1. Phương trình bậc nhất hai ẩn
`a`, Định nghĩa
Phương trình bậc nhất hai ẩn `x` và `y` là hệ thức dạng `ax + by = c (1)`, trong đó `a; b; c` là các số cho trước (`a≠0` hoặc `b≠0`)
Ví dụ: Các phương trình `3x - y = 1; 3x - 4y = 0; 0x + 3y = 4; x + 0y = -6` là những phương trình bậc nhất hai ẩn
`b`, Nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn
Trong phương trình `(1)` nếu giá trị của vế trái tại `x = x_o; y=y_o` bằng vế phải thì cặp số `(x_o ; y_o)` được gọi là một nghiệm của phương trình `(1)`
Ví dụ: Cặp số `(1; 1)` là một nghiệm của phương trình `2x - y = 1` vì `2.1 - 1 = 1`
Chú ý: Trong mặt phẳng tọa độ `Oxy`, mỗi nghiệm của phương trình `(1)` được biểu diễn bởi `1` điểm. Nghiệm `(x_o ; y_o)` được biểu diễn bởi điểm có tọa độ `(x_o ;y_o)`
`c`, Tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn
- Phương trình bậc nhất hai ẩn `ax + by = c` luôn luôn có vô số nghiệm. Tập nghiệm của nó được biểu diễn bởi đường thẳng `ax + by = c`, kí hiệu là `(d)`
- Nếu `a≠0` và `b ≠ 0` thì phương trình có nghiệm `{(x in RR),(y=-a/b x+c/b):}` và đường thẳng `(d)` chính là đồ thị của hàm số bậc nhất `y=-a/b x+c/b`
- Nếu `a ≠ 0` và `b = 0` thì phương trình có nghiệm `{(x=c/a),(y in RR):}` và đường thẳng `(d)` song song hoặc trùng với trục tung
- Nếu `a = 0` và `b ≠ 0` thì phương trình có nghiệm `{(x in RR),(y=c/b):}` và đường thẳng `(d)` song song hoặc trùng với trục hoành
Ví dụ:
Phương trình `3x - y = 5` luôn có vô số nghiệm. Tập nghiệm của phương trình này là `S={(x; 3x - 5)|x ∈ RR}`
Phương trình `4x + 0y = 4` nghiệm đúng với mọi `y` và `x = 1` nên nghiệm tổng quát của phương trình là `{(x=1,,,,),(y inRR,,,,):}`
Phương trình `0x + 4y = 4` nghiệm đúng với mọi `x` và `y = 1` nên nghiệm tổng quát của phương trình là `{(x in RR,,,,),(y=1,,,,):}`
2. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
`a`, Khái niệm
Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ phương trình có dạng `{(ax+by=c,,(1)),(a' x+b'y=c',,(2)):}`
Trong đó `a, b, c, a’, b’, c’` là các số thực cho trước, `x` và `y` là ẩn số
- Nếu hai phương trình (`1`) và (`2`) có nghiệm chung `(x_o ; y_o)` thì `(x_o ; y_o)` được gọi là một nghiệm của hệ phương trình
- Nếu hai phương trình (`1`) và (`2`) không có nghiệm chung thì hệ phương trình vô nghiệm
Giải hệ phương trình là tìm tất cả các nghiệm (tìm tập nghiệm) của nó
Hai hệ phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm
`b`, Minh họa hình học tập nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
Tập nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn được biểu diễn bởi tập hợp các điểm chung của hai đường thẳng `(d): ax + by = c` và `(d’): a’x + b’y = c’`
- Nếu (`d`) cắt (`d’`) thì `a/(a') ne b/ (b')`. Khi đó hệ phương trình có nghiệm duy nhất
- Nếu (`d`) song song (`d’`) thì `a/(a') =b/(b') ne c/(c')`. Khi đó hệ phương trình vô nghiệm
- Nếu (`d`) trùng với (`d’`) thì `a/(a') =b/(b') = c/(c')`. Khi đó hệ phương trình có vô số nghiệm
Ví dụ: Cho hệ phương trình `{(2x+y=5),(2x-y=-5):}`. Hệ đã cho có bao nhiêu nghiệm?
Ta có: `a=2;b=1;c=5;a'=2;b'=-1;c=-5`
Khi đó `a/(a') ne b/(b')` nên hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
Hotline: 1900 633 551
