Bài 6: Sự đồng quy của ba đường trung trực, ba đường cao trong một tam giác

1. Sự đồng quy của ba đường trung trực trong tam giác

a) Định nghĩa: Trong một tam giác, đường trung trực của mỗi cạnh gọi là đường trung trực của tam giác đó

Trên hình vẽ: `d` là đường trung trực ứng với cạnh `BC` của `△ABC`

Nhận xét:

- Mỗi tam giác có ba đường trung trực

- `d` đi qua `A` khi `△ABC` cân tại `A`

b) Tính chất ba đường trung trực của tam giác

Định lí: Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác đó.

Trên hình vẽ:

`△ABC` có ba đường trung trực `d;m;n` cùng đi qua điểm `O` và điểm `O` cách đều ba đỉnh của `△ABC` hay `OA = OB = OC`

c) Chú ý

Vì giao điểm của ba đường trung trực luôn cách đều `3` đỉnh của tam giác nên giao điểm đó được gọi là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.

                              Hình 1                                       Hình 2                                              Hình 3

Hình `1`: `△ABC` nhọn thì `O` nằm trong tam giác

Hình `2`: `△ABC` tù:  `hat A > 90^o` thì `O` nằm ngoài tam giác

Hình `3`: `△ABC` vuông  `hat A=90^o` thì `O` là trung điểm của cạnh huyền `BC`

2. Sự đồng quy của ba đường cao trong tam giác

a) Định nghĩa: Trong một tam giác, đoạn vuông góc kẻ từ một đỉnh đến đường thẳng chứa cạnh đối diện gọi là đường cao của tam giác đó.

Cụ thể:  `△ABC` có `AI⊥BC(I in BC)` thì `AI` là một đường cao (xuất phát từ đỉnh `A`) của `△ABC`

Đôi khi ta cũng nói đường thẳng `AI` là một đường cao của `△ABC`

Nhận xét: Mỗi tam giác có ba đường cao.

b) Tính chất ba đường cao của tam giác

Định lí: Ba đường cao của một tam giác cùng đi qua một điểm.

Điểm đó gọi là trực tâm của tam giác.

Cụ thể: `△ABC` có ba đường cao `AI,BK,CL` cùng đi qua (đồng quy) tại điểm `H`.

            Điểm `H` là trực tâm của `△ABC`

c) Chú ý

Nếu điểm `H` là trực tâm của `△ABC` thì:

Hình `1`: `△ABC` nhọn thì `H` nằm trong tam giác

Hình `2`: `△ABC` vuông tại `A` thì `H-=A`

Hình `3`: `△ABC` tù `hat A > 90^o` thì `H` nằm ngoài tam giác

3. Về các đường cao, trung tuyến, trung trực, phân giác của tam giác cân

Định lý: Trong một tam giác cân, đường trung trực ứng với cạnh đáy đồng thời là đường phân giác, đường trung tuyến và đường cao cùng xuất phát từ đỉnh đối diện với cạnh đó.

Cụ thể: `△ABC` cân tại `A` có `AI` là đường trung trực ứng với cạnh đáy `BC` thì `AI` đồng thời là đường phân giác, đường trung tuyến, đường cao cùng xuất phát từ đỉnh `A`.