Hướng dẫn giải chi tiết
Ta có:
12=(4x+3y)2=(2.2x+√3.√3y)2
≤(4+3)(4x2+3y2)=7A
⇒A≥17
Dấu "=" xảy ra khi:
{2x3y=√3x√34x+3y=1
⇔x=y=17
Vậy MinA=17
Hotline: 1900 633 551
Hotline: 1900 633 551
Bài tập
1/10
0
Trên tổng số 100
Góp ý - Báo lỗi
Bật/ Tắt âm thanh báo đúng/sai
Điểm 0
Góp ý - Báo lỗi
Điền đáp án đúng
Cho 4x+3y=1
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức A=4x2+3y2 là
(Điền kết quả dưới dạng phân số tối giản với mẫu dương)
MinA=17
Hướng dẫn giải chi tiết
Ta có:
12=(4x+3y)2=(2.2x+√3.√3y)2
≤(4+3)(4x2+3y2)=7A
⇒A≥17
Dấu "=" xảy ra khi:
{2x3y=√3x√34x+3y=1
⇔x=y=17
Vậy MinA=17
Điền đáp án đúng
Cho 4a2+25b2≤110
Giá trị lớn nhất của biểu thức H=6a-5b là
MaxH=1
Hướng dẫn giải chi tiết
Ta có:
H2=(6a-5b)2=[3.2a+(-1).5b]2
H2≤(9+1)(4a2+25b2)=10(4a2+25b2)
H2≤10.110=1⇒H≤1
Dấu "=" xảy ra khi:
{2a3+5b-16a-5b=1
⇔{2a-15b=018a-15b=3
⇔{a=316b=140
Vậy MaxH=1
Điền đáp án đúng
Cho a≥0,b≥0,c≥0 và a+b+c=3. Biểu thức K=√4a+5+√4b+5+√4c+5 có GTLN là
MaxK=9
Hướng dẫn giải chi tiết
Ta có:
K2=(1.√4a+5+1.√4b+5+1.√4c+5)2
K2≤(12+12+12)(4a+5+4b+5+4c+5)
K2≤3[4(a+b+c)+15]=3.(4.3+15)=81
⇒K≤9
Dấu "=" xảy ra khi:
{√4a+51=√4b+51=√4c+51a+b+c=3
⇔a=b=c=1
Vậy MaxK=9
Chọn đáp án đúng nhất
Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a+b+c≥6. Tìm GTNN
của biểu thức A=√a2+1b2+√b2+1c2+√c2+1a2
MinA
M i n A=(3sqrt17)/2
M i n A=sqrt17/4
M i n A =(3sqrt17)/4
M i n A=(3sqrt17)/2
Hướng dẫn giải chi tiết
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:
{(sqrt(a^2+1/b^2)=1/sqrt17.sqrt((a^2+1/b^2)(4^2+1^2))>=1/sqrt17(4a+1/b)),(sqrt(b^2+1/c^2)=1/sqrt17.sqrt((b^2+1/c^2)(4^2+1^2))>=1/sqrt17(4b+1/c)),(sqrt(c^2+1/a^2)=1/sqrt17.sqrt((c^2+1/a^2)(4^2+1^2))>=1/sqrt17(4c+1/a)):}
Khi đó ta được A>=1/sqrt17[4(a+b+c)+(1/a+1/b+1/c)]
Áp dụng BĐT 1/a+1/b+1/c>=9/(a+b+c), BĐT Cauchy và giả thiết ta được:
A>=1/sqrt(17)[4(a+b+c)+9/(a+b+c)]
A>==1/sqrt17[(a+b+c)/4+9/(a+b+c)+(15(a+b+c))/4]
A>=1/sqrt17[15/4 .6+2.3/2]=(3sqrt17)/2
Dấu đẳng thức xảy ra khi:
{(a/4=1/b),(b/4=1/c),(c/4=1/a):}
<=>a=b=c=2
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là (3sqrt17)/2
Chọn đáp án đúng nhất
Cho a,b,c là các số thực dương tùy ý. Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng?
Khẳng định 1: a+b+c<=(a^2/(b+c)+b^2/(c+a)+c^2/(a+b))
Khẳng định 2: a+b+c<=2(a^2/(b+c)+b^2/(c+a)+c^2/(a+b))
Khẳng định 3: a+b+c<=3(a^2/(b+c)+b^2/(c+a)+c^2/(a+b))
Khẳng định 4: a+b+c<=sqrt2(a^2/(b+c)+b^2/(c+a)+c^2/(a+b))
khẳng định 1
khẳng định 2
khẳng định 3
khẳng định 4
khẳng định 2
Hướng dẫn giải chi tiết
Ta có: a+b+c=a/(sqrt(b+c)).sqrt(b+c)+b/(sqrt(c+a)).sqrt(c+a)+c/(sqrt(a+b)).sqrt(a+b)
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki:
a+b+c=a/(sqrt(b+c)).sqrt(b+c)+b/(sqrt(c+a)).sqrt(c+a)+c/(sqrt(a+b)).sqrt(a+b)
<=[(a/(sqrt(b+c)))^2+(b/(sqrt(c+a)))^2+(c/(sqrt(a+b)))^2][(sqrt(b+c))^2+(sqrt(c+a))^2+(sqrt(a+b))^2]
Do đó ta có:
(a+b+c)^2<=(a^2/(b+c)+b^2/(c+a)+c^2/(a+b)).2.(a+b+c)
Đẳng thức xảy ra khi a=b=c
Vậy đáp án đúng là :
a+b+c<=2(a^2/(b+c)+b^2/(c+a)+c^2/(a+b))
Chọn "Khẳng định 2"
Điền đáp án đúng
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn 4a+9b+16c=49
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1/a+25/b+64/c là
49
Hướng dẫn giải chi tiết
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki:
(4a+9b+16c)(1/a+25/b+64/c)>=(2+3.5+4.8)^2=49^2
=>49.(1/a+25/b+64/c)>=49^2
=>1/a+25/b+64/c>=49
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
{(1/(2a)=5/(3b)=8/(4c)),(4a+9b+16c=49):}
=>a=1/2;b=3/5;c=2
Vậy GTNN của biểu thức trên là 49
Chọn đáp án đúng nhất
Cho a,b là các số thực dương thỏa mãn a^2+b^2=1
Cho biết GTLN của biểu thức asqrt(1+a)+bsqrt(1+b)
2+sqrt2
sqrt(2+sqrt2)
1+sqrt2
sqrt(1+sqrt2)
sqrt(2+sqrt2)
Hướng dẫn giải chi tiết
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki:
asqrt(1+a)+bsqrt(1+b)
<=sqrt((a^2+b^2)(1+a+1+b))=sqrt(a+b+2)
<=sqrt(sqrt(2(a^2+b^2))+2)=sqrt(sqrt2+2)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
{(a^2+b^2=1),(a/(sqrt(a+1))=b/(sqrt(b+1))),(1/a=1/b):}
<=>a=b=sqrt2/2
Vậy đáp án đúng là sqrt(2+sqrt2)
Chọn đáp án đúng nhất
Cho a,b,c in(0;1). Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
Khẳng định 1: sqrt(abc)+sqrt((1-a)(1-b)(1-c))<=1
Khẳng định 2: sqrt(abc)+sqrt((1-a)(1-b)(1-c))<=1/2
Khẳng định 3: sqrt(abc)+sqrt((1-a)(1-b)(1-c))<1
Khẳng định 4: sqrt(abc)+sqrt((1-a)(1-b)(1-c))<=2
Khẳng định 1
Khẳng định 2
Khẳng định 3
Khẳng định 4
Khẳng định 3
Hướng dẫn giải chi tiết
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki:
(sqrt(abc)+sqrt((1-a)(1-b)(1-c)))^2<=bc+(1-b)(1-c)
Do đó ta được sqrt(abc)+sqrt((1-a)(1-b)(1-c))<=sqrt(bc+(1-b)(1-c))
Dễ dàng chứng minh được:
sqrt(x+y)<sqrtx+sqrty (x,y>0)
Áp dụng vào bài toán ta được:
sqrt(bc+(1-b)(1-c))<sqrt(bc)+sqrt((1-b)(1-c))
Theo BĐT Bunhiacopski:
(sqrt(bc)+sqrt((1-b)(1-c)))^2<=[b+(1-b)][c+(1-c)]=1
Hay sqrt(bc)+sqrt((1-b)(1-c))<=1
Vậy ta kết luận được:
sqrt(abc)+sqrt((1-a)(1-b)(1-c))<1
Chọn đáp án đúng nhất
Cho a,b,c là các số thực dương tùy ý. Cho biết 3(a+b+c)^2<=....
Biểu thức thích hợp điền vào chỗ chấm là:
(b^2+1)(c^2+1)
(b^2+2)(c^2+2)
b^2c^2
(b^2+1/2)(c^2+1/2)
(b^2+2)(c^2+2)
Hướng dẫn giải chi tiết
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki:
(a+b+c)^2=[a.1+sqrt2.(b+c)/sqrt2]^2
<=(a^2+2)[1+((b+c)/sqrt2)^2]
Bài toán đưa về chứng minh:
[1+(b+c)^2/2]<=(b^2+2)(c^2+2)
Biến đổi tương đương bất đẳng thức trên ta được:
(b-c)^2/2+(bc-1)^2>=0
Bất đẳng thức cuối cùng này hiển nhiên đúng nên bất đẳng thức đã cho được chứng minh.
Bất đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
{(b=c),(a=2/(b+c)),(bc=1):}<=>a=b=c=1
Vậy đáp án đúng là (b^2+2)(c^2+2)
Chọn đáp án đúng nhất
Cho các số thực a,b,c>1 thỏa mãn 1/a+1/b+1/c=2.
Biết sqrt(a-1)+sqrt(b-1)+sqrt(c-1)<=...
Biểu thức thích hợp điền vào chỗ chấm là?
sqrt(a+b+c)/2
sqrt(a+b+c)
3/2sqrt(a+b+c)
2sqrt(a+b+c)
sqrt(a+b+c)
Hướng dẫn giải chi tiết
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:
(sqrt(a-1)+sqrt(b-1)+sqrt(c-1))^2
=(sqrta.sqrt((a-1)/a)+sqrtb.sqrt((b-1)/b)+sqrtc.sqrt((c-1)/c))^2
<=(a+b+c)((a-1)/a+(b-1)/b+(c-1)/c)
=(a+b+c)(3-1/a-1/b-1/c)
Do đó ta được:
sqrt(a-1)+sqrt(b-1)+sqrt(c-1)<=sqrt(a+b+c)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
{(1/a+1/b+1/c=1),((a-1)/a^2=(b-1)/b^2=(c-1)/c^2):}
<=>a=b=c=3/2
Vậy đáp án đúng là sqrt(a+b+c)
