Hình thoi `ABCD` có hai đường chéo `AC; BD` cắt nhau tại `O`

`=> O` đồng thời là trung điểm của `AC` và `BD`

`=>AC=2.OA=2.2=4(cm);BD=2.OB=2.3=6(cm)`

Diện tích của hình thoi bằng nửa tích hai đường chéo.

Do đó:  `S_(ABCD)= 1/2  AC.BD =1/2 .4.6 =``12 (cm^2)`

Ta có: `S_(ABCD)=1/2 AC.BD=> AC=(2S_(ABCD))/(BD)=(2.25)/5=10(cm)`

Vậy độ dài đường chéo `AC` là `10(cm)`

Vì hình vuông là hình thoi có hai đường chéo bằng nhau và vuông góc với nhau

Do đó diện tích hình vuông bằng một nửa bình phương độ dài đường chéo, tức là `S=d^2/2`

Giả sử hình thoi đó có độ dài hai đường chéo lần lượt là `d_1; d_2`. Ta có:

Diện tích lúc đầu là:  `S_(lúc đầu)=  1/2 .d_1.d_2`

_­Diện tích lúc sau là:  `S_(lúc sau)= 1/2 . 2,5d_1 . d_2/2 =  1/2 . 1,25 . d_1 . d_2 = 1,25 . ( 1/2 .d_1.d_2) = 1,25 . S_(lúc đầu)`

Vậy diện tích hình thoi lúc sau sẽ tăng `1,25` lần so với lúc đầu.

Vì hình thoi `ABCD` cũng là một hình bình hành nên ta cũng có thể tính diện tích `ABCD` theo cách tính diện tích hình bình hành.

Do đó có thể tính diện tích hình thoi `ABCD` theo các cách sau:

`S_(ABCD)= BH.AD = BH.BC` ( tích của một cạnh với chiều cao ứng với cạnh đó)

`S_(ABCD)= 1/2  AC.BD` (tích hai đường chéo)

Vậy phát biểu sai là `S_(ABCD)= 1/2 AD.BC`

Vì `MNPQ` là hình thoi `=> MP ⊥ NQ` tại `O => ∆MNO` vuông tại `O`

Áp dụng định lí Py-ta-go ta có:

`MN^2 = OM^2 + ON^2   =>  ON^2 = MN^2 - OM^2 = 20^2 -16^2 = 144   => ON = 12 (cm)`

Hình thoi `MNPQ` có hai đường chéo `MP; NQ` cắt nhau tại `O`

`=> O` đồng thời là trung điểm của `MP` và `NQ`

`=>MP=2.OM=2.16=32(cm);NQ=2.ON=2.12=24(cm)`

Do đó diện tích hình thoi `MNPQ` là:  

`S_(MNPQ) =1/2 MP.NQ = 1/2 32.24 =``384 (cm^2)`

Giả sử hình thoi `ABCD` có diện tích bằng `120 cm^2`; đường chéo `AC = 10 (cm)`

Gọi `AC ∩ BD = {O}`

Theo tính chất hình thoi ta có `O` đồng thời là trung điểm của `AC; BD` và `AC ⊥ BD` tại `O`.
Do đó `OA =1/2 .AC =1/2 .10 = 5 (cm)`

Lại có `S_(ABCD)=1/2 .AC.BD  =>  BD =(2S_(ABCD))/(AC)=(2.120)/10=24(cm)`

`=>  OB =1/2 .BD =1/2 .24 = 12 (cm)`

Áp dụng định lí Py-ta-go vào `∆OAB` vuông tại `O`:

`AB^2=OA^2+OB^2=5^2+12^2=169=>AB=13(cm)`

Vậy độ dài cạnh hình thoi là `13 (cm)`

Giả sử hình thoi `ABCD` có đường chéo `AC` vuông góc `BD` tại `O; AB = 10 cm; AC = 16 cm`.

Theo tính chất hình thoi ta có `AC ⊥ BD` tại `O` và `O` đồng thời là trung điểm của `AC; BD`.

`=>  OA =1/2  AC = 1/2 .16 = 8 (cm)`

Áp dụng định lý Py-ta-go trong tam giác vuông `AOB` vuông tại `O`:

`AB^2=OA^2 + OB^2=>OB^2=AB^2-OA^2=10^2-8^2=36=>OB=6(cm)`

`=>  BD = 2.OB = 2.6 = 12 (cm)`

Do đó: `S_(ABCD)= 1/2 AC.BD =1/2 .16.12 = 96 (cm^2)`

Vậy diện tích hình thoi là `96(cm^2)`