Ta có:

`1^2=(4x+3y)^2=(2.2x+sqrt3.sqrt3y)^2`

`<=(4+3)(4x^2+3y^2)=7A`

`=>A>=1/7`

Dấu "`=`" xảy ra khi:

      `{((2x)/(3y)=(sqrt3x)/(sqrt3)),(4x+3y=1):}`

`<=>x=y=1/7`

Vậy `M i n A =1/7` 

Ta có:

`H^2=(6a-5b)^2=[3.2a+(-1).5b]^2`

`H^2 <=(9+1)(4a^2+25b^2)=10(4a^2+25b^2)`

`H^2 <=10. 1/10=1=>H<=1`

Dấu "`=`" xảy ra khi:

       `{((2a)/3+(5b)/(-1)),(6a-5b=1):}`

`<=>{(2a-15b=0),(18a-15b=3):}`

`<=>{(a=3/16),(b=1/40):}`

Vậy `M a x H=1`  

Ta có:

`K^2=(1.sqrt(4a+5)+1.sqrt(4b+5)+1.sqrt(4c+5))^2`

`K^2 <=(1^2+1^2+1^2)(4a+5+4b+5+4c+5)`

`K^2 <=3[4(a+b+c)+15]=3.(4.3+15)=81`

`=>K<=9`

Dấu "`=`" xảy ra khi:

       `{(sqrt(4a+5)/1=sqrt(4b+5)/1=sqrt(4c+5)/1),(a+b+c=3):}`

`<=>a=b=c=1`

Vậy MaxK`=9` 

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:

`{(sqrt(a^2+1/b^2)=1/sqrt17.sqrt((a^2+1/b^2)(4^2+1^2))>=1/sqrt17(4a+1/b)),(sqrt(b^2+1/c^2)=1/sqrt17.sqrt((b^2+1/c^2)(4^2+1^2))>=1/sqrt17(4b+1/c)),(sqrt(c^2+1/a^2)=1/sqrt17.sqrt((c^2+1/a^2)(4^2+1^2))>=1/sqrt17(4c+1/a)):}`

Khi đó ta được `A>=1/sqrt17[4(a+b+c)+(1/a+1/b+1/c)]`

Áp dụng BĐT `1/a+1/b+1/c>=9/(a+b+c)`, BĐT Cauchy và giả thiết ta được: 

`A>=1/sqrt(17)[4(a+b+c)+9/(a+b+c)]`

`A>==1/sqrt17[(a+b+c)/4+9/(a+b+c)+(15(a+b+c))/4]`

`A>=1/sqrt17[15/4 .6+2.3/2]=(3sqrt17)/2`

Dấu đẳng thức xảy ra khi:

        `{(a/4=1/b),(b/4=1/c),(c/4=1/a):}`

`<=>a=b=c=2`

Vậy giá trị nhỏ nhất của `A` là `(3sqrt17)/2`

Ta có: `a+b+c=a/(sqrt(b+c)).sqrt(b+c)+b/(sqrt(c+a)).sqrt(c+a)+c/(sqrt(a+b)).sqrt(a+b)`

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki:

`a+b+c=a/(sqrt(b+c)).sqrt(b+c)+b/(sqrt(c+a)).sqrt(c+a)+c/(sqrt(a+b)).sqrt(a+b)`

`<=[(a/(sqrt(b+c)))^2+(b/(sqrt(c+a)))^2+(c/(sqrt(a+b)))^2][(sqrt(b+c))^2+(sqrt(c+a))^2+(sqrt(a+b))^2]`

Do đó ta có:

`(a+b+c)^2<=(a^2/(b+c)+b^2/(c+a)+c^2/(a+b)).2.(a+b+c)`

Đẳng thức xảy ra khi `a=b=c`

Vậy đáp án đúng là :

`a+b+c<=2(a^2/(b+c)+b^2/(c+a)+c^2/(a+b))`

Chọn "Khẳng định `2`"

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki:

`(4a+9b+16c)(1/a+25/b+64/c)>=(2+3.5+4.8)^2=49^2`

`=>49.(1/a+25/b+64/c)>=49^2`

`=>1/a+25/b+64/c>=``49`

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: 

       `{(1/(2a)=5/(3b)=8/(4c)),(4a+9b+16c=49):}`

`=>a=1/2;b=3/5;c=2`

Vậy GTNN của biểu thức trên là `49`

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki:

      `asqrt(1+a)+bsqrt(1+b)`

`<=sqrt((a^2+b^2)(1+a+1+b))=sqrt(a+b+2)`

`<=sqrt(sqrt(2(a^2+b^2))+2)=sqrt(sqrt2+2)`

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: 

       `{(a^2+b^2=1),(a/(sqrt(a+1))=b/(sqrt(b+1))),(1/a=1/b):}`

`<=>a=b=sqrt2/2`

Vậy đáp án đúng là `sqrt(2+sqrt2)`

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki:

`(sqrt(abc)+sqrt((1-a)(1-b)(1-c)))^2<=bc+(1-b)(1-c)`

Do đó ta được `sqrt(abc)+sqrt((1-a)(1-b)(1-c))<=sqrt(bc+(1-b)(1-c))`

Dễ dàng chứng minh được: 

  `sqrt(x+y)<sqrtx+sqrty` `(x,y>0)`

Áp dụng vào bài toán ta được: 

`sqrt(bc+(1-b)(1-c))<sqrt(bc)+sqrt((1-b)(1-c))`

Theo BĐT Bunhiacopski:

`(sqrt(bc)+sqrt((1-b)(1-c)))^2<=[b+(1-b)][c+(1-c)]=1`

Hay `sqrt(bc)+sqrt((1-b)(1-c))<=1`

Vậy ta kết luận được:

 `sqrt(abc)+sqrt((1-a)(1-b)(1-c))<1`

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki:

`(a+b+c)^2=[a.1+sqrt2.(b+c)/sqrt2]^2`

`<=(a^2+2)[1+((b+c)/sqrt2)^2]`

Bài toán đưa về chứng minh:

 `[1+(b+c)^2/2]<=(b^2+2)(c^2+2)`

Biến đổi tương đương bất đẳng thức trên ta được:

 `(b-c)^2/2+(bc-1)^2>=0`

Bất đẳng thức cuối cùng này hiển nhiên đúng nên bất đẳng thức đã cho được chứng minh.

Bất đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 

`{(b=c),(a=2/(b+c)),(bc=1):}<=>a=b=c=1`

Vậy đáp án đúng là `(b^2+2)(c^2+2)`

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:

     `(sqrt(a-1)+sqrt(b-1)+sqrt(c-1))^2`

`=(sqrta.sqrt((a-1)/a)+sqrtb.sqrt((b-1)/b)+sqrtc.sqrt((c-1)/c))^2`

`<=(a+b+c)((a-1)/a+(b-1)/b+(c-1)/c)`

`=(a+b+c)(3-1/a-1/b-1/c)`

Do đó ta được:

`sqrt(a-1)+sqrt(b-1)+sqrt(c-1)<=sqrt(a+b+c)`

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 

       `{(1/a+1/b+1/c=1),((a-1)/a^2=(b-1)/b^2=(c-1)/c^2):}`

`<=>a=b=c=3/2`

Vậy đáp án đúng là `sqrt(a+b+c)`