Phát biểu đúng là:  “Hình vuông là tứ giác có bốn góc vuông và bốn cạnh bằng nhau”

Nhận xét:

- Hình vuông là hình chữ nhật có bốn cạnh bằng nhau

- Hình vuông là hình thoi có bốn góc vuông

Như vậy hình vuông vừa là hình chữ nhật, vừa là hình thoi

Do đó nhận xét sai là “Hình vuông là hình chữ nhật nhưng không là hình thoi”

Vì `ABCD` là hình vuông nên hai đường chéo là các đường phân giác của các góc của hình vuông

Do đó `AC` là tia phân giác của `hat(BAD)`

Vậy phát biểu “`BD` là tia phân giác `hat(BAD)`” là sai

Tứ giác `ABCD` có `AB = BC = CD = DA  => ABCD` là hình thoi  (dấu hiệu nhận biết)

Lại có `hatD= 90^o =>` hình thoi `ABCD` là hình vuông (dấu hiệu nhận biết).

Vậy tứ giác `ABCD` là hình vuông theo dấu hiệu “Hình thoi có một góc vuông”

Căn cứ vào dấu hiệu nhận biết, ta thấy để một hình chữ trở thành hình vuông thì phải thỏa mãn một trong các điều kiện sau:

+ Hai cạnh kề bằng nhau

+ Hai đường chéo vuông góc với nhau

+ Có một đường chéo là đường phân giác của một góc

Vậy câu sai là “hai đường chéo bằng nhau”

Theo định nghĩa, hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau

Xét hình vuông `ABCD` có `AB` // `CD`, lại có `hat A=hatB=90^o` nên `ABCD` cũng là một hình thang cân

Vậy phát biểu “Hình vuông cũng là một hình thang cân” là đúng

Xét hình vuông `ABCD` có chu vi bằng `20` `cm`

Do đó độ dài cạnh hình vuông là:

         `20 : 4 = 5` `(cm)`

Xét `∆ADC` vuông cân tại `D` có:

         `AD = DC = 5` `(cm)`

`=>  AC^2 = AD^2 + DC^2`

`=>AC^2 = 5^2 + 5^2 = 50`

`=> AC =   sqrt50` `(cm)`

Vậy độ dài đường chéo hình vuông là  `sqrt50` `cm`

Xét hình vuông `MNPQ` có `O` là giao điểm của các đường chéo `MP; NQ`

`=> MP ⊥ NQ` tại `O`

và `OM = ON = OP = OQ`

`∆NOP` vuông tại `O` 

(vì `MP ⊥ NQ` tại `O`)

Lại có `ON = OP`

`=> ∆NOP` vuông cân tại `O` 

Vì  điểm `D` đối xứng với `M` qua `N` nên `N` là trung điểm của `MD`

Xét tứ giác `ADCM` có hai đường chéo `AC` và `MD` cắt nhau tại trung điểm `N` của mỗi đường

`=> ADCM` là hình bình hành

Mặt khác `∆ABC` vuông cân tại `A` (gt) có `AM` là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền `BC`

`=> AM ⊥ BC` và `AM =1/2 BC` (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông)

`=> AM = MC`

Hình bình hành `ADCM` có `AM = MC` (cmt)

`=> ADCM` là hình thoi

Hình thoi `ADCM` có `hat (AMC)=90^o` (Do  `AM ⊥ BC`)

`=> ADCM` là hình vuông

Vậy  `ADCM` là hình vuông

Vì `M, N, P` lần lượt là các trung điểm của `AB, BC, AC`

`=> MN; NP` là các đường trung bình của `∆ABC`

`=> MN //// AC; NP //// AB`

hay `MN //// AP; NP //// AM`

`=>` tứ giác `AMNP` là hình bình hành

Lại có  `hat A=90^o` (Do `∆ABC` vuông tại `A`)

`=>` hình bình hành  `AMNP` là hình chữ nhật

Hình chữ nhật `AMNP` là hình vuông `=>AM = AP`

Mà `AM =1/2 AB; AP =1/2 AC`

Nên `AM = AP => AB = AC`

Vậy nếu `∆ABC` vuông tại `A` có thêm điều kiện `AB = AC`  `(`hay `∆ABC` vuông cân tại `A)` thì hình chữ nhật `AMNP` là hình vuông