Khẳng định đúng là "Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và hai góc tạo bởi các cạnh đó bằng nhau, thì hai tam giác đó đồng dạng"

Nếu `ΔABC` và `ΔDEF` có `\hat B = \hat D ; {BA}/{BC} = {DE}/{DF}` thì `ΔABCᔕΔEDF`

Vì tam giác `ABC` và tam giác `DEF` có `{AB}/{BC} = {DF}/{FE}` nên hai cạnh tương ứng của từng tam giác tỉ lệ.

Do đó để hai tam giác đồng dạng thì cần thêm cặp góc tạo bởi các cạnh này bằng nhau

Góc tạo bởi cặp cạnh `AB` và `BC` là `\hat B`

Góc tạo bởi cặp cạnh `DF` và `FE` là `\hat F`

Vậy để hai tam giác `ABC` và `DEF` đồng dạng thì cần thêm điều kiện `\hat B = \hat F`

Xét tam giác `DEF` và tam giác `MNP` có `\hat F = \hat M` nên để hai tam giác này đồng dạng theo trường hợp `c-g-c` thì cần thêm điều kiện các cặp cạnh kề hai góc `\hat F, \hat M` tương ứng tỉ lệ

Hai cạnh kề `\hat F` là `FE` và `FD`

Hai cạnh kề `\hat M` là `MN` và `MP`

Suy ra cần thêm điều kiện là `{FE}/{MN} = {FD}/{MP}`

Xét đáp án A: Nếu `{AC}/{DF} = {AB}/{DE}` thì `{AB}/{DE} = {BC}/{EF} = {AC}/{DF}`.

Suy ra `\Delta ABC ᔕ \Delta DEF (c.c.c)`

Do đó khẳng định A đúng

Xét đáp án B: Nếu `{AC}/{DF} = {BC}/{EF}` thì `{AB}/{DE} = {BC}/{EF} = {AC}/{DF}`.

Suy ra `\Delta ABC ᔕ \Delta DEF (c.c.c)`

Do đó khẳng định B đúng

Xét đáp án C: Nếu `\hat A = \hat D` thì ta chưa khẳng định được hai tam giác đồng dạng

Xét đáp án D: Nếu `\hat B = \hat E` thì `\Delta ABC ᔕ \Delta DEF (c.g.c)`

Vậy khẳng định sai là "Nếu `\hat A = \hat D` thì `\Delta ABC ᔕ \Delta DEF`"

Ta có: `{AC}/{DF}=3/{4,5} = 2/3;`

          `{AB}/{DE} = 5/{7,5} = 2/3`

Suy ra `{AC}/{DF}={AB}/{DE}`

Xét tam giác `ABC` và tam giác `DEF` có 

`{AC}/{DF}={AB}/{DE}` (chứng minh trên);

`\hat {BAC} = \hat {EDF} = 60^\circ`

Do đó `\Delta ABC ᔕ \Delta DEF (c.g.c)`

Ta có: `{AN}/{AB} = 3/9=1/3;`

          `{AM}/{AC} = 6/18 = 1/3`

Suy ra `{AN}/{AB}={AM}/{AC}`

Xét tam giác `ANM` và tam giác `ABC` có

`{AN}/{AB}={AM}/{AC}` (chứng minh trên);

`\hat {BAC}` chung

Do đó `\Delta ANM ᔕ \Delta ABC (c.g.c)`

`=>{MN}/{BC} = {AN}/{AB} = 1/3`

`=> {MN}/15 = 1/3 => MN = 5 (cm)`

Vậy `MN = 5 cm`

Ta có: `{AN}/{AB} = 4/8 = 1/2;`

          `{AM}/{AC}=6/12=1/2`

Suy ra `{AN}/{AB} = {AM}/{AC}`

Xét tam giác `AMN` và tam giác `ACB` có

`{AN}/{AB} = {AM}/{AC}` (chứng minh trên);

`\hat {BAC}` chung

Do đó `\Delta AMN ᔕ \Delta ACB (c.g.c)`

`=>{AN}/{AB} = {MN}/{CB}`

`=> 4/8 = {8}/{BC} => BC = {8.8}/4 = 16 (cm)`

Vậy `BC=16cm`

Ta có: `{AB}/{BD} = 16/20 = 4/5;`

          `{BD}/{CD} = 20/25=4/5`

Suy ra `{AB}/{BD}={BD}/{CD}`

Vì `ABCD` là hình thang vuông tại `A` và `D` nên `AB////CD`

`=> \hat {ABD} = \hat {BDC}` (hai góc so le trong)

Xét tam giác `ABD` và tam giác `BDC` có

`{AB}/{BD}={BD}/{CD}` (chứng minh trên);

`\hat {ABD} = \hat {BDC}` (chứng minh trên)

Do đó `ΔABD ᔕ ΔBDC (c.g.c)`

Ta có: `{AB}/{BD} = 16/20 = 4/5;`

          `{BD}/{CD} = 20/25=4/5`

Suy ra `{AB}/{BD}={BD}/{CD}`

Vì `ABCD` là hình thang vuông tại `A` và `D` nên `AB////CD`

`=> \hat {ABD} = \hat {BDC}` (hai góc so le trong)

Xét tam giác `ABD` và tam giác `BDC` có

`{AB}/{BD}={BD}/{CD}` (chứng minh trên);

`\hat {ABD} = \hat {BDC}` (chứng minh trên)

Do đó `ΔABD ᔕ ΔBDC (c.g.c)`

`=> \hat {DBC} = \hat {DAB} = 90^\circ`

`=> Delta BCD` vuông tại `B`

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác `BCD` vuông tại `B,` ta có `CD^2 = BD^2 + BC^2`

`=> 25^2 = 20^2 + BC^2 => BC^2 = 25^2 - 20^2 = 225 = 15^2`

`=> BC = 15 (cm)`

Vậy `BC = 15 (cm)`