Bài 4: Hình thang cân

1. HÌNH THANG VÀ HÌNH THANG CÂN

`-` Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song. Hai cạnh song song được gọi là hai đáy, hai cạnh còn lại gọi là hai cạnh bên của hình thang.

Nhận xét: Hình vẽ trên là hình thang `ABCD` với `AB////CD`. Ta có:

• Các đoạn thẳng `AB,CD` gọi là các cạnh đáy (hoặc đáy).
• Nếu `AB<CD` thì `AB` là đáy nhỏ, `CD` là đáy lớn.
• Các đoạn thẳng `AD,BC` là các cạnh bên 
• `AH` là đường vuông góc kẻ từ `A` đến đường thẳng `CD`, đoạn thẳng `AH` gọi là đường cao của hình thang.

`-` Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau. 

Nhận xét: Hình vẽ trên là hình thang cân `ABCD`  có `hatA=hatB;hatC=hatD`

VD: Tìm các góc chưa biết của hình thang `ABCD` có hai đáy là `AB` và `CD` trong các trường hợp sau: 

a) `hat A = 90^o` và `hat B = 40^o`

b) `hat C = hat D = 80^o`

Giải

a) Hình thang `ABCD` (`AB` // `CD`) có `hat A = 90^o` nên là hình thang vuông. Suy ra `hat D = hat A = 90^o` và `hat C = 180^o - 80^o = 100^o`

b) Hình thang `ABCD` (`AB` // `CD`) có `hat C = hat D = 80^o` nên là hình thang cân.

Suy ra `hat A = hat B = 180^o - 80^o = 100^o`

2. TÍNH CHẤT CỦA HÌNH THANG CÂN

`-` Trong hình thang cân: 

• Hai cạnh bên bằng nhau;
• Hai đường chéo bằng nhau.

VD: Tìm các đoạn thẳng bằng nhau có trên hình thang cân `EFHG` (`EF` // `HG`) trong hình vẽ.

Giải

Hình thang cân `EFHG` có hai đáy là `EF` và `HG` nên có: 

`-` Hai cạnh bên bằng nhau: `EG = FH`

`-` Hai đường chéo bằng nhau: `EH = FG`

3. DẤU HIỆU NHẬN BIẾT HÌNH THANG CÂN

`-` Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.

VD: Cho hình thang `ABCD` (`AB` // `CD`) có `hat (ACD)`  =  `hat (BDC)`. Chứng minh rằng `ABCD` là hình thang cân. 

Giải

Hình thang `ABCD` có hai đường chéo `AC` và `BD` cắt nhau tại `I`.

Vì `AB` // `CD` nên `hat (BAC)` = `hat (ACD)`, `hat (ABD)` = `hat (BDC)` ( các cặp góc so le trong).

Mặt khác, `hat (ACD)` = `hat (BDC)`. Suy ra `hat (BAC)` = `hat (ACD)` = `hat (BDC)` = `hat (ABD)`

Từ đó, tam giác `ICD` và tam giác `IAB` cùng cân tại `I`.

Vậy `IC = ID`, `IA = IB`, suy ra `AC = IA + IC = IB + ID = BD`

Theo định lí `3`, hình thang `ABCD` là hình thang cân.