Bài 3: Cộng, trừ các phân thức đại số

1. QUY ĐỒNG MẪU THỨC

`-` Muốn tìm mẫu thức chung,ta thực hiện như sau:

Bước `1`: Phân tích mẫu thức của mỗi phân thức đã cho thành nhân tử.

Bước `2`: Mẫu thức chung cần tìm là một tích mà các nhân tử được chọn như sau:

• Nhân tử bằng số của mẫu thức chung là tích các nhân tử bằng số của các mẫu thức ở bước `1` ( nếu các nhân tử bằng số của các mẫu thức là các số nguyên dương thì nhân tử bằng số của mẫu thức chung là BCNN của chúng);
• Với mỗi lũy thừa của cùng một biểu thức có mặt trong các mẫu thức, ta chọn lũy thừa với số mũ cao nhất.

VD: Tìm một mẫu thức chung của hai phân thức `1/(6x^2-12xy+6y^2)` và `3/(8x^2-8xy)`

Giải

Phân tích các mẫu thức thành nhân tử: 

`6x^2-12xy+6y^2=6(x^2-2xy+y^2)=6(x-y)^2;8x^2-8xy=8x(x-y)` (phân tích mỗi mẫu thức thành nhân tử)

Chọn mẫu thức chung là: `24x(x-y)^2` (BCNN`(6,8)=24`, chọn lũy thừa của `x` với số mũ cao nhất là `1`, chọn lũy thừa của `(x-y)` với số mũ cao nhất là `2`)

2. CỘNG HAI PHÂN THỨC CÙNG MẪU 

`-` Muốn cộng hai phân thức có cùng mẫu thức, ta cộng các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu thức.

VD: Thực hiện các phép cộng phân thức sau:  `(x-7)/(x^2 y) + (y+7)/(x^2 y)`           

Giải

 `(x-7)/(x^2 y) + (y+7)/(x^2 y) = (x-7 +y+7)/(x^2 y) = (x+y)/(x^2 y)`.

3. CỘNG HAI PHÂN THỨC KHÁC MẪU THỨC

`-` Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.

VD: Thực hiện các phép cộng phân thức sau: `1/(x+1) + 1/(x-1)`                

Giải

`1/(x+1) + 1/(x-1)``= (x-1)/((x+1)(x-1)) + (x+1)/((x-1)(x+1))``= (x-1+x+1)/((x+1)(x-1))``=(2x)/((x+1)(x-1))`.

4. TRỪ HAI PHÂN THỨC

`-` Hai phân thức được gọi là đối nhau nếu tổng của chúng bằng `0`.

`-` Muốn trừ hai phân thức `A/B` cho phân thức `C/D`, ta cộng `A/B` với phân thức đối của `C/D`

`A/B-C/D=A/B+(-C/D)`

VD: Thực hiện các phép cộng, trừ phân thức sau: 

a)  `(3x + 2y) / (x^2 - y^2) - x/(x^2 - y^2)`  

 b) `(2x+1)/x - (y-1)/y`

Giải

a) `(3x + 2y) / (x^2 - y^2) - x/(x^2 - y^2)`= `(3x + 2y -x) /(x^2 - y^2) = (2x + 2y) /((x+y)(x-y)) = (2(x+y)) /((x+y)(x-y)) = 2/ (x-y)`

b) `(2x+1)/x-(y-1)/y =((2x+1)y)/ (xy) - (x(y-1)) /(xy) = ((2x+1)y - x(y-1)) / (xy) = (xy + x + y) /(xy)`

Chú ý: 

a) Phép cộng các phân thức cũng có các tính chất giao hoán, kết hợp: 

`A/B + C/D = C/D + A/B`

`(A/B + C/D) + E/F = A/B + (C/D + E/F)`

b) Nếu `A/B + C/D = 0` thì phân thức `C/D` được gọi là phân thức đối của phân thức `A/B`, kí hiệu `-A/B`. Tương tự như với phân số, ta có tính chất: 

`-A /B = -A/B = A/ -B`

c) Phép trừ phân thức có thể chuyển thành phép cộng với phân thức đối: 

`A/B - C/D = A/B + (-C/D)`

5. QUY TẮC DẤU NGOẶC

`-` Khi bỏ dấu ngoặc mà có dấu "`-`" đằng trước thì ta phải đổi dấu tất cả các phân thức trong dấu ngoặc. 

`-` Khi bỏ dấu ngoặc mà có dấu "`+`" đằng trước thì ta giữ nguyên dấu của tất cả các phân thức trong dấu ngoặc.

VD: Tính nhanh: `(-x/(x^2-y^2)+(2y+x)/(x+y))-(y/(x+y)-x/(x^2-y^2))`

Giải

`(-x/(x^2-y^2)+(2y+x)/(x+y))-(y/(x+y)-x/(x^2-y^2))`

`=-x/(x^2-y^2)+(2y+x)/(x+y)-y/(x+y)+x/(x^2-y^2)` (bỏ dấu ngoặc)

`=(-x/(x^2-y^2)+x/(x^2-y^2))+((2y+x)/(x+y)-y/(x+y))`

`=0+(y+x)/(x+y)=1` ( áp dụng các tính chất giao hoán và kết hợp)