Bài tập 2

Câu 1

Điền đáp án đúng

Cho parabol $(P): y = x^2$ và $(d): y = -4x + m$ (với $m$ là tham số). Tìm $m$ để $(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_1;x_2$ thỏa mãn $(1/x_1 + 1/x_2)(x_1^2 + x_2^2) = 4(m+2)$

Giá trị của $m$ cần tìm là $m=$

Đáp án đúng là:

$m=4$

Kiểm tra

Xem hướng dẫn giải

Câu tiếp theo

Hướng dẫn giải chi tiết

Xét phương trình hoành độ giao điểm của $(d)$ và $(P)$ ta có:

$x^2 = -4x + m$

$<=> x^2 + 4x - m =0$ $(**)$

Để $(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_1; x_2$ thì phương trình $(**)$ có $2$ nghiệm phân biệt $x_1; x_2$

$<=> Delta ^' > 0$

$<=> 4 + m > 0$

$<=> m > - 4$

$=> m > -4$ phương trình $(**)$ luôn có $2$ nghiệm phân biệt $x_1; x_2$

Theo định lý Vi-ét ta có:

${(x_1 + x_2 = -4) , (x_1x_2 = -m) :}$

Ta có: $(1/x_1 + 1/x_2)(x_1^2 + x_2^2) = 4(m+2)$

$<=> ((x_1+x_2)/(x_1x_2))[(x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2] = 4(m+2)$

Với $m!=0$

$=> 4/m (16+2m) = 4( m+2)$

$<=> m^2 = 16$

$<=> m = +-4$

Kết hợp điều kiện: $m > -4 , m != 0$ ta được $m = 4$ thỏa mãn đề bài.

Câu 2

Chọn đáp án đúng nhất

Cho parabol $(P): y = x^2$ và đường thẳng $d: y = 2mx - m^2 + 1$ . Tìm $m$ để $(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt $A(x_1;y_1) ; B(x_2;y_2)$ thỏa mãn $y_1 - y_2 > 4$

$m > 1$

$m < -1$

$-1 < m < 1$

$m>1$ hoặc $m < -1$

Đáp án đúng là:

$m>1$ hoặc $m < -1$

Kiểm tra

Xem hướng dẫn giải

Câu tiếp theo

Hướng dẫn giải chi tiết

Xét phương trình hoành độ giao điểm của $(d)$ và $(P)$ :

$x^2 = 2mx - m^2 + 1$

$<=> x^2 - 2mx + m^2 -1 = 0 (**)$

Có $Delta^' = (-m)^2 - 1.(m^2-1)$

$=> Delta^' = 1 >0 forall m$

Do đó phương trình $(**)$ luôn có hai nghiệm phân biệt $x_1;x_2$ nên $(d)$ luôn cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt

Do $Delta^' = 1$ nên hai nghiệm của $(**)$ là $x = m-1 ; x = m+1$

Trường hợp $1$ : $x_1 = m-1 ; x_2 = m+1$

$=> y_1 = (m-1)^2 ; y_2 = (m+1)^2$

Ta có: $y_1 - y_2 > 4$

$=> (m-1)^2- (m+1)^2 > 4$

$<=> -4m > 4$

$<=> m < -1$

Trường hợp $2$ : $x_1 = m+1 ; x_2 = m-1$

$=> y_1 = (m+1)^2 ; y_2 = (m-1)^2$

Ta có: $y_1 - y_2 > 4$

$=> (m+1)^2- (m-1)^2 > 4$

$<=> 4m > 4$

$<=> m > 1$

Vậy $m > 1$ hoặc $m < -1$ thì $(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt $A(x_1;y_1) ; B(x_2;y_2)$ thỏa mãn $y_1 - y_2 > 4$

Câu 3

Điền đáp án đúng

Cho parabol $(P): y = x^2$ và đường thẳng $d: y = 2mx - m^2 + m +1$ . Tìm $m$ để $(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt $A(x_1;y_1) ; B(x_2;y_2)$ thỏa mãn $y_1 + y_2 + 2x_1 + 2x_2 = 22$

Giá trị cần tìm của $m$ là $m=$

Đáp án đúng là:

$m=2$

Kiểm tra

Xem hướng dẫn giải

Câu tiếp theo

Hướng dẫn giải chi tiết

Xét phương trình hoành độ giao điểm của $(d)$ và $(P)$ :

$x^2 = 2mx - m^2 + m + 1$

$<=> x^2 - 2mx + m^2 - m - 1 = 0 (**)$

Ta có: $Delta ^' = (-m)^2 - 1.(m^2 - m -1) = m+1$

Để $(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt thì phương trình $(**)$ có hai nghiệm phân biệt

$<=> Delta^' > 0$

$<=> m +1>0$

$<=> m> -1$

Theo định lý Vi-ét ta có:

${(x_1 + x_2 = 2m) , (x_1x_2 = m^2 - m -1) :}$

Vì $A, B in (P): y = x^2$

$=> y_1 = x_1^2$ ; $y_2 = x_2^2$

Ta có: $y_1 + y_2 + 2x_1 + 2x_2 = 22$

$<=> x_1^2 + x_2^2 + 2x_1 + 2x_2 = 22$

$<=> (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2 + 2(x_1+x_2)=22$

Thay $x_1+x_2 = 2m$ và $x_1x_2=m^2-m-1$ ta có:

$(2m)^2 -2(m^2-m-1)+2.2m = 22$

$<=> m^2 + 3m -10 =0$

$<=> (m-2)(m+5) = 0$

$<=> [(m=2),(m=-5):}$

Kết hợp với điều kiện $m > -1$ suy ra $m=2$

Vậy $m = 2$ là giá trị cần tìm

Câu 4

Chọn đáp án đúng nhất

Cho Parabol $(P): y = x^2$ và $d: y=mx - m+1$ . Tìm $m$ để $(P)$ và $(d)$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_1;x_2$ thỏa mãn $abs(x_1) + abs(x_2) = 4$ .

$m = -1$

$m=5$

$m =-2 ; m =4$

$m = 2, m =3$

Đáp án đúng là:

$m =-2 ; m =4$

Kiểm tra

Xem hướng dẫn giải

Câu tiếp theo

Hướng dẫn giải chi tiết

Phương trình hoành độ giao điểm của $(d)$ và $(P)$ là:

$x^2 = mx - m +1$

$<=> x^2 - mx + m -1 = 0$ $(**)$

Có $Delta = (-m)^2 - 4.1.(m-1)$

$=> Delta = m^2 - 4m +4 = (m-2)^2$

Để $(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt thì phương trình $(**)$ có hai nghiệm phân biệt

$<=> Delta > 0 <=> (m-2)^2 > 0 <=> m != 2$

Theo định lý Vi-ét, ta có:

${(x_1 + x_2 = m) , (x_1x_2 = m-1) :}$

Xét $(abs(x_1) +abs(x_2))^2$

$= abs(x_1)^2 + abs(x_2)^2 + 2abs(x_1).abs(x_2)$

$= x_1^2 + x_2^2 + 2abs(x_1x_2)$

$=x_1^2+x_2^2+2x_1x_2 - 2x_1x_2 + 2abs(x_1x_2)$

$= (x_1+ x_2)^2 - 2x_1x_2 + 2abs(x_1x_2)$

$= m^2 - 2.(m-1) + 2.abs(m-1)$

$= m^2 - 2m + 2 + 2.abs(m-1)$

$= (m-1)^2 + 2.abs(m-1) + 1$

$=( abs(m-1) + 1)^2$

Do đó $abs(x_1) + abs(x_2) =4$

$<=> (abs(x_1) + abs(x_2))^2 = 16$

$<=> ( abs(m-1) + 1)^2 = 16$

$<=> abs(m-1) + 1 = 4$

$<=> abs(m-1) = 3$

$<=> m = -2 ; m =4$ (thỏa mãn)

Vậy $m = -2 ; m =4$ là giá trị cần tìm.

Câu 5

Chọn đáp án đúng nhất

Cho $(P): y = x^2$ và $d: y=2(m-1)x + 3 - 2m$ . Tìm $m$ để $(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_1;x_2$ là độ dài hai cạnh của một hình chữ nhật có độ dài đường chéo bằng $sqrt10$ .

$m=1$

$m=3$

$m=-1$

$m=-2$

Đáp án đúng là:

$m=3$

Kiểm tra

Xem hướng dẫn giải

Câu tiếp theo

Hướng dẫn giải chi tiết

Phương trình hoành độ giao điểm của $(d)$ và $(P)$ là:

$x^2=2(m-1)x+3-2m$

$<=> x^2-2(m-1)x+2m-3=0 (**)$

Có $Delta^' = [-(m-1)^2] - 1.(2m-3)$

$=> Delta^'=(m-1)^2-2m+3$

$=> Delta^'=m^2-4m+4$

$=> Delta^'=(m-2)^2$

Để $(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt thì phương trình $(**)$ có hai nghiệm phân biệt

$<=> Delta^'>0$

$<=> (m-2)^2>0<=> m!=2$

Theo định lý Vi-ét, ta có:

${(x_1+x_2=2m-2) , (x_1x_2=2m-3) :}$

Do $x_1;x_2$ là độ dài hai cạnh của một hình chữ nhật nên $x_1>0 ; x_2>0$

$<=> {(x_1+x_2>0),(x_1x_2>0) :}$

$<=> {(2m-2>0),(2m-3>0):}$

$<=> m>3/2$

Do $x_1 != x_2$ và hình chữ nhật có độ dài đường chéo bằng $sqrt10$ nên theo định lý Pytago ta có:

$x_1^2 + x_2^2=10$

$<=> (x_1+x_2)^2-2x_1x_2=10$

$=> (2m-2)^2-2(2m-3)=10$

$<=> 4m^2-12m+10=10$

$<=>4m(m-3)=0$

$<=> m=0$ (loại) ; $m=3$ (thỏa mãn)

Vậy $m=3$ là giá trị cần tìm.

Câu 6

Chọn đáp án đúng nhất

Cho Parabol $(P):y=x^2$ và $(d):y=mx+5$ ( $m$ là tham số). Tìm $m$ để $(d)$ cắt $(P)$ tại $2$ điểm phân biệt có hoành độ $x_1; x_2$ $(x_1 < x_2)$ sao cho $abs(x_1) > abs(x_2)$ .

$m=0$

$m > 0$

$m < 0$

$m<1$

Đáp án đúng là:

$m < 0$

Kiểm tra

Xem hướng dẫn giải

Câu tiếp theo

Hướng dẫn giải chi tiết

Xét phương trình hoành độ giao điểm của $(d)$ và $(P)$ ta có:

$x^2=mx+5$

$<=> x^2-mx-5$ $(**)$

Để $(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_1; x_2$ thì phương trình $(**)$ có $2$ nghiệm phân biệt $x_1; x_2$

$<=> Delta > 0$

$<=> (-m)^2-4(-5)>0$

$<=> m^2 + 20 > 0$ (luôn đúng $forallm$ )

$=>$ phương trình $(**)$ luôn có 2 nghiệm phân biệt $x_1; x_2$

Theo định lý Vi-ét ta có:

${(x_1+x_2=m) , (x_1x_2 = -5) :}$

Vì $x_1x_2 = -5$ $=> x_1 ; x_2$ là $2$ nghiệm trái dấu

Mà $x_1 < x_2 => x_1 < 0 ; x_2 > 0$

Ta có: $abs(x_1) > abs (x_2)$

$=> -x_1 > x_2$

$<=> x_1 + x_2 < 0$

$=> m < 0$

Vậy $m < 0$ thì $(d)$ cắt $(P)$ tại $2$ điểm phân biệt có hoành độ $x_1; x_2$ $(x_1 < x_2)$ sao cho $abs(x_1) > abs(x_2)$ .

Câu 7

Điền đáp án đúng

Cho parabol $(P): y=x^2$ và đường thẳng $d: y = (2m+1)x-2m$ . Tìm $m$ để $(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt $A(x_1,y_1)$ ; $B(x_2,y_2)$ sao cho biểu thức $T = y_1+y_2 - x_1x_2$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Giá trị nhỏ nhất của $T$ là $T=$ khi $m =$

Đáp án đúng là:

GTNN của $T = 3/4$ khi $m = 1/4$

Kiểm tra

Xem hướng dẫn giải

Câu tiếp theo

Hướng dẫn giải chi tiết

Xét phương trình hoành độ giao điểm của $(d)$ và $(P)$ :

$x^2 = (2m+1)x - 2m$

$<=> x^2 -(2m+1)x + 2m=0 (**)$

Có $Delta = [-(2m+1)^2] - 4.1.2m$

$=> Delta = (2m+1)^2 - 8m$

$=> Delta = (2m-1)^2$

Để $(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt thì phương trình $(**)$ có hai nghiệm phân biệt

$<=> Delta > 0$

$<=> (2m-1)^2 > 0 <=> m != 1/2$

Theo định lí Vi-ét ta có:

${(x_1+x_2 = 2m+1) , (x_1x_2=2m) :}$

Vì $A,B in (P): y=x^2$

$=> y_1 = x_1^2$ ; $y_2=x_2^2$

Ta có: $T = y_1+y_2 - x_1x_2$

$=> T= x_1^2+x_2^2-x_1x_2$

$=> T= (x_1+x_2)^2 - 3x_1x_2$

$=> T= (2m+1)^2 - 3.2m$

$=> T=4m^2 - 2m +1$

$=> T = (2m-1/2)^2 + 3/4 >= 3/4$

Dấu " $=$ " xảy ra khi

$2m-1/2 = 0 <=> m =1/4 (TM)$

Vậy GTNN của $T = 3/4$ khi $m = 1/4$

Câu 8

Chọn đáp án đúng nhất

Cho Parabol $(P): y = x^2$ và $d:y=(m-1)x-1$ ( $m$ là tham số). Tìm $m$ để $(d)$ cắt $(P)$ tại $2$ điểm phân biệt $A(x_1,y_1)$ ; $B(x_2,y_2)$ sao cho $y_1^3-y_2^3=18(x_1^3-x_2^3)$

$m=0$

$m=4$

$m = -4$

Không có giá trị của $m$ thỏa mãn

Đáp án đúng là:

$m=4$

Kiểm tra

Xem hướng dẫn giải

Câu tiếp theo

Hướng dẫn giải chi tiết

Xét phương trình hoành độ giao điểm của $(d)$ và $(P)$ :

$x^2 = (m-1)x-1$

$<=> x^2 - (m-1)x + 1=0 (**)$

Có $Delta = (m-1)^2 - 4$

Để $(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt thì phương trình $(**)$ có hai nghiệm phân biệt

$<=> Delta > 0$

$<=> (m-1)^2-4>0$

$<=> (m-1)^2 > 4$

$<=> abs ( m-1) > 2$

$<=> [(m>3) , (m < -1) :}$

Theo định lí Vi-ét ta có:

${(x_1+x_2=m-1) , (x_1x_2 = 1):}$

Vì $A, B in (P): y=x^2$

$=> y_1=x_1^2$ ; $y_2=x_2^2$

Ta có: $y_1^3-y_2^3=18(x_1^3-x_2^3)$

$=> x_1^6-x_2^6=18(x_1^3-x_2^3)$

$<=> (x_1^3-x_2^3)(x_1^3+x_2^3-18)$

Do $x_1 != x_2$ $=> x_1^3+x_2^3 - 18=0$

$<=> (x_1+x_2)^3-3x_1x_2(x_1+x_2) - 18=0$

$=> (m-1)^3 - 3(m-1) - 18=0$

$<=> m^3 - 3m^2 - 16=0$

$<=> m^3 - 4m^2 + m^2-16=0$

$<=> m^2(m-4) + (m+4)(m-4) = 0$

$<=> (m-4)(m^2+m+4) = 0$

$<=> m =4 (TM)$

vì $m^2+m+4 = (m+1/2)^2 + 15/4 > 0 forallm$

Vậy $m = 4$ là giá trị cần tìm

Câu 9

Điền đáp án đúng

Cho Parabol $(P): y=x^2$ và $d: y = 2(m+3)x -2m -5$ ( $m$ là tham số). Tìm $m$ để $(d)$ cắt $(P)$ tại $2$ điểm phân biệt có hoành độ $x_1;x_2$ thỏa mãn $1/(sqrtx_1) + 1/(sqrtx_2) = 4/3$

Giá trị của $m$ cần tìm là $m =$

Đáp án đúng là:

$m=2$

Kiểm tra

Xem hướng dẫn giải

Câu tiếp theo

Hướng dẫn giải chi tiết

Xét phương trình hoành độ giao điểm của $(d)$ và $(P)$ :

$x^2 = 2(m+3)x - 2m-5$

$<=> x^2 - 2(m+3)x + 2m + 5 = 0 (**)$

Có $a+b+c=1 - 2(m+3) + 2m +5 =0$ nên phương trình có $2$ nghiệm là $x=1$ ; $x=2m+5$

Để $(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt thì phương trình $(**)$ có hai nghiệm phân biệt

$=> 2m+5 !=1 <=> m!=2$

Theo định lí Vi-ét ta có:

${(x_1+x_2 = 2(m+3) ), (x_1x_2=2m+5):}$

Ta có: $1/(sqrtx_1) + 1/(sqrtx_2) = 4/3$ nên $x_1>0;x_2>0$

$=> {(x_1+x_2 > 0) , (x_1x_2 > 0) :}$

$<=> {(2(m+3) > 0) , (2m+5 > 0) :}$

$<=> m > -5/2$

Vì vai trò của $x_1,x_2$ như nhau nên giả sử $x_1=2m+5;x_2=1$

Ta có: $1/(sqrtx_1) + 1/(sqrtx_2) = 4/3$

$=> 1/(sqrt(2m+5)) = 1/3$

$<=> sqrt(2m+5)=3$

$<=> 2m+5=9$

$<=> m=2$ (TM)

Vậy $m = 2$ là giá trị cần tìm

Câu 10

Điền đáp án đúng

Cho Parabol $(P): y = 2018x^2$ và $(d): y =(m-2019)x + 2020$ ( $m$ là tham số). Tìm $m$ để $(d)$ cắt $(P)$ tại 2 điểm có hoành độ thỏa mãn $sqrt(x_1^2 + 2019) - x_1 = sqrt(x_2^2 + 2019) + x_2$

Giá trị cần tìm của $m$ là $m =$

Đáp án đúng là:

$m = 2$

Kiểm tra

Xem hướng dẫn giải

Hướng dẫn giải chi tiết

Xét phương trình hoành độ giao điểm của $(d)$ và $(P)$ :

$2018x^2 =(m-2019)x + 2020$

$<=> 2018x^2 - (m-2019)x - 2020 = 0 (**)$

Do $ac < 0$ nên phương trình $(**)$ luôn có $2$ nghiệm phân biệt

Theo định lý Vi-ét ta có:

${(x_1+x_2 = m-2019) , (x_1x_2 = -2020) :}$

Ta có: $sqrt(x_1^2 + 2019) - x_1 = sqrt(x_2^2 + 2019) + x_2$

$<=> sqrt(x_1^2 + 2019) - sqrt(x_2^2 + 2019) = x_2+x_1$

$<=> (x_1^2 - x_2^2)/(sqrt(x_1^2 + 2019) + sqrt(x_2^2 + 2019) )= x_2+x_1$

$<=> [(x_1+x_2 = 0) , (sqrt(x_1^2 + 2019) + sqrt(x_2^2 + 2019) = x_1-x_2):}$

* Trường hợp $1$ : $x_1+x_2=0$

$<=> m - 2019 = 0$

$<=> m = 2019$ (thỏa mãn)

* Trường hợp $2$ : Không xảy ra do

$sqrt(x_1^2 + 2019) > abs(x_1)$ ; $sqrt(x_2^2 + 2019) > abs(x_2)$

Vậy $m=2019$ là giá trị cần tìm.