(km)`

Theo đề bài, ta có phương trình:

       `1/2x+2y=90` `(1)`

Theo đề bài, thời gian ô tô đi từ `A` đến `C` bằng thời gian mô tô đi từ `B` đến `C` nên ta có phương trình:

       `(2y)/x=(1/2x)/y``<=>4y^2=x^2` `(2)`

Từ `(1)` và `(2)` ta có hệ phương trình:

       `{(1/2x+2y=90),(x^2=4y^2):}`

`<=>{(x+4y=180),(x=2y):}` `(x>0,y>0)`

Giải ra ta được: `{(x=60),(y=30):}` (TM)

Vậy vận tốc ô tô là `60 km//h`

Vận tốc mô tô là `30 km//h`.

Gọi `x, y` `(x,y>0; km//h)` lần lượt là vận tốc của em học sinh đi trên nửa quãng đường đầu và nửa quãng đường sau

Thời gian đi trên nửa quãng đường đầu là: `(1,5)/x` `(h)`

Thời gian đi trên nửa quãng đường sau là: `(1,5)/y` `(h)`

Theo đề bài ta có:

      `(1,5)/x+(1,5)/y=1/3` `(1)`

Mà vận tốc em đó đi trong nửa quãng đường đầu gấp hai lần vận tốc đi trong nửa đoạn đường sau nên:

       `x=2y` `(2)`

Từ `(1)` và `(2)` ta có hệ phương trình:

      `{(x=2y),((1,5)/x+(1,5)/y=1/3):}`

Giải ra ta được: `x= 13`,`5`; `x=6`,`75` 

Vậy vận tốc em đó đi trên nửa quãng đường sau là: `6`,`75` `km//h`.

Gọi vận tốc của xe thứ nhất là:

       `x` `(km//h; x>0)`

Vận tốc của xe thứ hai là:

       `y` `(km//h; y>0)`

Quãng đường xe thứ nhất đi từ `A` đến thời điểm hai xe gặp nhau là: `2x` `(giờ)`

Quãng đường xe thứ hai đi từ `B` đến thời điểm hai xe gặp nhau là: `2y` `(giờ)`

Khi đó ta có phương trình:

       `2x+2y=200`  `(1)`

Do xe thứ nhất khởi hành trước xe thứ hai `2` `giờ` nên khi xe thứ hai đi được

`1` `giờ` thì xe thứ nhất đi được:

       `2+1=3` `(giờ)` 

Khi đó ta có phương trình:

       `3x+y=200` `(2)`

Từ `(1)` và `(2)` suy ra:

       `{(2x+2y=200),(3x+y=200):}`

`<=>{(x+y=100),(3x+y=200):}`

`<=>{(x+y=100),(2x=100):}`

`<=>{(x=50),(y=50):}` (TM)

Vậy vận tốc xe thứ nhất là `50` `km//h`.

Gọi vận tốc đoạn lên dốc của người đó là: `x` `(km//h; x>0)`

Gọi vận tốc đoạn xuống dốc của người đó là: `y` `(km//h; y>0)`

Nếu người đó đạp xe từ `A` đến `B`:

Thời gian lên dốc của người đó là:

       `30/x` `(giờ)`

Thời gian xuống dốc của người đó là:

      `60/y` `(giờ)`

Thời gian người đó đạp xe trên đoạn nằm ngang là: `40/50=4/5` `(giờ)`

Mà thời gian người đó đạp xe từ `A` đến `B` hết `4` `giờ` `18` `phút` `=43/10` `(giờ)`

Ta có phương trình:

       `30/x+60/y+4/5=43/10`

Nếu người đó đạp xe từ `B` về `A`:

Thời gian lên dốc của người đó là:

       `60/x` `(giờ)`

Thời gian xuống dốc của người đó là:

      `30/y` `(giờ)`

Thời gian người đó đạp xe trên đoạn nằm ngang là: `40/50=4/5` `(giờ)`

Mà thời gian người đó đạp xe từ B về A hết `4` `giờ` `48` `phút` `=24/5` `(giờ)` 

Ta có phương trình:

       `60/x+30/y+4/5=24/5`

Ta có hệ phương trình sau:

       `{(30/x+60/y+4/5=43/10),(60/x+30/y+4/5=24/5):}`

`<=>{(30/x+60/y=7/2),(60/x+30/y=4):}`

Đặt `1/x=a,1/y=b`

Khi đó hệ phương trình trở thành:

       `{(30a+60b=7/2),(60a+30b=4):}`

Giải hệ tìm được `{(a=1/20),(b=1/30):}`

Khi đó: `{(x=20),(y=30):}` (TM)

Vậy vận tốc đoạn lên dốc và xuống dốc của người đó lần lượt là:

 `20` `km//h` và `30` `km//h`