Cho đường thẳng `(d): y=mx+n` và Parabol `(P): y=ax^2 (a ne0)`
Khi đó số giao điểm của `(d)` và `(P)` bằng đúng số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm:
`ax^2=mx+n` `<=> ax^2-mx-n=0` `(1)`
- Nếu `(d)` và `(P)` cắt nhau tại hai điểm phân biệt thì phương trình `(1)` có hai nghiệm phân biệt
- Nếu `(d)` và `(P)` tiếp xúc nhau thì phương trình `(1)` có nghiệm kép
- Nếu `(d)` và `(P)` không cắt nhau thì phương trình `(1)` có vô nghiệm
Ví dụ: Trong mặt phẳng tọa độ `Oxy` cho Parabol `(P): y = x^2` và đường thẳng `(d): y = 2mx-m^2+m-1`. Tìm `m` để:
a) `(d)` cắt `(P)` tại hai điểm phân biệt
b) `(d)` và `(P)` tiếp xúc nhau
c) `(d)` và `(P)` không cắt nhau
Giải
Xét phương trình hoành độ giao điểm của Parabol `(P)` và đường thẳng `(d)` ta có:
`x^2=2mx-m^2+m-1`
`<=> x^2 - 2mx+m^2-m+1=0` `(1)`
a) Để `(d)` cắt `(P)` tại hai điểm phân biệt thì phương trình `(1)` có hai nghiệm phân biệt: `triangle >0`
`<=> (-2m)^2-4(m^2-m+1)>0`
`<=> 4m^2-4m^2+4m-4>0`
`<=>4m-4>0`
`<=> m>1`
`=>` `m>1` thì phương trình `(1)` có `2` nghiệm phân biệt
Vậy `m>1` thì `(d)` cắt `(P)` tại hai điểm phân biệt.
b) Để `(d)` và `(P)` tiếp xúc nhau thì phương trình `(1)` có nghiệm kép: `triangle=0`
`<=>(-2m)^2-4(m^2-m+1)=0`
`<=>4m^2-4m^2+4m-4=0`
`<=> 4m-4=0`
`<=> m=1`
`=> m=1` thì phương trình `(1)` có `2` nghiệm phân biệt
Vậy `m=1` thì `(d)` cắt `(P)` tại hai điểm phân biệt.
c) Để `(d)` và `(P)` không cắt nhau thì phương trình `(1)` vô nghiệm: `triangle < 0`
`<=>(-2m)^2-4(m^2-m+1)<0`
`<=>4m^2-4m^2+4m-4<0`
`<=> 4m-4<0`
`<=> m<1`
`=> m<1` thì phương trình `(1)` có `2` nghiệm phân biệt
Vậy `m<1` thì `(d)` cắt `(P)` tại hai điểm phân biệt.
Hotline: 1900 633 551
