Ta xét phương trình hoành độ giao điểm:

`2x-1=x^2`

`<=>x^2-2x+1=0`

`<=>(x-1)^2=0`

`=>x-1=0`

`<=> x=1`

Vậy số giao điểm của đường thẳng `d` và Parabol `(P)` là `1`

Ta xét phương trình hoành độ giao điểm:

`2x=x^2`

`<=>x^2-2x=0`

`<=>x(x-2)=0`

`=>x=0` hoặc  `x=2`

Với `x=0=>y=0`

Với `x=2 =>y=4`

Vậy giao điểm của đường thẳng `d` và Parabol `(P)` là `A(0;0)` và `C(2;4)`

Xét phương trình hoành độ giao điểm `3x-2=x^2`

`<=>x^2-3x+2=0`

`<=>(x-1)(x-2)=0`

`=>x-1=0` hoặc `x-2=0`

`<=>x=1` hoặc `x=2`

Vậy tổng các hoành độ giao điểm của đường thẳng `d` và Parabol `(P)` là `1+2=``3`

Xét phương trình hoành độ giao điểm: `mx+2=x^2/2`

`<=>x^2/2-mx-2=0`

`<=>x^2-2mx -4=0` `(1)`

Để `d` cắt `(P)` tại hai điểm phân biệt thì phương trình `(1)` có `2` nghiệm phân biệt.

Khi đó : `triangle' > 0`

`<=>(-m)^2-1.(-4)>0`

`<=>m^2+4>0` ( luôn đúng với mọi `m`)

Vậy `d` cắt `(P)` tại hai điểm phân biệt với mọi `m` (`m in R`)

Xét phương trình hoành độ giao điểm: `2x+m=2x^2`

`<=>2x^2-2x-m=0`

Để đường thẳng `d` và parabol (`P`) không có điểm chung thì phương trình hoành độ giao điểm vô nghiệm.

`triangle'=(-1)^2-2.(-m)=1+2m<0`

`<=>m<-1/2`

Xét phương trình hoành độ giao điểm : `(m-2)x+3m=x^2`

`<=>x^2-(m-2)x-3m=0`

Để đường thẳng `d` và parabol `(P)` cắt nhau tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía trục tung thì phương trình hoành độ giao điểm có hai nghiệm trái dấu.

Khi đó: `1.(-3m)<0<=>-3m<0<=>m>0`

Vậy `m>0`

Xét phương trình hoành độ giao điểm: `mx+m+1=x^2`

`<=>x^2-mx-(m+1)=0`

Để `d` cắt `(P)` tại hai điểm phân biệt nằm về bên trái trục tung thì phương trình hoành độ giao điểm có `2` nghiệm âm phân biệt.

Để phương trình có `2` nghiệm phân biệt thì `triangle > 0`

`<=>(-m)^2-4.1.[-(m+1)]>0`

`<=>m^2+4m+4>0`

`<=>(m+2)^2>0`

`=>(m + 2)^2 ne 0`

`<=> m ne -2`

Với `m ne -2` phương trình có `2` nghiệm phân biệt `x_1;x_2`

Theo hệ thức Vi-et, ta có:

`x_1 + x_2 =(-(-m))/1= m`

`x_1 . x_2 = (-(m+1))/1 = -m-1`

Để hai nghiệm này âm thì

`x_1 + x_2 < 0` và `x_1.x_2 > 0`

`<=> m < 0` và `-m-1 > 0`

`<=> m < 0` và `m < -1`

`<=> m < -1`

Vậy `m <1` và `m ne -2` thì `d` cắt `(P)` tại hai điểm có hoành độ âm

Xét phương trình hoành độ giao điểm của `d` và `(P)`:

`5x-m-4=x^2`

`<=>x^2-5x+m+4=0` `(1)`

Để `d` cắt `(P)` tại hai điểm phân biệt thì phương trình `(1)` có `2` nghiệm phân biệt

`triangle > 0`

`<=> (-5)^2 – 4.1.(m+4) > 0`

`<=> 25- 4m-16 > 0`

`<=> 9-4m > 0`

`<=> m < 9/4`

Với `m<9/4` thì `d` cắt `(P)` tại hai điểm phân biệt có hoành độ `x_1; x_2`

Khi đó theo hệ thức Vi-et, ta có:
`x_1 + x _2 = 5`

`x_1 . x_ 2 = m+4`

Theo bài ra, ta có: `(x_1)^2 +(x_2)^2 = 23`

`<=> (x_1 + x_2)^2-2 x_1 x_2=23`

`<=> 5^2-2.(m+4)=23`

`<=> 25 – 2(m+4) = 23`

`<=> 2(m+4)=2`

`<=>m+4=1`

`<=> m = -3` (TMĐK)

Vậy có `1` giá trị `m` thỏa mãn để đường thẳng `(d):y=5x-m-4` và Parabol `(P):y=x^2` cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ `x_1;x_2` thỏa mãn `x_1^2+x_2^2=23`

Xét phương trình hoành độ giao điểm của `d` và `(P)`:

`5x- m-4 = x^2`

`<=>x^2-5x+m+4=0` `(1)`

Để `d` cắt `(P)` tại hai điểm phân biệt thì phương trình `(1)` có `2` nghiệm phân biệt

`=> triangle >0`

`<=>(-5)^2-4.1.(m+4)>0`

`<=>25-4m-16>0`

`<=>9-4m>0`

`<=>m<9/4`

Với `m<9/4` thì `d` cắt `(P)` tại hai điểm phân biệt có hoành độ `x_1; x_2`

Khi đó theo hệ thức Vi-et, ta có:
`x_1+x _2 = 5`

`x_1. x_ 2 = m+4`

Theo bài ra, ta có:

`|x_2-x_1|=3`

`=>(x_2-x_1)^2=9`

`<=> (x_2 + x_1)^2 -4 x_2 x_1=9`

`<=> 5^2-4.(m+4)= 9`

`<=>4(m+4)=16`

`<=>m+4=4`

`<=>m=0` (TMĐK) 

Vậy `m=0`