Dạng 3: Các bài toán đếm hình lập phương

1. Công thức cần ghi nhớ

Xếp các hình lập phương nhỏ thành một hình hộp chữ nhật lớn. Sơn toàn bộ 6 mặt của hình hộp chữ nhật. Khi đó:

a) Số hình lập phương nhỏ được sơn 3 mặt là: 8 hình nằm ở 8 đỉnh.

b) Số hình lập phương nhỏ được sơn 2 mặt là: 

            (a – 2) × 4 + (b – 2) × 4 + (c – 2) × 4

c) Số hình lập phương nhỏ được sơn 1 mặt là:

            (a – 2) × (b – 2) × 2  +  (b – 2) × (c – 2) × 2 + (c – 2) × (a – 2) x 2

d) Số hình lập phương nhỏ không được sơn mặt nào là: 

            (a × b × c) - số HLP nhỏ sơn 3 mặt - số HLP nhỏ sơn 2 mặt - số HLP nhỏ sơn 1 mặt 

(a là số hình lập phương nhỏ nằm dọc theo một chiều dài.

 b là số hình lập phương nhỏ nằm dọc theo một chiều rộng.

 c là số hình lập phương nhỏ nằm dọc theo một chiều cao.)

2. Ví dụ

Ví dụ 1. Xếp 8 hộp hình lập phương 1dm³ thành một hình lập phương lớn rồi sơn xanh tất cả các mặt của hình lập phương lớn. Như vậy, mỗi hình lập phương nhỏ có mấy mặt không được sơn xanh?

Bài giải

Ta có `8=2xx2xx2` nên mỗi cạnh hình lập phương lớn chứa 2 hình lập phương nhỏ.

         `1=1xx1xx1` nên mỗi cạnh hình lập phương nhỏ là 1 cm

Mỗi cạnh của hình lập phương lớn đều bằng 2 dm; do đó diện tích toàn phần là:

                  2 × 2 × 6 = 24 (dm²)

Tám hình lập phương nhỏ sắp xếp như nhau nên đều sơn diện tích bằng nhau.

Diện tích mỗi hình lập phương nhỏ được sơn là:

                  24 : 8 = 3 (dm²)

Mỗi mặt của hình lập phương nhỏ là 1dm², nên mỗi hình lập phương nhỏ có 3 mặt được sơn và 3 mặt không được sơn.

Ví dụ 2. Người ta xếp các hình lập phương nhỏ cạnh 2cm thành một hình hộp chữ nhật có chiều dài 12 cm, chiều rộng 6 cm, chiều cao 10 cm rồi sơn tất cả các mặt của hình hộp chữ nhật đó. Hỏi có bao nhiêu hình lập phương nhỏ không được sơn mặt nào?

Bài giải

Số hình lập phương nhỏ nằm dọc theo một chiều dài là:

            12 : 2 = 6 (hình)

Số hình lập phương nhỏ nằm dọc theo một chiều rộng là:

             6 : 2 = 3 (hình)

Số hình lập phương nhỏ nằm dọc theo một chiều cao là:

           10 : 2 = 5 (hình)

Số hình lập phương nhỏ được sơn 3 mặt là: 8 hình nằm ở 8 đỉnh của hình lập phương lớn .

Số hình lập phương nhỏ được sơn 2 mặt là:

           (6 - 2) × 4 + (3 - 2) × 4 + (5 - 2) × 4 = 32 (hình)

Số hình lập phương nhỏ được sơn 1 mặt là:

           (6 - 2) × (3 - 2) × 2 + (3 - 2) × (5 - 2) × 2 + (5 - 2) × (6 - 2) × 2 = 38 (hình)

Số hình lập phương nhỏ không được sơn mặt nào là:

           (6 × 3 × 5) – 8 – 32 – 38 = 12 (hình)

                                          Đáp số: 12 hình lập phương nhỏ