Bài 1: Phân thức đại số

I. KHÁI NIỆM VỀ PHÂN THỨC ĐẠI SỐ

1. Định nghĩa

`-` Một phân thức đại số (hay nói gọn là phân thức) là một biểu thức có dạng `P/Q`;

trong đó `P` , `Q` là những đa thức và `Q` khác đa thức `0`.

      `P` được gọi là tử thức (hay tử), `Q` được gọi là mẫu thức (hay mẫu).

`-` Chú ý: Mỗi đa thức cũng được coi là một phân thức với mẫu thức bằng `1`.

                  Đặc biệt, mỗi số thực cũng là một phân thức đại số.

2. Hai phân thức bằng nhau

`-` Hai phân thức `A/B` và `C/D` được gọi là bằng nhau, viết là `A/B=C/D` nếu `A.D=B.C`.

II. TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÂN THỨC

1. Tính chất cơ bản

`P/Q= (P.M)/(Q.M)` với `M` là một đa thức khác đa thức `0`

`P/Q= (P:N)/(Q:N)` với `N` một nhân tử chung của `P` và `Q`

VD: Giải thích vì sao:

a) `(x-y)/(xy-x)=(y-x)/(x-xy)` 

b) `(3x+y)/(y)=(3xy+y^2)/(y^2)`

Giải:

a) Ta có: `(x-y)/(xy-x)=((x-y).(-1))/((xy-x).(-1) )= (y-x)/(x-xy)`

Vậy `(x-y)/(xy-x)= (y-x)/(x-xy)`.

b) Ta có: `(3xy+y^2)/(y^2)= (y.(3x+y):y)/(y^2 :y)=(3x+y)/(y)`

Vậy `(3x+y)/(y)=(3xy+y^2)/(y^2)`.

`-` Chú ý: `P/Q = (-P)/(-Q)` ; `P/(-Q) = (-P)/Q`.

2. Ứng dụng

a) Rút gọn phân thức

Muốn rút gọn một phân thức, ta thực hiện:

`-` `B_1`: Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần);

`-` `B_2`: Tìm nhân tử chung của tử và mẫu rồi chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung đó.

VD: `(8x^2 +4x)/(4x^2 -1 ) =(4x(2x+1))/((2x-1)(2x+1))` `larr` Phân tích tử và mẫu thành NT

 `=(4x)/(2x-1)` `larr` Chia cả tử và mẫu cho NTC `(2x+1)`

b) Quy đồng mẫu thức thành nhiều phân thức

Để quy đồng mẫu thức các phân thức, ta thực hiện:

`-` `B_1`: Tìm mẫu thức chung (MTC chia hết cho mẫu thức của mỗi phân thức đã cho);

`-` `B_2`: Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức (bằng cách chia MTC cho từng mẫu);

`-` `B_3`: Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức đã cho với nhân tử phụ tương ứng.

VD: Quy đồng mẫu thức hai phân thức: `5/(2x^2 y^3)` và `3/(xy^4)`.

Ta có: MTC: `2x^2 y^4`

`5/(2x^ 2y^3) = (5y)/(2x^2 y^4)`; `3/(xy^4) =(3.2x)/(2x^2 y^4) = (6x)/(2x^2 y^4)`

III. ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH VÀ GIÁ TRỊ CỦA PHÂN THỨC

`-` Điều kiện của biến đề giá trị tương ứng của mẫu thức khác `0` được gọi là điều kiện để giá trị của phân thức đó được xác định.

`-` Giá trị của biểu thức `P/Q` tại những giá trị cho trước của các biến để giá trị của mẫu thức khác `0` được gọi là giá trị của phân thức `P/Q` tại những giá trị cho trước của các biến đó.

VD: Cho phân thức `(x+1)/(x^2 -x)`

`+` Điều kiện để phân thức xác định: `x^2 -x ne 0 =>x ne 0` và `x ne 1`.

`+` Giá trị của phân thức tại `x=2` là: `(2+1)/(2^2 -2)= 3/2`.

`-` Nhận xét: Nếu tại giá trị của biến mà giá trị của một phân thức được xác định thì phân thức đó và phân thức rút gọn của nó có cùng giá trị.