Bài 2: Phương trình bậc hai một ẩn và công thức nghiệm

1. Phương trình bậc hai

Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng `ax^2+bx+c=0` (trong đó `x` là ẩn số; `a, b, c` là những số cho trước và `a ne 0`)

Ví dụ:

• Phương trình `3x^2-5x-2=0` là một phương trình bậc hai một ẩn với các hệ số `a=3; b=-5; c=-2`;
• Phương trình `-4x^2+15=0` là một phương trình bậc hai một ẩn với các hệ số `a=-4; b=0; c=15`.
  

2. Công thức nghiệm

Phương trình `ax^2+bx+c=0 (a ne 0)` và biệt thức `triangle = b^2 - 4ac`

• Nếu `triangle>0` thì phương trình có hai nghiệm phân biệt là `x_1 = (-b + sqrt triangle)/(2a); x_2 = (-b - sqrttriangle)/(2a)`
• Nếu `triangle=0` thì phương trình có nghiệm kép là `x_1 = x_2 = (-b)/(2a)`
• Nếu `triangle<0` thì phương trình vô nghiệm.

Ví dụ: Giải phương trình

          a) `2x^2 - 5x - 3=0`

          b) `4x^2-12x+9=0`

          c) `2x^2-3x+6=0`

Giải

a) Xét phương trình `2x^2 - 5x - 3=0` (`a=2; b =-5; c=-3`) có:

`triangle= b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4.2.(-3) = 49 > 0`

`=>` Phương trình đã cho có `2` nghiệm phân biệt là:

          `x_1 = (-b + sqrt triangle)/(2a)=(-(-5)+ sqrt 49)/(2.2)=(5+7)/4=3;`

          `x_2 = (-b - sqrttriangle)/(2a)=(-(-5)- sqrt 49)/(2.2)=(5-7)/4=-1/2`

Vậy phương trình đã cho có `2` nghiệm phân biệt `x_1 = 3`; `x_2 = -1/2`

b) Xét phương trình `4x^2 - 12x + 9=0` (`a=4; b =-12; c=9`) có:

`triangle= b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4.4.9 = 0`

`=>` Phương trình đã cho có nghiệm kép là `x_1 = x_2 = (-b)/(2a)=(-(-12))/24=3/2`

Vậy phương trình đã cho có nghiệm kép `x_1 = x_2 = 3/2`

c) Xét phương trình `2x^2 - 3x + 6=0` (`a=2; b =-3; c=6`) có:

`triangle= b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4.2.6 = -39 < 0`

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

3. Công thức nghiệm thu gọn

Phương trình `ax^2+bx+c =0 (a ne 0; b = 2b')` và biệt thức `triangle' = (b')^2 - ac`

• Nếu `triangle'>0` thì phương trình có hai nghiệm phân biệt là `x_1 = (-b' + sqrt (triangle'))/a; x_2 = (-b' - sqrt(triangle'))/a`
• Nếu `triangle'=0` thì phương trình có nghiệm kép là `x_1 = x_2 = (-b')/a`
• Nếu `triangle'<0` thì phương trình vô nghiệm.

Ví dụ: Giải phương trình `x^2-6x-4=0`

Giải

Xét phương trình `x^2-6x-4=0` (`a=1; b'=-3;c=-4`)

Ta có: `triangle'=(b')^2-ac=(-3)^2-1.(-4)=13>0`

`=>` Phương trình đã cho có `2` nghiệm phân biệt là:

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là

          `x_1=(-b' + sqrt(triangle '))/a=(-(-3)+ sqrt13)/1= 3+ sqrt13`;

          `x_2=(-b' - sqrt(triangle '))/a=(-(-3)- sqrt13)/1= 3- sqrt13`

Vậy phương trình đã cho có `2` nghiệm phân biệt `x_1= 3+ sqrt13; x_2 = 3 - sqrt 13`