Bài 2: Đa thức một biến

1, Đơn thức một biến

`a)` Đơn thức một biến (gọi tắt là đơn thức) là biểu thức đại số có dạng tích của một số thực với một lũy thừa của biến, trong đó số thực gọi là hệ số, số mũ của lũy thừa của biến gọi là bậc của đơn thức

Ví dd: Biểu thức `5x^4` là một đơn thức, trong đó `5` là hệ số, số mũ `4` của `x` là bậc của đơn thức đó.

Một số khác `0` là một đơn thức bậc `0`

+ Chú ý: Số `0` cũng được gọi là một đơn thức. Đơn thức này không có bậc

`b)` Với các đơn thức một biến, ta có thể:

+ Cộng (hay trừ) hai đơn thức cùng bậc bằng cách cộng (hay trừ) các hệ số với nhau và giữ nguyên lũy thừa của biến. Tổng nhận được là một đơn thức

Ví dụ:

`2x^4 + 3x^4 = 5x^4`

`5x^4 -2x^4 = 3x^4`

+ Nhân hai đơn thức tùy ý bằng cách nhân hai hệ số với nhau và nhân hai lũy thừa của biến với nhau. Tích nhận được cũng là một đơn thức.

Ví dụ:

`0,5x^2 .8x^2 = 0,5.8.x^2.x^2 = 4x^4`

2) Đa thức một biến

`a)` Đa thức một biến (gọi tắt là đa thức) là tổng của những đơn thức của cùng một biến, mỗi đơn thức trong tổng gọi là một hạng tử của đa thức đó.

+ Số `0` cũng được coi là một đa thức, gọi là đa thức không.

Chú ý: Ta thường kí hiệu đa thức bằng một chữ cái in hoa, đôi khi còn viết thêm kí hiệu biến trong ngoặc đơn

Ví dụ: `A = A(x) = 2x^4-3x^2+7`

`b)`Đa thức một biến thu gọn là các đa thức không chứa hai đơn thức nào cùng bậc trong một đa thức

Ví dụ: `B = 2x^3-2x+1`

`c)` Sắp xếp đa thức môt biến

Để thuận lợi cho việc tính toán các đa thức một biến, người ta thường viết chúng dưới dạng thu gọn và sắp xếp các hạng tử của nó theo lũy thừa giảm dần của biến

Ví dụ: Đa thức `f(x)=2x^5+5x^4-3x^3-2x^2+2x-1` là một đa thức đã sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của biến

Chú ý: Người ta cũng có thể sắp xếp đa thức theo lũy thừa tăng dần của biến.

Ví dụ: Đa thức `g(x)=1-2x+3x^2-4x^3-5x^4` là một đa thức đã sắp xếp theo lũy thừa tăng dần dần của biến

`d)` Bậc và các hệ số của một đa thức

Trong một đa thức thu gọn và khác đa thức không

+ Bậc của hạng tử có bậc cao nhất gọi là bậc của đa thức đó

+ Hệ số của hạng tử có bậc cao nhất gọi là hệ số cao nhất của đa thức đó

+ Hệ số của hạng tử bậc `0` gọi là hệ số tự do của đa thức đó.

Chú ý:

+ Đa thức không là đa thức không có bậc

+ Trong một đa thức thu gọn, hệ số cao nhất phải khác `0` (các hệ số khác thể bằng `0`)
+ Muốn tìm bậc của một đa thức chưa thu gọn, ta phải thu gọn đa thức đó.

`e)` Nghiệm của đa thức một biến

Nếu tại `x = a`, đa thức `F(x)` có giá trị bằng `0`, tức là `F(a)=0`, thì ta gọi `a` (hoặc `x = a`) là một nghiệm của đa thức `F(x)`

Ví dụ:

`x=2` là nghiệm của đa thức `f(x)=3x-6` vì `f(2)=3.2-6=0`