Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật

Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành

Tứ giác có hai cạnh đối song song là hình thang

Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình thoi

Một tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành

Mà hình bình hành đó lại có một góc vuông nên là hình chữ nhật

Phát biểu sai là:  “Hình bình hành có tất cả các tính chất của hình thang cân”

Vì nếu một tứ giác là hình bình hành thì chưa chắc đã là hình thang cân (Và ngược lại)

Hình thoi là hình vừa có trục đối xứng, vừa có tâm đối xứng

Cụ thể:

Trục đối xứng của hình thoi là hai đường chéo

Tâm đối xứng của hình thoi là giao điểm của hai đường chéo.

Tổng độ dài hai đáy là:

     `3.2 = 6` `(cm)`

Chu vi hình thang là:

     `2`,`5.2 + 6 = ``11` `(cm)`

Xét `∆ABC` có :

      `AB^2 + BC^2 = 6^2 + 8^2  = 100`

Mà `AC^2 = 10^2 = 100`

`=>  AB^2 + BC^2 = AC^2`  

`=>  ∆ABC` vuông tại `B` (Định lí Pythagone đảo)

Xét `∆ABC` vuông tại `B` có `BM` là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền `AC``=> BM = 1/2 AC =1/2 . 10 = ``5` `cm`

Tứ giác `ABCD` có: 

     `hat A+hat B+hat C+hat D=360^o`

    (tổng các góc trong một tứ giác)

`=> hat A+hat B=360^o-(hat C+hatD)`

`=> hat A+hat B=360^o-140^o=220^o`

Từ `hat A+hatB=220^o` và `hat A-hatB=10^o`

`=> hat A=(220^o + 10^o):2=115^o`

`=> hat B=115^o -10^o=105^o`

Vậy `hat A=115^o;hat B=105^o`

Xét `∆ABC` có `M` và `N` lần lượt là trung điểm của `AB` và `AC`

`=> MN` là đường trung bình của `BC`

`=>MN////BC`

Mà `I; K ∈  BC  => MN //// IK`

Lại có `MI ⊥ BC; NK ⊥ BC`

` =>  MI //// NK`  (từ vuông góc đến song song)

Xét tứ giác `MNKI` có:

       `MN //// IK; MI //// NK`

`=> MNKI` là hình bình hành

Mà `hat(MIK)=90^o` (do `MI ⊥ BC`) `=> MNKI` là hình chữ nhật

Theo tính chất của hình chữ nhật: 

`MI = NK; MN = IK; MK = NI`

Vậy phát biểu sai là `“MN = MI”`  (chưa đủ cơ sở để khẳng định)

Xét `∆ABC` có: `D, E, F` lần lượt là trung điểm của `BC, AC, AB` (gt)

`=> DE, DF` là các đường trung bình của `∆ABC`

`=> DE //// AB; DF //// AC` (tính chất đường trung bình)

Mà `F ∈ AB; E ∈ AC`

`=> DE //// AF; DF //// AE`

Xét tứ giác `AEDF` có: 

       `DE //// AF; DF //// AE (cmt)`

`=> AEDF` là hình bình hành (DHNB)

* Ta có: `E, F` lần lượt là trung điểm của `AC, AB`

`=> AE = 1/2 AC; AF =1/2 AB`

Do đó `AEDF` là hình thoi

`=> AE = AF=>AC = AB`

`=>∆ABC` cân tại `A`

Vậy điều kiện của `∆ABC` để `AEDF` là hình thoi là `∆ABC` cân tại `A`

Vì `ABCD` là hình vuông `=> AB = BC`

Xét `∆ABM` và `∆BCN` có:

      `AB = BC (cmt)`

      `hat(ABM)= hat(BCN)= 90^o`

      `BM = CN` (gt)

`=> ∆ABM = ∆BCN (c.g.c)`

`=> hat A_1=hatB_1` (`2` góc tương ứng)

Mà `hat A_1+hatM_1=90^o` (`2` góc phụ nhau do `∆ABM` vuông tại `B`)

`=> hat B_1+hat M_1=90^o`

Xét `∆BEM` có:

`hat(BEM)+hat B_1+hatM_1=180^o`

  (định lí tổng ba góc trong tam giác)

`=> hat(BEM)=180^o-(hatB_1+hatM_1)`

`=>hat(BEM)=180^o-90^o=90^o`

`=> hat(AEN)=hat(BEM)=90^o` (đối đỉnh)

Vậy `hat(AEN)=90^o`