Bài 5: Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Đề kiểm tra Toán lớp 8

Bộ đề kiểm tra Toán 8 được biên soạn chi tiết, bám sát chương trình học giúp các con học sinh rà soát kiến thức,...

Lý thuyết bài học

1. Các bước để giải toán bằng cách lập phương trình

Bước 1: Lập phương trình

– Đặt ẩn số và điều kiện cho ẩn phù hợp.

– Biểu diễn các dữ kiện bài toán chưa biết thông qua ẩn và các đại lượng đã biết.

– Lập phương trình biểu diễn mối quan hệ giữa các đại lượng.

Bước 2: Giải phương trình đã lập

Bước 3: Kiểm tra điều kiện và đưa ra kết luận của bài toán

2. Chú ý về chọn ẩn và điều kiện thích hợp

Thông thường thì bài toán hỏi về đại lượng nào thì ta chọn đại lượng đó là ẩn.

+ Nếu $x$ $x$ biểu thị số quyển sách, số sản phẩm, số tuổi, số người, …thì $x$ nguyên dương

+ Nếu $x$ biểu thị vận tốc, thời gian, quãng đường, kích thước hình…thì $x > 0$

+ Nếu $x$ biểu thị một chữ số thì $0 <= x <=9$

3. Các dạng toán thường gặp

Dạng 1: Toán chuyển động

Phương pháp: Ta thường sử dụng công thức: $S=v.t; v=S/t;t=S/v$

Với $S$ : quãng đường, $v$ : vận tốc, $t$ : thời gian

+ Đối với bài toán chuyển động trên dòng nước:

Vận tốc xuôi dòng = vận tốc cano + vận tốc dòng nước

Vận tốc ngược dòng = vận tốc cano – vận tốc dòng nước

Ví dụ: Trên quãng đường $AB$ dài $200km$ có hai xe đi ngược chiều nhau, xe $1$ khởi hành từ $A$ đến $B$ , xe $2$ khởi hành từ $B$ về $A$ . Hai xe khởi hành cùng một lúc và gặp nhau sau $2$ giờ. Tính vận tốc mỗi xe, biết xe hai đi nhanh hơn xe $1$ là $10(km//h)$ .

Giải:

Gọi vận tốc của xe thứ nhất là $x (km//h) (x > 0)$

Xe thứ hai đi nhanh hơn xe thứ nhất $10(km//h)$

$=>$ Vận tốc xe thứ hai là $x + 10 (km//h)$

Quãng đường xe thứ nhất đi trong $2$ giờ là $2.x (km)$

Quãng đường xe thứ hai đi trong $2$ giờ là $2.(x + 10) (km)$

Do hai xe xuất phát cùng lúc ngược chiều và gặp nhau sau $2$ giờ nên tổng quãng đường đi được của hai xe bằng quãng đường $AB$ . Ta có phương trình:

$2x +2(x+10)=200$

$<=> 2x +2x+20=200$

$<=> 4x =180$

$<=> x= 45$ (Thỏa mãn)

Vậy vận tốc xe thứ nhất là $45(km//h)$ , vận tốc xe thứ hai là $55(km//h)$ .

Dạng 2: Toán làm chung công việc

Phương pháp: Toàn bộ công việc = năng suất . thời gian

- Ta coi toàn bộ công việc là $1$ đơn vị. Nếu một người làm xong công việc trong $x$ (ngày) thì một ngày đội làm được $1/x$ (công việc)

Ví dụ: Hai người cùng làm một công việc trong $24$ giờ thì xong. Năng suất của người thứ hai bằng $2/3$ năng suất của người thứ nhất. Hỏi người thứ nhất làm một mình cả công việc thì phải mất thời gian bao lâu?

Giải:

Gọi thời gian để hoàn thành công việc khi làm một mình của người thứ nhất là $x$ giờ ( $x > 24$ )

Mỗi giờ người thứ nhất làm được $1/x$ (công việc)

Vì năng suất người thứ hai bằng $2/3$ năng suất người thứ nhất nên mỗi giờ người thứ hai làm được $2/3 . 1/x = 2/(3x)$ (công việc)

Hai người hoàn thành công việc trong $24$ giờ nên mỗi giờ, hai người làm được $1/24$ (công việc)

Ta có phương trình:

$1/x +2/(3x)=1/24$

$<=> 5/(3x)=1/24$

$=> 3x =120$

$<=> x=40$ (thỏa mãn)

Vậy thời gian để người thứ nhất làm một mình để hoàn thành công việc là $40$ giờ.

Dạng 3: Toán phần trăm

Phương pháp:

- Nếu gọi tổng số sản phẩm là $x$ thì số sản phẩm khi vượt mức $a%$ là $(100+a)%.x$ (sản phẩm)

- Nếu gọi tổng số sản phẩm là $x$ thì số sản phẩm khi giảm $a%$ là $(100-a)%.x$ (sản phẩm)

Ví dụ:

Theo kế hoạch hai tổ sản xuất $600$ sản phẩm trong một thời gian nhất định. Do áp dụng kĩ thuật mới nên tổ I đã vượt mức $18%$ và tổ II đã vượt mức $21%$ . Vì vậy trong thời gian quy định họ đã hoàn thành vượt mức $120$ sản phẩm. Hỏi số sản phẩm được giao của mỗi tổ theo kế hoạch?

Giải:

Gọi số sản phẩm tổ I làm theo kế hoạch là $x$ (sản phẩm, $x in NN^**$ )

Theo kế hoạch hai tổ sản xuất được $600$ sản phẩm nên số sản phẩm tổ II làm theo kế hoạch là $600-x$ (sản phẩm)

Tổ I vượt mức $18%$ so với kế hoạch nên theo thực tế, tổ I làm được: $(100% + 18%).x = 1,18x$ (sản phẩm)

Tổ II vượt mức $21%$ so với kế hoạch nên theo thực tế, tổ II làm được $(100%+21%).(600-x) = 1,21. (600 - x)$ (sản phẩm)

Thực tế họ đã hoàn thành vượt mức $120$ sản phẩm nên ta có phương trình:

$1,18x + 1,21.(600-x) = 120 + 600$

$<=> 1,18x + 726 - 1,21x = 720$

$<=>0,03x=6$

$<=> x = 200$ (thỏa mãn)

Vậy theo kế hoạch, tổ I cần sản xuất $200$ (sản phẩm), tổ II cần sản xuất: $600-200=400$ (sản phẩm)

Dạng 4: Toán có nội dung hình học

Phương pháp: Một số công thức cơ bản cần nhớ

Với Tam giác:

Diện tích = (Đường cao . Cạnh đáy) : 2

Chu vi = Tổng độ dài ba cạnh

Với tam giác vuông:

Diện tích = Cạnh góc vuông . Cạnh góc vuông : 2

Với hình chữ nhật:

Diện tích = Chiều dài . Chiều rộng

Chu vi = 2 . (chiều dài + chiều rộng)

Với hình vuông cạnh a:

Diện tích = $a^2$

Chu vi = $4 .a$

Ví dụ: Một hình chữ nhật có chu vi bằng $400cm$ . Nếu tăng chiều dài thêm $6cm$ và giảm chiều rộng $6cm$ thì diện tích giảm $276cm^2$ . Tính chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật.

Gọi chiều dài của hình chữ nhật là $x (cm, x > 0)$

Nửa chu vi của hình chữ nhật bằng $400 : 2 = 200(cm)$

Chiều rộng của hình chữ nhật là $200 - x (cm)$

Diện tích ban đầu của hình chữ nhật là $x(200 - x) (cm^2)$

Tăng chiều dài thêm $6cm$ được chiều dài có độ dài bằng $x + 6 (cm)$

Giảm chiều rộng đi $6cm$ được chiều rộng có độ dài bằng $200 - x - 6 = 194 -x (cm)$

Nếu tăng chiều dài thêm $6cm$ và giảm chiều rộng $6cm$ thì diện tích giảm $276cm^2$ nên ta có phương trình:

$x(200-x)-(x+6)(194-x)=276$

$<=> 200x-x^2-(194x-x^2+1164-6x)=276$

$<=> 12x=1440$

$<=> x=120$ (thỏa mãn)

Suy ra chiều rộng của hình chữ nhật là $200 - 120 = 80 (cm)$

Vậy chiều dài của hình chữ nhật bằng $120cm$ và chiều rộng bằng $80cm$

Dạng 5: Các dạng toán khác

Xem thêm

Danh sách bài tập

Bạn đã hoàn thành 0%

Bài tập 1 Mức độ cơ bản

Chưa làm

Bài tập 2 Mức độ mở rộng

Chưa làm