Phát biểu đúng là "Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng"

Khẳng định sai là "Hai tam giác vuông thì luôn đồng dạng"

Xét tam giác `ABC` và tam giác `HBM` có

`\hat {BAC} = \hat {BHM} = 90^\circ;`

`\hat {ABC}` chung

Do đó `\Delta ABC ᔕ \Delta HBM (g.g)`

Xét tam giác `BEH` và tam giác `CDH` có

`\hat {HEB} = \hat {HDC} = 90^\circ;`

`\hat {EHB} = \hat {DHC}` (hai góc đối đỉnh)

Do đó `\Delta BEH ᔕ \Delta CDH (g.g)`

Xét tam giác `ABC` và tam giác `HBA` có

`\hat {BAC} = \hat {AHB} = 90^\circ;`

`\hat {ABC}` chung

Do đó `\Delta ABC ᔕ \Delta HBA (g.g)`   `(1)`

Xét tam giác `ABC` và tam giác `HAC` có

`\hat {BAC} = \hat {AHC} = 90^\circ;`

`\hat {ACB}` chung

Do đó `\Delta ABC ᔕ \Delta HAC (g.g)`   `(2)`

Từ `(1)` và `(2),` suy ra `\Delta HBA ᔕ \Delta HAC` (định lý)

Do đó khẳng định sai là `\Delta ABC ᔕ \Delta HAB`

Xét tam giác `MNP` và tam giác `HMP` có

`\hat {NMP} = \hat {MHP} = 90^\circ;`

`\hat {MPN}` chung

Do đó `\Delta MNP ᔕ \Delta HMP (g.g)`

`=> {NP}/{MP} = {MP}/{HP} = {MN}/{HM}`

Vậy khẳng định đúng là `{MP}/{HP} = {PN}/{PM}`

Vì tam giác `ABC` cân tại `A` nên `\hat {ABC} = \hat {ACB}`

Mặt khác `\hat {BCK} = \hat {ABM}`

`=> \hat {MBC} = \hat {MCK}`

Xét tam giác `MBC` và tam giác `MCK` có

`\hat {BMC}` chung;

` \hat {MBC} = \hat {MCK}` (chứng minh trên)

Do đó `\Delta MBC ᔕ \Delta MCK (g.g)`

Vì tam giác `ABC` cân tại `A` nên `\hat {ABC} = \hat {ACB}`

Mặt khác `\hat {BCK} = \hat {ABM}`

`=> \hat {MBC} = \hat {MCK}`

Xét tam giác `MBC` và tam giác `MCK` có

`\hat {BMC}` chung;

` \hat {MBC} = \hat {MCK}` (chứng minh trên)

Do đó `\Delta MBC ᔕ \Delta MCK (g.g)`

`=> {MC}/{MK} = {MB}/{MC}`

`=> MC^2 = MB.MK`

Vậy `MB.MK=MC^2`

Gọi `DH,MK` lần lượt là các đường cao của hai tam giác

Vì `\Delta DEF ᔕ \Delta MNP` (giả thiết) nên `\hat E = \hat N`

Xét tam giác `DEH` và tam giác `MNK` có

`\hat E = \hat N` (chứng minh trên);

`\hat {DHE} = \hat {MKN} = 90^\circ`

Do đó `\Delta DEH ᔕ \Delta MNK (g.g)`

`=> {DE}/{MN} = {DH} /{MK}`

Mà `\Delta DEF ᔕ \Delta MNP` theo tỉ số `k=1/2` (giả thiết) nên `{DH}/{MK} = 1/2`

`=> 10/{MK} = 1/2 => MK = 20 (cm)`

Vậy `MK = 20cm`

Gọi `EI,NJ` lần lượt là các đường phân giác `\hat E, \hat N` của tam giác `DEF` và `MNP`

Vì `\Delta DEFᔕ \Delta MNP` nên `\hat D = \hat M` và `\hat E = \hat N`

Lại có `EI` là tia phân giác của `\hat {DEF}` nên `\hat {DEI} = 1/2 hat {DEF};`

         `NJ` là tia phân giác của `\hat {MNP}` nên `\hat {MNJ} = 1/2 hat {MNP}`

Suy ra `\hat {DEI} = \hat {MNJ}`

Xét tam giác `DEI` và tam giác `MNJ` có

`\hat {DEI} = \hat {MNJ}` (chứng minh trên);

`\hat D = \hat M` (chứng minh trên)

Do đó `\Delta DEI ᔕ \Delta MNJ (g.g)`

`=> {DE}/{MN}={EI}/{NJ}`

Mà `\Delta DEFᔕ \Delta MNP` theo hệ số tỉ lệ `k=1/3` nên `{DE}/{MN} = 1/3`

`=> {EI}/{NJ} = 1/3 => {20}/{NJ} =1/3`

`=> NJ = 60 (cm)`

Vậy `NJ = 60 cm`