Bài 6: Tương giao giữa đường thẳng và Parabol

Cho đường thẳng `(d): y=mx+n` và Parabol `(P): y=ax^2 (a ne0)`

Khi đó số giao điểm của `(d)` và `(P)` bằng đúng số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm:

 `ax^2=mx+n` `<=> ax^2-mx-n=0` `(1)`

• Nếu `(d)` và `(P)` cắt nhau tại hai điểm phân biệt thì phương trình `(1)` có hai nghiệm phân biệt
• Nếu `(d)` và `(P)` tiếp xúc nhau thì phương trình `(1)` có nghiệm kép
• Nếu `(d)` và `(P)` không cắt nhau thì phương trình `(1)` có vô nghiệm

Ví dụ: Trong mặt phẳng tọa độ `Oxy` cho Parabol `(P): y = x^2` và đường thẳng `(d): y = 2mx-m^2+m-1`. Tìm `m` để:

   a) `(d)` cắt `(P)` tại hai điểm phân biệt

   b) `(d)` và `(P)` tiếp xúc nhau

   c) `(d)` và `(P)` không cắt nhau

Giải

Xét phương trình hoành độ giao điểm của Parabol `(P)` và đường thẳng `(d)` ta có:

`x^2=2mx-m^2+m-1`

`<=> x^2 - 2mx+m^2-m+1=0` `(1)`

a) Để `(d)` cắt `(P)` tại hai điểm phân biệt thì phương trình `(1)` có hai nghiệm phân biệt: `triangle >0`

`<=> (-2m)^2-4(m^2-m+1)>0`

`<=> 4m^2-4m^2+4m-4>0`

`<=>4m-4>0`

`<=> m>1`

`=>` `m>1` thì phương trình `(1)` có `2` nghiệm phân biệt

Vậy `m>1` thì `(d)` cắt `(P)` tại hai điểm phân biệt.

b) Để `(d)` và `(P)` tiếp xúc nhau thì phương trình `(1)` có nghiệm kép: `triangle=0`

`<=>(-2m)^2-4(m^2-m+1)=0`

`<=>4m^2-4m^2+4m-4=0`

`<=> 4m-4=0`

`<=> m=1`

`=> m=1` thì phương trình `(1)` có `2` nghiệm phân biệt

Vậy `m=1` thì `(d)` cắt `(P)` tại hai điểm phân biệt.

c) Để `(d)` và `(P)` không cắt nhau thì phương trình `(1)` vô nghiệm: `triangle < 0`

`<=>(-2m)^2-4(m^2-m+1)<0`

`<=>4m^2-4m^2+4m-4<0`

`<=> 4m-4<0`

`<=> m<1`

`=> m<1` thì phương trình `(1)` có `2` nghiệm phân biệt

Vậy `m<1` thì `(d)` cắt `(P)` tại hai điểm phân biệt.