Bài luyện tập số `2`

Câu 1

Điền đáp án đúng

Trên quãng đường AB dài 210 km, tại cùng một thời điểm một xe máy khởi hành từ A đến B và một ô tô khởi hành từ B về A. Sau khi gặp nhau, xe máy đi tiếp 4 giờ nữa thì đến B và ô tô đi tiếp 2 giờ 15 phút nữa thì đến A. Biết rằng vận tốc ô tô và xe máy không thay đổi trong suốt chặng đường. Tính vận tốc của ô tô?

Vận tốc của ô tô là $(km//h)$

Đáp án đúng là:

$40$ $(km//h)$

Kiểm tra

Xem hướng dẫn giải

Câu tiếp theo

Hướng dẫn giải chi tiết

Gọi vận tốc xe máy là $x$ $(km//h; x>0)$

Gọi vận tốc ô tô là $y$ $(km//h; y>0)$

Thời gian xe máy dự định đi từ $A$ đến $B$ là:

$210/x$ $(giờ)$

Thời gian ô tô dự định đi từ $B$ đến $A$ là:

$210/y$ $(giờ)$

Quãng đường xe máy đi được kể từ khi gặp ô tô cho tới khi đến B là:

$4x$ $(km)$

Quãng đường ô tô đi được kể từ khi gặp xe máy cho tới khi đến A là:

$9/4y$ $(km)$

Theo đề bài ta có hệ phương trình:

${(210/x-4=210/y-9/4),(4x+9/4y=210):}$

$<=>{((4x+9/4y)/x-(4x+9/4y)/y=7/4),(4x+9/4y=210):}$

$<=>{((9y)/(4x)-(4x)/y=0),(4x+9/4y=210):}$

$<=>{(4x=3y),(4x+9/4y=210):}$

$<=>{(x=30),(y=40):}$ (tm)

Vậy vận tốc ô tô là $40$ $km//h$ .

Câu 2

Chọn đáp án đúng nhất

Trên quãng đường AB dài 20km, tại cùng một thời điểm, bạn An đi bộ từ A đến B và bạn Bình đi bộ từ B đến A. Sau 2 giờ kể từ lúc xuất phát, An và Bình gặp nhau tại C và cùng nghỉ tại C là 15 phút (Vận tốc của An trên quãng đường AC không thay đổi và vận tốc của Bình trên quãng đường BC không thay đổi). Sau khi nghỉ, An đi tiếp đến B với vận tốc nhỏ hơn vận tốc của An trên quãng đường AC là 1km/h. Bình đi tiếp đến A với vận tốc lớn hơn vận tốc của Bình trên quãng đường BC là 1km/h. Biết rằng An đến B sớm hơn Bình đến A là 48 phút. Hỏi vận tốc của An trên quãng đường AC là bao nhiêu?

$4$ $(km//h)$

$6$ $(km//h)$

$8$ $(km//h)$

$10$ $(km//h)$

Đáp án đúng là:

$6$ $(km//h)$

Kiểm tra

Xem hướng dẫn giải

Câu tiếp theo

Hướng dẫn giải chi tiết

Gọi vận tốc của An lúc đầu là:

$x$ $(km//h)$ $(x>1)$

Vận tốc của Bình lúc đầu là:

$y$ $(km//h)$ $(y>0)$

Sau 2 giờ thì bạn An đi được quãng đường AC là: $2x$ $(km)$

Sau 2 giờ thì bạn Bình đi được quãng đường BC là $2y$ $(km)$

Do hai bạn đi ngược chiều nên ta có phương trình:

$2x+2y=20$

$=>x+y=10$

$=>y=10-x$ $(1)$

Vận tốc của bạn An đi trên quãng đường BC là: $x-1$ $(km//h)$

Vận tốc của bạn Bình đi hết quãng đường AC là: $y+1$ $(km//h)$

Thời gian bạn An đi hết quãng đường BC là: $(2y)/(x-1)$ $(km)$

Thời gian bạn Bình đi hết quãng đường AC là: $(2x)/(y+1)$ $(km)$

Vì bạn An đến B sớm hơn bạn Bình đến A 48 phút = $4/5$ giờ nên ta có phương trình:

$(2y)/(x-1)+4/5=(2x)/(y+1)$ $(2)$

Thế phương trình $(1)$ vào phương trình $(2)$ ta được:

$(2(10-x))/(x-1)+4/5=(2x)/(10-x+1)$

$<=>(10-x)/(x-1)+2/5=x/(11-x)$

$<=>5(10-x)(11-x)+2(x-1)(11-x)-5x(x-1)=0$

$<=>-2x^2-76x+528=0$

$<=>-2(x-6)(x+44)=0$

$<=>[(x=6 (tm)),(x=-44 (ktm)):}$

Vậy bạn An đi trên quãng đường AC với vận tốc $6$ $km//h$ .

Câu 3

Điền đáp án đúng

Đoạn đường AB dài 160km, một ô tô đi từ A đến B và một xe máy đi từ B đến A khởi hành vào cùng một thời điểm, sau một thời gian hai xe gặp nhau tại điểm C, đoạn đường AC dài 120km. Khi đi tới B ô tô liền quay lại ngay và đuổi kịp xe máy tại điểm D. Tính vận tốc mỗi xe, biết kể từ khi khởi hành tới lúc hai xe gặp nhau tại điểm D là 4 giờ và vận tốc hai xe không đổi.

Vận tốc ô tô:

Vận tốc xe máy:

Đáp án đúng là:

Vận tốc ô tô: $60$ $km//h$

Vận tốc xe máy: $20$ $km//h$

Kiểm tra

Xem hướng dẫn giải

Câu tiếp theo

Hướng dẫn giải chi tiết

Gọi vận tốc ô tô là $x$ $(km//h,x>0)$

Vận tốc xe máy là $y$ $(km//h, y>0)$

Vì cùng thời gian đi từ A đến C và thời gian đi từ B đến C nên ta có phương trình:

$120/x=40/y<=>x=3y$ $(1)$

Vì khi tới B ô tô liền quay lại ngay và đuổi kịp xe máy tại điểm D và kể từ khi khởi hành tới lúc hai xe gặp nhau tại điểm D là 4 giờ, ta có phương trình:

$4x-4y=160$ $(2)$

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

${(x=3y),(4x-4y=160):}$

$<=>{(x=60),(y=20):}$ (thỏa mãn)

Vậy vận tốc ô tô và xe máy lần lượt là $60$ $km//h$ và $20$ $km//h$ .

Câu 4

Chọn đáp án đúng nhất

Hai ô tô cùng khởi hành một lúc tại hai địa điểm A và B, đi ngược chiều nhau. Sau khi khởi hành được 2 giờ thì họ gặp nhau tại điểm cách trung điểm AB 15km.Nếu vận tốc xe nhanh giảm đi một nửa vận tốc ban đầu thì hai xe gặp nhau sau khi khởi hành 2 giờ 48 phút. Tính vận tốc của xe đi nhanh hơn.

$45$ $km//h$

$60$ $km//h$

$50$ $km//h$

$70$ $km//h$

Đáp án đúng là:

$60$ $km//h$

Kiểm tra

Xem hướng dẫn giải

Câu tiếp theo

Hướng dẫn giải chi tiết

Đổi 2 giờ 48 phút = $14/5$ (giờ)

Gọi vận tốc xe đi nhanh là:

$x$ $(km//h;x>0)$

Vận tốc xe đi chậm là:

$y$ $(km//h; y>0)$ $(x>y>0)$

Quãng đường xe đi nhanh sau khi đi được 2 giờ là: $2x$ (km)

Quãng đường xe đi chậm sau khi được 2 giờ là: $2y$ (km)

Theo đề bài ta có:

$2x-2y=2.15<=>2x-2y=30$ $(1)$

Vận tốc của xe đi nhanh nếu giảm đi một nửa là: $x/2$ (km/h)

Vì vận tốc xe nhanh giảm đi một nửa vận tốc ban đầu thì hai xe gặp nhau sau khi khởi hành 2 giờ 48 phút nên ta có phương trình:

$7/5x+14/5y=2x+2y$ $(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ ta có hệ phương trình:

${(2x-2y=30),(7/5x+14/5y=2x+2y):}$

$<=>{(x=60),(y=45):}$ (tm)

Vậy vận tốc của xe đi nhanh là $60$ km/h.

Câu 5

Điền đáp án đúng

Trong một cuộc đua xe mô tô, ba tay đua đã khởi hành cùng một lúc. Mỗi giờ người thứ hai chạy chậm hơn người thứ nhất 15 km và nhanh hơn người thứ ba 3 km nên người thứ hai đến đích chậm hơn người thứ nhất là 12 phút và sớm hơn người thứ ba là 3 phút. Tìm vận tốc mô tô thứ ba.

Vận tốc mô tô thứ ba bằng: (km/h).

Đáp án đúng là:

$72$ $km//h$

Kiểm tra

Xem hướng dẫn giải

Câu tiếp theo

Hướng dẫn giải chi tiết

Gọi vận tốc người thứ hai là:

$x$ $(km//h, x>3)$

Chiều dài quãng đường đi là:

$y$ $(km, y>0)$

Vận tốc tay đưa xe mô tô thứ nhất là: $x+15$ (km/h)

Vận tốc tay đua xe mô tô thứ ba là: $x-3$ (km/h)

Theo đề bài ta có hệ phương trình:

${(y/x-y/(x+15)=1/5),(x/(x-3)-y/x=1/20):}$

$<=>{(75y=x^2+15x),(60y=x^2-3x):}$

$<=>{(15y=18x),(60y=x^2-3x):}$

$<=>{(y=6/5x),(60. 6/5x=x^2-3x):}$

$<=>{(y=6/5x),(72x=x^2-3x):}$

$<=>{(x=75),(y=90):}$

Vậy vận tốc mô tô thứ ba là $75-3=72$ km/h.

Câu 6

Chọn đáp án đúng nhất

Xe thứ nhất khởi hành từ A đến B với vận tốc 36 km/h. Nửa giờ sau xe thứ hai xuất phát từ B đến A với vận tốc 18 km/h. Biết quãng đường AB dài 72 km. Hỏi sau bao lâu kể từ lúc xe thứ hai khởi hành thì hai xe gặp nhau?

$30$ phút

$2$ giờ

$1$ giờ $30$ phút

$1$ giờ

Đáp án đúng là:

$1$ giờ

Kiểm tra

Xem hướng dẫn giải

Câu tiếp theo

Hướng dẫn giải chi tiết

Giả sử sau $x$ (h) kể từ lúc 2 xe khởi hành thì hai xe gặp nhau $(x>0)$

Khi đó quãng đường xe $1$ đi được là: $36(x+0,5)$ (km)

Quãng đường xe $2$ đi được là: $18x$ (km)

Vì quãng đường AB dài $72$ km nên ta có:

$36(x+0,5)+18x=72$

$<=>x=1$ (tm)

Vậy sau $1$ giờ thì hai xe gặp nhau.

Câu 7

Điền đáp án đúng

Một bè nứa trôi tự do (với vận tốc bằng vận tốc dòng nước) và một ca nô cùng dời bến A để xuôi dòng sông ca nô xuôi dòng được 96km thì quay lại về bến A ngay. Cả đi lẫn về hết 14 giờ. Trên đường quay về A. khi còn cách bến A là 24km thì gặp bè nứa nói trên. Tìm vận tốc riêng của ca nô và vận tốc dòng nước.

Vận tốc dòng nước là: (km/h)

Vận tốc ca nô là: (km/h)

Đáp án đúng là:

Vận tốc dòng nước $2$ km/h

Vận tốc ca nô $14$ km/h

Kiểm tra

Xem hướng dẫn giải

Câu tiếp theo

Hướng dẫn giải chi tiết

Gọi vận tốc của ca nô là:

$x$ $(x>0; km//h)$

Vận tốc dòng nước là:

$y$ $(x>y>0; km//h)$

Thời gian ca nô xuôi dòng là:

$96/(x+y)$ (h)

Thời gian ngược dòng là:

$96/(x-y)$ (h)

Thời gian bè trôi 24 km là:

$24/y=14-24/(x-y)$ (h)

Theo đề bài ta có phương trình:

${(96/(x+y)+96/(x-y)=14),(24/y=14-24/(x-y)):}$

Giải ra ta được:

$x=14;y=2$ (thỏa mãn)

Vậy vận tốc của dòng nước là $2$ km/h và vận tốc của ca nô là $14$ km/h.

Câu 8

Điền đáp án đúng

Cùng một thời điểm, một chiếc ô tô $X_A$ xuất phát từ thành phố A hướng về thành phố B và một chiếc xe khác $X_B$ xuất phát từ thành phố B hướng về thành phố A. Chúng chuyển động với vận tốc riêng không đổi và gặp nhau lần đầu tại một điểm cách A là 20km. Cả hai chiếc xe sau khi đến B và A tương ứng, lập tức quay trở lại và chúng gặp nhau lần thứ hai tại một địa điểm C. Biết thời gian xe $X_B$ đi từ C đến B là 10 phút và thời gian giữa hai lần gặp nhau là 1 giờ. Tính vận tốc của ô tô $X_A$ ?

Vận tốc ô tô $X_A=$ (km/h)

Đáp án đúng là:

$40$ km/h

Kiểm tra

Xem hướng dẫn giải

Câu tiếp theo

Hướng dẫn giải chi tiết

Gọi M là chỗ gặp nhau lần đầu

Vận tốc của ô tô đi từ A là:

$x$ $(km//h, x>0)$

Vận tốc ô tô đi từ B là:

$y$ $(km//h; y>0)$

Thời gian xe đi từ A đến M là $20/x$ (h)

Thời gian này cũng là thời gian xe $X_B$ đi từ B đến M

Khoảng cách BM là: $(20y)/x$ (km)

Quãng đường AB là: $20+(20y)/x$ (km)

Khoảng cách CB là: $y/6$ (km)

Khoảng cách AC là:

$20+(20y)/x-y/6$ (km)

Tổng khoảng cách MB và BC là:

$(20y)/x+y/6$ (km)

Theo đầu bài, ta có phương trình:

$(20y)/x+y/6=x$ (1)

Tổng khoảng cách MA và AC là:

$40+(20y)/x-y/6$ (km)

Theo đầu bài ta có phương trình:

$40+(20y)/x-y/6=y$ (2)

Từ $(1)$ và $(2)$ ta có phương trình:

${(y(20/x+1/6)=x),(y(20/x-7/6)=-40):}$

$<=>-40(20/x+1/6)=x(20/x-7/6)$

$<=>7x^2-160x-4800=0$

Giải ra ta được: $x_1=40$ (tm)

Hoặc $x_2=-17. 1/7$ (ktm)

Vậy vận tốc của ô tô $X_A$ là $40$ km/h.

Câu 9

Điền đáp án đúng

Một xe tải đi từ A đến B với vận tốc 30km/h. Sau đó một thời gian, một xe con xuất phát từ A với vận tốc 40km/h và nếu không có gì thay đổi thì đuổi kịp xe tải tại B. Nhưng ngay sau khi đi được nửa quãng đường thì xe con tăng vận tốc thành 45km/h nên sau đó 1 giờ thì đuổi kịp xe tải. Tính độ dài quãng đường AB?

Độ dài quãng đường $AB=$ km.

Đáp án đúng là:

$120$ km

Kiểm tra

Xem hướng dẫn giải

Câu tiếp theo

Hướng dẫn giải chi tiết

Gọi quãng đường AB là:

$x$ $(km; x>0)$

Thời gian ô tô tải đi từ A đến B với vận tốc 30km/h là: $x/30$ (giờ)

Thời gian xe con đi từ A đến B với vận tốc 40 km/h là: $x/40$ (giờ)

Do hai xe gặp nhau tại B nên thời gian xe ô tô tải đi trước xe con là:

$x/30-x/40=x/120$ (giờ)

Quãng đường xe con đi với vận tốc 45km/h trong 1 giờ là: $45.1=45$ km

Thực tế quãng đường từ A đến điểm gặp nhau của 2 xe là:

$x/2+45=(x+90)/2$ (km)

Thời gian thực tế ô tô tải đi từ A đến điểm gặp nhau là:

$(x+90)/2:30=(x+90)/60$ (giờ)

Thời gian thực tế xe con đi từ A đến điểm gặp nhau là:

$x/2:40+1+x/120=x/45+1$ (giờ)

Ta có phương trình:

$(x+90)/60=x/48+1$

$<=>(4x+360)/240=(5x)/240+240/240$

$<=>4x+360=5x+240$

$<=>x=120$ (thỏa mãn)

Vậy quãng đường $AB$ dài $120$ km.

Câu 10

Điền đáp án đúng

Trên quãng đường AB, xe I khởi hành từ A lúc 7 giờ 30 phút, xe II khởi hành từ B lúc 10h, hai xe gặp nhau lúc 12h. Lúc xe I đến B cũng là lúc xe II đến A. Tính thời gian hai xe đến nơi là bao nhiêu giờ?

Thời gian hai xe đến nơi là (giờ)

Đáp án đúng là:

$15$ giờ

Kiểm tra

Xem hướng dẫn giải

Hướng dẫn giải chi tiết

Gọi $x$ là khoảng thời gian còn lại mà hai xe về tới đích ( $x>0$ ; giờ)

Vận tốc của xe I là $v_1$ $(v_1>0, km//h)$

Vận tốc của xe II là $v_2$ $(v_2>0, km//h)$

Thời gian kể từ lúc xe I xuất phát cho đến lúc hai xe gặp nhau là:

12 giờ - 7 giờ 30 phút = 4,5 giờ

Thời gian kể từ lúc xe II xuất phát cho đến lúc hai xe gặp nhau là:

12 giờ - 10 giờ = 2 giờ

Do đó:

$v_1(x+4,5)=v_2(x+2)$

$=>(v_1)/(v_2)=(x+2)/(x+4,5)$ (1)

Quãng đường xe I đi được kể từ lúc xuất phát cho đến lúc hai xe gặp nhau là: $4,5v_1$ (km)

Quãng đường xe II đi được kể từ lúc xuất phát cho đến lúc hai xe gặp nhau là: $2v_2$ (km)

Do đó:

$4,5v_1+2v_2=v_2(x+2)$

$<=>4,5v_1=v_2x$

$<=>(v_1)/(v_2)=x/4,5$ (2)

Từ (1) và (2) ta có phương trình:

$(x+2)/(x+4,5)=x/4,5$

Giải ra tìm được: $x=3$ (tm)

Vậy 2 xe tới lúc $12+3=15$ giờ.