Xét tam giác `ABC` vuông tại `A`, cạnh huyền `BC = a`, các cạnh góc vuông `AC = b` và `AB = c`. Gọi `AH = h` là đường cao ứng với cạnh huyền và `CH = b’, BH = c’` lần lượt là hình chiếu của `AC, AB` trên cạnh huyền `BC` (như hình bên dưới)
1. Hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyền
Định lý 1: Trong một tam giác vuông, bình phương mỗi cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và hình chiếu của cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền.
Cụ thể, trong tam giác `ABC` vuông tại `A, AH` là đường cao, ta có:
`AB^2=BH.BC;AC^2=CH.CB` hay `b^2=a.b';c^2=a.c'`
Ví dụ: Cho hình vẽ sau, tính độ dài `BH; CH`
Giải:
Xét tam giác `ABC` vuông tại `A`, có đường cao `AH`. Theo hệ thức lượng ta có:
`AB^2=BH.BC`
`=> BH=(AB^2)/(AC)=5^2/10=2,5`
`=> CH=BC-BH=10-2,5=7,5`
2. Một số hệ thức liên quan đến đường cao
Định lý 2: Trong một tam giác vuông, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích hai hình chiếu của hai của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền
Cụ thể, trong tam giác `ABC` vuông tại `A, AH` là đường cao, ta có:
`AH^2=BH.CH` hay `h^2=b'.c'`
Ví dụ: Cho hình vẽ sau, tính độ dài `AH`
Xét tam giác `ABC` vuông tại `A`, có đường cao `AH`. Theo hệ thức lượng ta có:
`AH^2=BH.CH=4.9=36`
`=> AH=6`
Định lý 3: Trong một tam giác vuông, tích hai cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và đường cao tương ứng.
Cụ thể, trong tam giác `ABC` vuông tại `A, AH` là đường cao, ta có:
`AH.BC=AB.AC` hay `a.h=b.c`
Định lý 4: Trong một tam giác vuông, nghịch đảo của bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tổng các nghịch đảo của bình phương hai cạnh góc vuông.
Cụ thể, trong tam giác `ABC` vuông tại `A, AH` là đường cao, ta có:
`1/(AH^2)=1/(AB^2)+1/(AC^2)` hay `1/h^2=1/b^2+1/c^2`
Ví dụ: Cho hình vẽ sau, tính độ dài `AH` theo `2` cách
Cách `1`:
Xét tam giác `ABC` vuông tại `A`, theo định lí Pytago ta có:
`BC^2=AB^2+AC^2`
`BC^2=3^2+4^2=25 => BC=5`
Xét tam giác `ABC` vuông tại `A`, có đường cao `AH`. Theo hệ thức lượng ta có:
`AB.AC=AH.BC`
`=> 3.4=AH.5`
`=> AH= (3.4)/5=2`,`4`
Cách `2`:
Xét tam giác `ABC` vuông tại `A`, có đường cao `AH`. Theo hệ thức lượng ta có:
`1/(AH^2)=1/(AB^2)+1/(AC^2)=1/3^2+1/4^2=25/144`
`=> AH^2=144/25=> AH=12/5=2,4`
Hotline: 1900 633 551
