Xét tam giác `ABC` và tam giác `HBM` có

`\hat {BAC} = \hat {BHM} = 90^\circ;`

`\hat {ABC}` chung

Do đó `\Delta ABC ᔕ \Delta HBM (g.g)`

Xét tam giác `BEH` và tam giác `CDH` có

`\hat {HEB} = \hat {HDC} = 90^\circ;`

`\hat {EHB} = \hat {DHC}` (hai góc đối đỉnh)

Do đó `\Delta BEH ᔕ \Delta CDH (g.g)`

Xét tam giác `ABC` và tam giác `HBA` có

`\hat {BAC} = \hat {AHB} = 90^\circ;`

`\hat {ABC}` chung

Do đó `\Delta ABC ᔕ \Delta HBA (g.g)`   `(1)`

Xét tam giác `ABC` và tam giác `HAC` có

`\hat {BAC} = \hat {AHC} = 90^\circ;`

`\hat {ACB}` chung

Do đó `\Delta ABC ᔕ \Delta HAC (g.g)`   `(2)`

Từ `(1)` và `(2),` suy ra `\Delta HBA ᔕ \Delta HAC` (định lý)

Do đó khẳng định sai là `\Delta ABC ᔕ \Delta HAB`

Xét tam giác `MNP` và tam giác `HMP` có

`\hat {NMP} = \hat {MHP} = 90^\circ;`

`\hat {MPN}` chung

Do đó `\Delta MNP ᔕ \Delta HMP (g.g)`

`=> {NP}/{MP} = {MP}/{HP} = {MN}/{HM}`

Vậy khẳng định đúng là `{MP}/{HP} = {PN}/{PM}`

Vì tam giác `ABC` cân tại `A` nên `\hat {ABC} = \hat {ACB}`

Mặt khác `\hat {BCK} = \hat {ABM}`

`=> \hat {MBC} = \hat {MCK}`

Xét tam giác `MBC` và tam giác `MCK` có

`\hat {BMC}` chung;

`\hat {MBC} = \hat {MCK}` (chứng minh trên)

Do đó `\Delta MBC ᔕ \Delta MCK (g.g)`

Vì tam giác `ABC` cân tại `A` nên `\hat {ABC} = \hat {ACB}`

Mặt khác `\hat {BCK} = \hat {ABM}`

`=> \hat {MBC} = \hat {MCK}`

Xét tam giác `MBC` và tam giác `MCK` có

`\hat {BMC}` chung;

`\hat {MBC} = \hat {MCK}` (chứng minh trên)

Do đó `\Delta MBC ᔕ \Delta MCK (g.g)`

`=> {MC}/{MK} = {MB}/{MC}`

`=> MC^2 = MB.MK`

Vậy `MB.MK=MC^2`

Gọi `DH,MK` lần lượt là các đường cao của hai tam giác

Vì `\Delta DEF ᔕ \Delta MNP` (giả thiết) nên `\hat E = \hat N`

Xét tam giác `DEH` và tam giác `MNK` có

`\hat E = \hat N` (chứng minh trên);

`\hat {DHE} = \hat {MKN} = 90^\circ`

Do đó `\Delta DEH ᔕ \Delta MNK (g.g)`

`=> {DE}/{MN} = {DH} /{MK}`

Mà `\Delta DEF ᔕ \Delta MNP` theo tỉ số `k=1/2` (giả thiết) nên `{DH}/{MK} = 1/2`

`=> 10/{MK} = 1/2 => MK = 20 (cm)`

Vậy `MK = 20cm`

Gọi `EI,NJ` lần lượt là các đường phân giác `\hat E, \hat N` của tam giác `DEF` và `MNP`

Vì `\Delta DEFᔕ \Delta MNP` nên `\hat D = \hat M` và `\hat E = \hat N`

Lại có `EI` là tia phân giác của `\hat {DEF}` nên `\hat {DEI} = 1/2 hat {DEF};`

         `NJ` là tia phân giác của `\hat {MNP}` nên `\hat {MNJ} = 1/2 hat {MNP}`

Suy ra `\hat {DEI} = \hat {MNJ}`

Xét tam giác `DEI` và tam giác `MNJ` có

`\hat {DEI} = \hat {MNJ}` (chứng minh trên);

`\hat D = \hat M` (chứng minh trên)

Do đó `\Delta DEI ᔕ \Delta MNJ (g.g)`

`=> {DE}/{MN}={EI}/{NJ}`

Mà `\Delta DEFᔕ \Delta MNP` theo hệ số tỉ lệ `k=1/3` nên `{DE}/{MN} = 1/3`

`=> {EI}/{NJ} = 1/3 => {20}/{NJ} =1/3`

`=> NJ = 60 (cm)`

Vậy `NJ = 60 cm`