Phát biểu đúng là:  “Hình thoi là tứ giác có 4 cạnh bằng nhau”

Hình thoi không có tính chất:  “Hai đường chéo bằng nhau”

`-` Xét hình `2`: 

Tứ giác `EFGH` có hai đường chéo `EG; FH` cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

`=>EFGH` là hình bình hành

Lại có `EG ⊥ FH`

Nên `EFGH` là hình thoi (DHNB)

`-` Xét hình `4`:

Tứ giác `MNPQ` có bốn cạnh bằng nhau `(MN = NP = PQ = QM)`

Nên `MNPQ` là hình thoi (DHNB)

Căn cứ vào dấu hiệu nhận biết, ta thấy để một hình bình hành trở thành hình thoi thì phải thỏa mãn một trong các điều kiện sau:

+ Hai cạnh kề bằng nhau

+ Hai đường chéo vuông góc với nhau

+ Có một đường chéo là đường phân giác của một góc

Vậy câu sai là “hai góc kề một cạnh bằng nhau”

Xét hình thoi `ABCD` có hai đường chéo `AC, BD` cắt nhau và vuông góc với nhau tại trung điểm mỗi đường.

Ta thấy:

`BD` là đường trung trực của `AC` nên `A` đối xứng với `C` qua `BD`

`B` và `D` cũng đối xứng với chính nó qua `BD`

Do đó `BD` là trục đối xứng của hình thoi

Lập luận tương tự, ta cũng chỉ ra được `AC` là trục đối xứng của hình thoi

Vậy phát biểu trên là đúng

Gọi cạnh của hình thoi là `a`

(Điều kiện: `a > 0`,  đơn vị: `cm`)

Vì hình thoi có `4` cạnh bằng nhau

Nên chu vi hình thoi là:

       `a + a + a + a = 4a = 64` `(cm)`  

`=> a =  64 : 4 = 16` `(cm)`

Vậy cạnh hình thoi có độ dài là `16` `cm`

Vì hình bình hành nhận giao điểm hai đường chéo làm tâm đối xứng

Mà hình thoi cũng là một hình bình hành nên giao điểm hai đường chéo của hình thoi là tâm đối xứng của hình thoi

Do đó phát biểu “Hình thoi không có tâm đối xứng” là sai

Giả sử hình thoi `ABCD` có:

`-` Cạnh `AB = 25` `cm`

`-` Đường chéo `AC = 14` `cm`

Ta sẽ tính đường chéo còn lại là `BD`

Gọi `AC ∩ BD = {O}`

Theo tính chất hình thoi ta có:

`-` `AC ⊥ BD` tại `O`

`-` `O` là TĐ của `AC` và của `BC`

`=>OA = OC = 1/2 AC`

`=>OA=OC= 1/2 . 14 = 7` `(cm)`

Xét `∆ABO` vuông tại `O`

Theo định lý Pythagone 

         `AB^2 = OA^2 + OB^2` 

`=>  OB^2 = AB^2 - OA^2`

`=>OB^2= 25^2 - 7^2 = 576`

`=>  OB = sqrt576 = 24` `(cm)`

`=> BD = 2.OB = 2.24 = 48` `(cm)`

Vậy độ dài đường chéo còn lại là:

            `48` `cm`

Độ dài mỗi cạnh của hình thoi là: 

        `24 :4 =6` `(cm)`

Xét `∆ABD` có:

       `AB = BD = AD = 6 cm`

`=> ∆ABD` đều

`=>   hat A=hat (ABD)=hat(ADB)  = 60^o`

Do đó `hat A=hat C=60^o`

          (các góc đối của hình thoi)

Lại có: `BD` là tia phân giác góc `B`

           (tính chất hình thoi)

`=> hat B = 2.hat (ABD) = 2.60^o = 120^o`

`=> hat D= hat B = 120^o` 

Vậy `hat A =60^o;hat B=120^o`

       `hatC=60^o;hat D=120^o`

Xét `∆ABD` có `M, Q` lần lượt là trung điểm của `AB, AD`

`=> MQ` là đường trung bình của `∆ABD => MQ = 1/2 BD`

Chứng minh tương tự với `∆ABC;``∆CBD; ∆ADC` ta cũng có 

       `{(MN =1/2AC),(NP =1/2 BD),( PQ =1/2 AC):}`

Mà `AC = BD` (`ABCD` là HT cân)

`=> MQ = MN = NP = PQ`

`=> MNPQ` là hình thoi (DHNB)

Vì `MNPQ` là hình thoi  (cmt) 
Theo tính chất hình thoi ta có:

`-` `QN` là tia phân giác  `hat(MQP)`

`=> hat(PQN)=hat(MQN)` là KĐ đúng

`-` `MP ⊥  QN`   

`=>hat(MON)= 90^o` là KĐ đúng

Vì `MQ =1/2 BD`

Mà `AC = BD` (tính chất HT cân) 

`=>  MQ =1/2 AC`

`=>  AC = 2.MQ` là KĐ đúng

Còn lại khẳng định `hat(QMN)=2 hat(MNQ)` là sai. Vì chưa đủ cơ sở để so sánh `hat(QMN)` và `hat(MNQ)`.