Bài 5: Những hằng đẳng thức đáng nhớ

Đề kiểm tra Toán lớp 8

Bộ đề kiểm tra Toán 8 được biên soạn chi tiết, bám sát chương trình học giúp các con học sinh rà soát kiến thức,...

Lý thuyết bài học

1. HẰNG ĐẲNG THỨC

$-$ $-$ Cho hai biểu thức đại số $A$ $A$ và $B$ $B$ có cùng các biến. Nếu giá trị của $A$ $A$ và giá trị của $B$ $B$ luôn bằng nhau tại mọi giá trị của các biến thì ta có một hằng đẳng thức $A = B$ $A = B$ (hay đồng nhất thức).

VD:

a) Giải thích vì sao $x^{2} - x = x (x + 1) - 2 x$ $x^2-x=x(x+1)-2x$ là một đồng nhất thức

b) Giải thích vì sao $(a - 1) (b - 1) = a b - a - b + 1$ $(a-1)(b-1)=ab-a-b+1$ là một đồng nhất thức

c) Giải thích vì sao $x^{2} + y - 3 = y^{2} + x - 3$ $x^2+y-3=y^2+x-3$ là một đồng nhất thức

Giải

a) Ta có: $x (x + 1) - 2 x = x^{2} + x - 2 x = x^{2} - x$ $x(x+1)-2x=x^2+x-2x=x^2-x$ tại mọi giá trị của biến $x$ $x$

Vậy $x^{2} - x = x (x + 1) - 2 x$ $x^2-x=x(x+1)-2x$ là một đồng nhất thức

b) Ta có: $(a - 1) (b - 1) = a b - a - b + 1$ $(a-1)(b-1)=ab-a-b+1$ tại mọi giá trị của các biến $a$ $a$ và $b$ $b$

Vậy $(a - 1) (b - 1) = a b - a - b + 1$ $(a-1)(b-1)=ab-a-b+1$ là một đồng nhất thức.

c) Vì $x^{2} + y - 3 = 7$ $x^2+y-3=7$ và $y^{2} + x - 3 = 1$ $y^2+x-3=1$ khi $x = 3; y = 1$ $x=3;y=1$ nên $x^{2} + y - 3 = y^{2} + x - 3$ $x^2+y-3=y^2+x-3$ không là một đồng nhất thức.

2. HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ

a) Bình phương của một tổng

$-$ $-$ Với $A$ $A$ và $B$ $B$ là hai biểu thức tùy ý, ta có:

${(A + B)}^{2} = A^{2} + 2 A B + B^{2}$ $(A+B)^2=A^2+2AB+B^2$

VD:

${(2 x + y)}^{2} = {(2 x)}^{2} + 2.2 x . y + y^{2} = 4 x^{2} + 4 x y + y^{2} .$ $(2x + y)^2 = (2x)^2 + 2.2x.y + y^2=4x^2+4xy+y^2.$

${(x + 2)}^{2} = x^{2} + 2 . x .2 + 2^{2} = x^{2} + 4 x + 4 .$ $(x + 2)^2 = x^2 + 2.x.2 + 2^2 = x^2 + 4x + 4.$

b) Bình phương của một hiệu

$-$ $-$ Với $A$ $A$ và $B$ $B$ là hai biểu thức tùy ý, ta có:

${(A - B)}^{2} = A^{2} - 2 A B + B^{2}$ $(A-B)^2=A^2-2AB+B^2$

VD:

${(x - \frac{3}{2})}^{2} = x^{2} - 2 . x . \frac{3}{2} + {(\frac{3}{2})}^{2} = x^{2} - 3 x + \frac{9}{4} .$ $(x - 3/2)^2 = x^2 - 2.x. 3/2 + (3/2)^2 = x^2 - 3x + 9/4.$

${(3 x - 5)}^{2} = {(3 x)}^{2} - 2.3 x .5 + 5^{2} = 9 x^{2} - 30 x + 25 .$ $(3x - 5)^2 = (3x)^2 - 2.3x.5 + 5^2 = 9x^2 - 30x + 25.$

c) Hiệu hai bình phương

$-$ $-$ Với $A$ $A$ và $B$ $B$ là hai biểu thức tùy ý, ta có:

$A^2-B^2=(A+B)(A-B)$

VD:

$x^2 - 9 = x^2 - 3^2 = (x-3)(x+3).$

$4y^2 - 9 = (2y)^2 - 3^2 = (2y-3)(2y+3).$

d) Lập phương của một tổng

$-$ Với $A$ và $B$ là hai biểu thức tùy ý, ta có:

$(A+B)^3=A^3+3A^2B+3AB^2+B^3$

VD:

$(x+2)^3 = x^3 + 3.x^2 .2 + 3.x.2^2 + 2^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8.$

$(2x + y)^3 = (2x)^3 + 3.(2x)^2 .y + 3.2x.y^2 + y^3 = 8x^3 + 12x^2 y + 6xy^2 + y^3.$

e) Lập phương của một hiệu

$-$ Với $A$ và $B$ là hai biểu thức tùy ý, ta có:

$(A-B)^3=A^3-3A^2B+3AB^2-B^3$

VD:

$(x-1)^3 = x^3 - 3 .x^2 .1 + 3.x.1^2 - 1^3 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1.$

$(x-2y)^3=x^3 - 3.x^2 .2y + 3.x.(2y)^2 - (2y)^3 = x^3 - 6x^2 y + 12xy^2 - 8y^3.$

g) Tổng hai lập phương

$-$ Với $A$ và $B$ là hai biểu thức tùy, ta có:

$A^3+B^3=(A+B)(A^2-AB+B^2)$

VD:

$x^3 + 27 = x^3 + 3^3 = (x+3)(x^2 - 3x + 9).$

$8x^3 + y^3 = (2x)^3 + y^3 = (2x + y)(4 x^2 - 2xy + y^2).$

h) Hiệu hai lập phương

$-$ Với $A$ và $B$ là hai biểu thức tùy ý, ta có:

$A^3-B^3=(A-B)(A^2+AB+B^2)$

VD:

$x^3 - 1 = x^3 - 1^3 = (x-1)(x^2 + x + 1).$

$8 x^3 - y^3 = (2x)^3 - y^3 = (2x - y)(4 x^2 + 2xy + y^2).$

Xem thêm

Danh sách bài tập

Bạn đã hoàn thành 0%

Bài tập 1 Mức độ cơ bản

Chưa làm

Bài tập 2 Mức độ cơ bản

Chưa làm

Bài tập 3 Mức độ cơ bản

Chưa làm

Bài tập 4 Mức độ mở rộng

Chưa làm

Bài tập 5 Mức độ mở rộng

Chưa làm

Bài tập 6 Mức độ mở rộng

Chưa làm