Xét phương trình hoành độ giao điểm của `(d)` và `(P)` ta có:

       `x^2 = -4x + m`

`<=> x^2 + 4x - m =0` `(**)`

Để `(d)` cắt `(P)` tại hai điểm phân biệt có hoành độ `x_1; x_2` thì phương trình `(**)` có `2` nghiệm phân biệt `x_1; x_2`

`<=> Delta ^' > 0`

`<=> 4 + m > 0`

`<=> m > - 4`

`=> m > -4` phương trình `(**)` luôn có `2` nghiệm phân biệt `x_1; x_2`

Theo định lý Vi-ét ta có:

       `{(x_1 + x_2 = -4) , (x_1x_2 = -m) :}`

Ta có: `(1/x_1 + 1/x_2)(x_1^2 + x_2^2) = 4(m+2)`

`<=> ((x_1+x_2)/(x_1x_2))[(x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2] = 4(m+2)`

Với `m!=0`

`=> 4/m (16+2m) = 4( m+2)` 

`<=> m^2 = 16`

`<=> m = +-4`

Kết hợp điều kiện: `m > -4 , m != 0` ta được `m = 4` thỏa mãn đề bài.

Xét phương trình hoành độ giao điểm của `(d)` và `(P)`:

       `x^2 = 2mx - m^2 + 1`

`<=> x^2 - 2mx + m^2 -1 = 0 (**)`

Có `Delta^' = (-m)^2 - 1.(m^2-1)`

`=> Delta^' = 1 >0 forall m`

Do đó phương trình `(**)` luôn có hai nghiệm phân biệt `x_1;x_2` nên `(d)` luôn cắt `(P)` tại hai điểm phân biệt

Do `Delta^' = 1` nên hai nghiệm của `(**)` là `x = m-1 ; x = m+1`

Trường hợp `1`:  `x_1 = m-1 ; x_2 = m+1`

`=> y_1 = (m-1)^2 ; y_2 = (m+1)^2`

Ta có: `y_1 - y_2 > 4`

`=> (m-1)^2- (m+1)^2 > 4`

`<=> -4m > 4`

`<=> m < -1`

Trường hợp `2`:  `x_1 = m+1 ; x_2 = m-1`

`=> y_1 = (m+1)^2 ; y_2 = (m-1)^2`

Ta có: `y_1 - y_2 > 4`

`=> (m+1)^2- (m-1)^2 > 4`

`<=> 4m > 4`

`<=> m > 1`

Vậy `m > 1` hoặc `m < -1` thì `(d)` cắt `(P)` tại hai điểm phân biệt `A(x_1;y_1) ; B(x_2;y_2)` thỏa mãn `y_1 - y_2 > 4`

Xét phương trình hoành độ giao điểm của `(d)` và `(P)`:

       `x^2 = 2mx - m^2 + m + 1`

`<=> x^2 - 2mx + m^2 - m - 1 = 0 (**)`

Ta có: `Delta ^' = (-m)^2 - 1.(m^2 - m -1) = m+1`

Để `(d)` cắt `(P)` tại hai điểm phân biệt thì phương trình `(**)` có hai nghiệm phân biệt

`<=> Delta^' > 0`

`<=> m +1>0`

`<=> m> -1`

Theo định lý Vi-ét ta có:

`{(x_1 + x_2 = 2m) , (x_1x_2 = m^2 - m -1) :}`

Vì `A, B in (P): y = x^2`

`=> y_1 = x_1^2` ; `y_2 = x_2^2`

Ta có: `y_1 + y_2 + 2x_1 + 2x_2 = 22`

`<=> x_1^2 + x_2^2 + 2x_1 + 2x_2 = 22`

`<=> (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2 + 2(x_1+x_2)=22`

Thay `x_1+x_2 = 2m` và `x_1x_2=m^2-m-1` ta có:

`(2m)^2 -2(m^2-m-1)+2.2m = 22`

`<=> m^2 + 3m -10 =0`

`<=> (m-2)(m+5) = 0`

`<=> [(m=2),(m=-5):}`

Kết hợp với điều kiện `m > -1` suy ra `m=2`

Vậy `m = 2` là giá trị cần tìm

Phương trình hoành độ giao điểm của `(d)` và `(P)` là:

       `x^2 = mx - m +1`

`<=> x^2 - mx + m -1 = 0` `(**)`

Có `Delta = (-m)^2 - 4.1.(m-1)`

`=> Delta = m^2 - 4m +4 = (m-2)^2`

Để `(d)` cắt  `(P)` tại hai điểm phân biệt thì phương trình `(**)` có hai nghiệm phân biệt

`<=> Delta > 0 <=> (m-2)^2 > 0 <=> m != 2`

Theo định lý Vi-ét, ta có:

`{(x_1 + x_2 = m) , (x_1x_2 = m-1) :}`

Xét `(abs(x_1) +abs(x_2))^2`

`= abs(x_1)^2 + abs(x_2)^2 + 2abs(x_1).abs(x_2)`

`= x_1^2 + x_2^2 + 2abs(x_1x_2)`

`=x_1^2+x_2^2+2x_1x_2 - 2x_1x_2 + 2abs(x_1x_2)`

`= (x_1+ x_2)^2 - 2x_1x_2 + 2abs(x_1x_2)`

`= m^2 - 2.(m-1) + 2.abs(m-1)`

`= m^2 - 2m + 2 + 2.abs(m-1)`

`= (m-1)^2 + 2.abs(m-1) + 1`

`=( abs(m-1) + 1)^2`

Do đó `abs(x_1) + abs(x_2) =4`

`<=> (abs(x_1) + abs(x_2))^2 = 16`

`<=> ( abs(m-1) + 1)^2 = 16`

`<=> abs(m-1) + 1 = 4`

`<=> abs(m-1) = 3`

`<=> m = -2 ; m =4` (thỏa mãn)

Vậy `m = -2 ; m =4` là giá trị cần tìm.

Phương trình hoành độ giao điểm của `(d)` và `(P)` là:

       `x^2=2(m-1)x+3-2m`

`<=> x^2-2(m-1)x+2m-3=0 (**)`

Có `Delta^' = [-(m-1)^2] - 1.(2m-3)`

`=> Delta^'=(m-1)^2-2m+3`

`=> Delta^'=m^2-4m+4`

`=> Delta^'=(m-2)^2`

Để `(d)` cắt `(P)` tại hai điểm phân biệt thì phương trình `(**)` có hai nghiệm phân biệt

`<=> Delta^'>0 `

`<=> (m-2)^2>0<=> m!=2`

Theo định lý Vi-ét, ta có:

`{(x_1+x_2=2m-2) , (x_1x_2=2m-3) :}`

Do `x_1;x_2` là độ dài hai cạnh của một hình chữ nhật nên `x_1>0 ; x_2>0`

`<=> {(x_1+x_2>0),(x_1x_2>0) :}`

`<=> {(2m-2>0),(2m-3>0):}`

`<=> m>3/2`

Do `x_1 != x_2` và hình chữ nhật có độ dài đường chéo bằng `sqrt10` nên theo định lý Pytago ta có:

       `x_1^2 + x_2^2=10`

`<=> (x_1+x_2)^2-2x_1x_2=10`

`=> (2m-2)^2-2(2m-3)=10`

`<=> 4m^2-12m+10=10`

`<=>4m(m-3)=0`

`<=> m=0` (loại) ; `m=3` (thỏa mãn)

Vậy `m=3` là giá trị cần tìm.

Xét phương trình hoành độ giao điểm của `(d)` và `(P)` ta có:

       `x^2=mx+5`

`<=> x^2-mx-5` `(**)`

Để `(d)` cắt `(P)` tại hai điểm phân biệt có hoành độ `x_1; x_2` thì phương trình `(**)` có `2` nghiệm phân biệt `x_1; x_2`

`<=> Delta > 0`

`<=> (-m)^2-4(-5)>0`

`<=> m^2 + 20 > 0` (luôn đúng `forallm`)

`=>` phương trình `(**)` luôn có 2 nghiệm phân biệt `x_1; x_2`

Theo định lý Vi-ét ta có:

`{(x_1+x_2=m) , (x_1x_2 = -5) :}`

Vì `x_1x_2 = -5` `=> x_1 ; x_2` là `2` nghiệm trái dấu

Mà `x_1 < x_2 => x_1 < 0 ; x_2 > 0`

Ta có: `abs(x_1) > abs (x_2)`

`=> -x_1 > x_2`

`<=> x_1 + x_2 < 0`

`=> m < 0`

Vậy `m < 0` thì `(d)` cắt `(P)` tại `2` điểm phân biệt có hoành độ `x_1; x_2` `(x_1 < x_2)`  sao cho `abs(x_1) > abs(x_2)`.

Xét phương trình hoành độ giao điểm của `(d)` và `(P)`:

       `x^2 = (2m+1)x - 2m`

`<=> x^2 -(2m+1)x + 2m=0 (**)`

Có `Delta = [-(2m+1)^2] - 4.1.2m`

`=> Delta = (2m+1)^2 - 8m`

`=> Delta = (2m-1)^2`

Để `(d)` cắt `(P)` tại hai điểm phân biệt thì phương trình `(**)` có hai nghiệm phân biệt

`<=> Delta > 0 `

`<=> (2m-1)^2 > 0 <=> m != 1/2`

Theo định lí Vi-ét ta có:

`{(x_1+x_2 = 2m+1) , (x_1x_2=2m) :}`

Vì `A,B in (P): y=x^2`

`=> y_1 = x_1^2` ; `y_2=x_2^2`

Ta có: `T = y_1+y_2 - x_1x_2`

`=> T= x_1^2+x_2^2-x_1x_2`

`=> T= (x_1+x_2)^2 - 3x_1x_2`

`=> T= (2m+1)^2 - 3.2m`

`=> T=4m^2 - 2m +1`

`=> T = (2m-1/2)^2 + 3/4 >= 3/4`

Dấu "`=`" xảy ra khi 

`2m-1/2 = 0 <=> m =1/4 (TM)`

Vậy GTNN của `T = 3/4` khi `m = 1/4`

Xét phương trình hoành độ giao điểm của `(d)` và `(P)`:

       `x^2 = (m-1)x-1`

`<=> x^2 - (m-1)x + 1=0 (**)`

Có `Delta = (m-1)^2 - 4`

Để `(d)` cắt `(P)` tại hai điểm phân biệt thì phương trình `(**)` có hai nghiệm phân biệt

`<=> Delta > 0`

`<=> (m-1)^2-4>0`

`<=> (m-1)^2 > 4`

`<=> abs ( m-1) > 2`

`<=> [(m>3) , (m < -1) :}`

Theo định lí Vi-ét ta có:

`{(x_1+x_2=m-1) , (x_1x_2 = 1):}`

Vì `A, B in (P): y=x^2`

`=> y_1=x_1^2` ; `y_2=x_2^2`

Ta có: `y_1^3-y_2^3=18(x_1^3-x_2^3)`

`=> x_1^6-x_2^6=18(x_1^3-x_2^3)`

`<=> (x_1^3-x_2^3)(x_1^3+x_2^3-18)`

Do `x_1 != x_2` `=> x_1^3+x_2^3 - 18=0`

`<=> (x_1+x_2)^3-3x_1x_2(x_1+x_2) - 18=0`

`=> (m-1)^3 - 3(m-1) - 18=0`

`<=> m^3 - 3m^2 - 16=0`

`<=> m^3 - 4m^2 + m^2-16=0`

`<=> m^2(m-4) + (m+4)(m-4) = 0`

`<=> (m-4)(m^2+m+4) = 0`

`<=> m =4 (TM)`

vì `m^2+m+4 = (m+1/2)^2 + 15/4 > 0 forallm`

Vậy `m = 4` là giá trị cần tìm

Xét phương trình hoành độ giao điểm của `(d)` và `(P)`:

       `x^2 = 2(m+3)x - 2m-5`

`<=> x^2 - 2(m+3)x + 2m + 5 = 0 (**)`

Có `a+b+c=1 - 2(m+3) + 2m +5 =0` nên phương trình có `2` nghiệm là `x=1` ; `x=2m+5`

Để `(d)` cắt `(P)` tại hai điểm phân biệt thì phương trình `(**)` có hai nghiệm phân biệt

`=> 2m+5 !=1 <=> m!=2`

Theo định lí Vi-ét ta có:

`{(x_1+x_2 = 2(m+3) ), (x_1x_2=2m+5):}`

Ta có: `1/(sqrtx_1) + 1/(sqrtx_2) = 4/3` nên `x_1>0;x_2>0`

`=> {(x_1+x_2 > 0) , (x_1x_2 > 0) :}`

`<=> {(2(m+3) > 0) , (2m+5 > 0) :}`

`<=> m > -5/2`

Vì vai trò của `x_1,x_2` như nhau nên giả sử `x_1=2m+5;x_2=1`

Ta có: `1/(sqrtx_1) + 1/(sqrtx_2) = 4/3`

`=> 1/(sqrt(2m+5)) = 1/3`

`<=> sqrt(2m+5)=3`

`<=> 2m+5=9`

`<=> m=2` (TM)

Vậy `m = 2` là giá trị cần tìm

Xét phương trình hoành độ giao điểm của `(d)` và `(P)`:

`2018x^2 =(m-2019)x + 2020`

`<=> 2018x^2 - (m-2019)x - 2020 = 0 (**)`

Do `ac < 0` nên phương trình `(**)` luôn có `2` nghiệm phân biệt

Theo định lý Vi-ét ta có:

`{(x_1+x_2 = m-2019) , (x_1x_2 = -2020) :}`

Ta có: `sqrt(x_1^2 + 2019) - x_1 = sqrt(x_2^2 + 2019) + x_2`

`<=> sqrt(x_1^2 + 2019) - sqrt(x_2^2 + 2019) = x_2+x_1`

`<=> (x_1^2 - x_2^2)/(sqrt(x_1^2 + 2019) + sqrt(x_2^2 + 2019) )= x_2+x_1`

`<=> [(x_1+x_2 = 0) , (sqrt(x_1^2 + 2019) + sqrt(x_2^2 + 2019) = x_1-x_2):}`

* Trường hợp `1`: `x_1+x_2=0`

`<=> m - 2019 = 0`

`<=> m = 2019` (thỏa mãn)

* Trường hợp `2`: Không xảy ra do

`sqrt(x_1^2 + 2019) > abs(x_1)` ; `sqrt(x_2^2 + 2019) > abs(x_2)`

Vậy `m=2019` là giá trị cần tìm.