Bài 3: Tính chất đường phân giác của tam giác

1.TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC

`-` Định lí: Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy.

Nhận xét: 

`Delta ABC` có `AD` là đường phân giác `=>(BD)/(DC)=(AB)/(AC)`

VD`1`: Cho hình vẽ, tìm `x`?

Giải

Xét `DeltaABC` có `AD` là tia phân giác của  `hat(BAC)`   (gt)   

`=> (DB)/ (DC) = (AB)/ (AC)`  (tính chất đường phân giác của tam giác)

`=> 2/x = (2,5)/(4,5)`

`=>  x = (2 . 4,5)/(2,5) = 3,6`

2. ÁP DỤNG TÍNH CHIA TỈ LỆ CỦA ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC

VD`1`: Cho tam giác `ABC` vuông tại `A`, đường phân giác `AD` có `AB = 10` cm, `AC = 15` cm. Qua `D` kẻ đường thẳng song song với `AB` cắt `AC` tại `E`. Tính độ dài `AE, EC`.

Giải

Giải

`AD` là đường phân giác của `DeltaABC`

`=> (DB)/ (DC) = (AB)/ (AC)`  (tính chất đường phân giác của `Delta`)

`=> (DB)/ (DC) = (10)/ 15 = 2/ 3`

Vì `DE //// BC` nên: `(AE)/(EC) = (DB)/(DC)` (Định lí Ta-lét)

`=> (AE)/ (EC) = 2/3  => (AE)/2 = (EC)/3 = (AE+EC)/(2+3) = (AC)/5 = (15)/5 = 3`

`=> AE = 3.2 = 6` (cm); `EC = 3.3 = 9`(cm)

Vậy `AE = 6` cm; `EC = 9` (cm)

VD`2`: Cho tam giác `ABC` vuông tại `A`. Kẻ phân giác trong `AD`. Biết `DB = 15`cm, `DC = 20`cm. 

Tính độ dài các đoạn thẳng `AB ; AC`.

Giải

Ta có: `BC = DB + DC = 15 + 20 = 35` (cm).

Xét `DeltaABC` có `AD` là đường phân giác 

`=> (AB)/(AC) = (DB)/(DC) = (15)/(20) = 3/4` (tính chất đường phân giác của `Delta`)

`=> AB = 3/4 . AC`

Xét `DeltaABC` vuông tại `A` có: 

`AB^2 + AC^2 = BC^2` (Định lí Py-ta-go)

`=> ( 3/4 .AC)^2 + AC^2 = BC^2 => 9/16 AC^2 + AC^2 = BC^2`

 `=> 25/16 AC^2 = (15 + 20)^2 => 25/16 AC^2 = 1225`

`=>  AC^2 = 1225 : 25/16 = 784 => AC = 28` (cm)  

`=> AB = 3/4 . 28 = 21`(cm)

Vậy `AB = 21` (cm); `AC = 28` (cm)