Ta có: `13^2=(4x+9y)^2=(2.2x+3.3y)^2`

 `<=(2^2+3^2)(4x^2+9y^2)=13A`

`=>A>=13`

Dấu "`=`" xảy ra khi:

      `{((2x)/2=(3y)/3),(4x+9y=13):}<=>x=y=1`

Vậy GTNN của biểu thức `A` là  `13`

Có `2^2=(1.x+1.y=1.z)^2`

`<=(1^2+1^2+1^2)(x^2+y^2+z^2)=3A`

`=>A>=4/3`

Dấu "`=`" xảy ra khi:

      `{(x/1=y/1=z/1),(x+y+z=2):}<=>x=y=2/3`

Vậy `M i n A `=4/3`

Ta có:

`S^2=(2x+3y)^2=(2/sqrt3 .sqrt3 x+3/(sqrt2) .sqrt2 y)^2`

`<=(4/3+9/2)(3x^2+2y^2)=35/6(3x^2+2y^2)`

`<=35/6. 6/35=1=>S<=1`

Dấu "`=`" xảy ra khi:

      `{((sqrt3 x)/(2/sqrt3) =(sqrt2y)/(sqrt3/2)),(2x+3y=1):}``<=>{((3x)/2=(2y)/3),(2x+3y=1):}`

`<=>{(x=(4y)/9),((8y)/9+3y=1):}<=>{(x=4/(35)),(y=9/(35)):}`

Vậy `MaxS =1`

Vì `a+b+c=1` nên:

`1/a+1/b+1/c=(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)`

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki:

`1/a+1/b+1/c>=(sqrta. 1/sqrta+sqrtb. 1/sqrtb+sqrtc. 1/sqrtc)^2=9`

Vậy `1/a+1/b+1/c>=9`

Ta có: `P^2=(1.x+1.y+1.z)^2`

`P^2 <=(1^2+1^2+1^2)(x^2+y^2+z^2)`

`P^2 <=3. 3/4=19/4``=>P<=3/2`

Dấu "`=`" xảy ra khi: 

        `{(x/1=y/1=z/1),(x+y+z=3/2):}`

`<=>x=y=z=1/2`

Vậy MaxP `=3/2`

Ta có `P^2=(1.sqrt(x-1)+1.sqrt(3-x))^2`

`=>P^2<=(1^2+1^2)[(sqrt(x-1))^2+(sqrt(3-x))^2] =4`

`=>P<=2`

Dấu "`=`" xảy ra khi:   

       `sqrt(x-1)/1=sqrt(3-x)/1`

`<=>x=2` (thỏa mãn)  

Vậy `MaxP =2`

Ta có:

`P^2=(1.sqrt(b+c)+1.sqrt(c+a)+1.sqrt(a+b))^2`

`=>P^2 <=(1^2+1^2+1^2)[(sqrt(b+c))^2+(sqrt(c+a))^2+(sqrt(a+b))^2]`

`=>P^2 <=6(a+b+c)=6`

`=>P<=sqrt6`

Dấu "`=`" xảy ra khi:

     `{(sqrt(a+b)/1=sqrt(b+c)/1=sqrt(c+a)/1),(a+b+c=1):}`

`<=>a=b=c=1/3`

Vậy `MaxP =sqrt6` 

Ta có:

`{( (sqrta+sqrtb)^2=(1.sqrta+1.sqrtb)^2<=(1^2+1^2)(a+b)=2(a+b)),((sqrtb+sqrtc)^2=(1.sqrtb+1.sqrtc)^2<=(1^2+1^2)(b+c)=2(b+c)),((sqrtc+sqrta)^2=(1.sqrtc+1.sqrta)^2<=(1^2+1^2)(c+a)=2(c+a)):}`

Suy ra `{(sqrta+sqrtb<=sqrt(2.(a+b))),( sqrt(b)+sqrtc<=sqrt(2.(b+c))),(sqrtc+sqrta<=sqrt(2.(c+a))):}`

`=>2(sqrta+sqrtb+sqrtc)<=sqrt2 (sqrt(a+b)+sqrt(b+c)+sqrt(c+a))`

`=>sqrta+sqrtb+sqrtc<=sqrt((a+b)/2)+sqrt((b+c)/2)+sqrt((c+a)/2)`

Hay `M >=3`

Vậy `M i n M =3` khi `a =b=c=1`

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki:

`Q= sqrt((a+b)/(a+b+c))+sqrt((b+c)/(a+b+c))+sqrt((c+a)/(a+b+c))`

`<=sqrt((1^2+1^2+1^2)((a+b)/(a+b+c)+(b+c)/(a+b+c)+(c+a)/(a+b+c))) =sqrt6`

Do đó ta được: `Q<=sqrt6`

Dấu "`=`" xảy khi: `a=b=c`

Vậy MaxQ `=sqrt6` khi `a=b=c`

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:

`{(sqrt(a^2+1/a^2)=1/sqrt17. sqrt((a^2+1/a^2)(4^2+1^2))>=1/sqrt17 (4a+1/a)),((b^2+1/b^2)=1/sqrt17.sqrt((b^2+1/b^2)(4^2+1^2)) >=1/sqrt17(4b+1/b)):}`

Khi đó:

`A>=1/sqrt17 [4(a+b)+(1/a+1/b)]`

Áp dụng `1/a+1/b>=4/(a+b)`,  BĐT Cauchy và giả thiết ta được:

`A>=1/sqrt17 [4(a+b)+4/(a+b)]=1/sqrt17[(a+b)/4+4/(a+b)+(15(a+b))/4]`

`A>=1/sqrt17 [2+15]=sqrt17`

Dấu đẳng thức xảy ra khi:

       `{(a/4=1/a),(b/4=1/b):}<=>a=b=2`

Vậy giá trị nhỏ nhất của `A` là `sqrt17`