Bài 2: Hình thang cân

1. HÌNH THANG. HÌNH THANG CÂN

`-` Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song.

Nhận xét: Hình vẽ trên là hình thang `ABCD` với `AB////CD`. Ta có:

• Các đoạn thẳng `AB,CD` gọi là các cạnh đáy (hoặc đáy).
• Nếu `AB<CD` thì `AB` là đáy nhỏ, `CD` là đáy lớn.
• Các đoạn thẳng `AD,BC` là các cạnh bên 
• `AH` là đường vuông góc kẻ từ `A` đến đường thẳng `CD`, đoạn thẳng `AH` gọi là đường cao của hình thang.

`-` Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau.

Nhận xét: Hình vẽ trên là hình thang cân `ABCD`  có `hatA=hatB;hatC=hatD`

Chú ý: Trong hình thang, hai góc kề một đáy bằng nhau thì hai góc kề đáy kia cũng bằng nhau.

VD: Tìm các góc chưa biết của hình thang `ABCD` có hai đáy là `AB` và `CD` trong các trường hợp sau: 

a) `hat A = 90^o` và `hat B = 40^o`

b) `hat C = hat D = 80^o`

Giải

a) Hình thang `ABCD` (`AB` // `CD`) có `hat A = 90^o` nên là hình thang vuông. Suy ra `hat D = hat A = 90^o` và `hat C = 180^o - 80^o = 100^o`

b) Hình thang `ABCD` (`AB` // `CD`) có `hat C = hat D = 80^o` nên là hình thang cân.

Suy ra `hat A = hat B = 180^o - 80^o = 100^o`

2. TÍNH CHẤT CỦA HÌNH THANG CÂN

`-` Định lí 1: Trong hình thang cân, hai cạnh bên bằng nhau.

`-` Định lí 2: Trong hình thang cân, hai đường chéo bằng nhau.

VD: Tìm các đoạn thẳng bằng nhau có trên hình thang cân `EFHG` (`EF` // `HG`) trong hình vẽ.

Giải

Hình thang cân `EFHG` có hai đáy là `EF` và `HG` nên có: 

`-` Hai cạnh bên bằng nhau: `EG = FH`

`-` Hai đường chéo bằng nhau: `EH = FG`

3. DẤU HIỆU NHẬN BIẾT HÌNH THANG CÂN

`-` Định lí 3: Nếu một hình thang có hai đường chéo bằng nhau thì hình thang đó là hình thang cân.

VD: Cho hình thang `ABCD` (`AB` // `CD`) có `hat (ACD)`  =  `hat (BDC)`. Chứng minh rằng `ABCD` là hình thang cân. 

Giải

Hình thang `ABCD` có hai đường chéo `AC` và `BD` cắt nhau tại `I`.

Vì `AB` // `CD` nên `hat (BAC)` = `hat (ACD)`, `hat (ABD)` = `hat (BDC)` ( các cặp góc so le trong).

Mặt khác, `hat (ACD)` = `hat (BDC)`. Suy ra `hat (BAC)` = `hat (ACD)` = `hat (BDC)` = `hat (ABD)`

Từ đó, tam giác `ICD` và tam giác `IAB` cùng cân tại `I`.

Vậy `IC = ID`, `IA = IB`, suy ra `AC = IA + IC = IB + ID = BD`

Theo định lí `3`, hình thang `ABCD` là hình thang cân.