Bài luyện tập số 2

Câu 1

Chọn đáp án đúng nhất

Cho hình vẽ sau:

Khẳng định nào sau đây là đúng?

$HM$ là hình chiếu của $KM$ trên $d$

$MI$ và $NI$ có hình chiếu trên $d$ là $KH$

$NI$ có hình chiếu trên đường thẳng $HM$ là $NH$

$N$ là hình chiếu của $M$ trên đường thẳng $NI$

Xem gợi ý

Gợi ý

Dựa vào định nghĩa về hình chiếu của điểm và của đoạn thẳng

Đáp án đúng là:

$NI$ có hình chiếu trên đường thẳng $HM$ là $NH$

Kiểm tra

Xem hướng dẫn giải

Câu tiếp theo

Hướng dẫn giải chi tiết

Từ hình vẽ ta thấy $H$ là hình chiếu của $I$ trên đường thẳng $HM$

Lại có điểm $N$ nằm trên đường thẳng $HM$

Do đó $NI$ có hình chiếu trên đường thẳng $HM$ là $NH$

Câu 2

Chọn đáp án đúng nhất

Cho các phát biểu sau:

1. Từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng ta kẻ được duy nhất một đường vuông góc xuống đường thẳng đó

2. Từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng ta kẻ được vô số các đường xiên xuống đường thẳng đó.

3. Nếu hai điểm có cùng một hình chiếu trên một đường thẳng thì hai điểm ấy trùng nhau.

4. Trong mọi đoạn thẳng kẻ từ điểm A đến đường thẳng d, đoạn thẳng dài nhất là khoảng cách từ A đến d.

5. Trong một tam giác chiều cao ứng với một đỉnh là khoảng cách từ đỉnh đó đến đường thẳng chứa cạnh đối diện.

Có bao nhiêu phát biểu đúng?

$2$ phát biểu

$3$ phát biểu

$1$ phát biểu

$4$ phát biểu

Xem gợi ý

Gợi ý

Dựa vào định nghĩa đường vuông góc và đường xiên.

Đáp án đúng là:

$3$ phát biểu

Kiểm tra

Xem hướng dẫn giải

Câu tiếp theo

Hướng dẫn giải chi tiết

Phát biểu 1 đúng. Qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng ta chỉ kẻ được duy nhất một đường vuông góc xuống đường thẳng đó.

Phát biểu 2 đúng. Từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng ta có thể kẻ được vô số các đường xiên xuống đường thẳng đó.

Phát biểu 3 sai. Vì đó có thể là hai điểm phân biệt.

Chẳng hạn trên hình vẽ, điểm $A$ và điểm $B$ phân biệt có hình chiếu cùng là điểm $H$ trên đường thẳng $d$ .

Phát biểu 4 sai. Trong mọi đoạn thẳng kẻ từ điểm $A$ đến đường thẳng $d$ , đoạn thẳng ngắn nhất là khoảng cách từ $A$ đến $d$ . Đó là đường vuông góc kẻ từ $A$ xuống đường thẳng $d$ .

Phát biểu 5 đúng. Trong một tam giác chiều cao ứng với một đỉnh là đường vuông góc kẻ từ đỉnh xuống cạnh đối diện. Do đó nó là khoảng cách từ đỉnh đến đường thẳng chứa cạnh đối diện.

Vậy có $3$ phát biểu đúng là 1; 2; 5

Câu 3

Chọn đáp án đúng nhất

Cho hình vẽ sau:

Cho biết khẳng định nào dưới đây là sai?

$AN>AP$

$AH<AQ$

$AQ>AM$

$AP>AN$

Xem gợi ý

Gợi ý

Dựa vào quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên để so sánh các đoạn thẳng trên hình vẽ.

Đáp án đúng là:

$AP>AN$

Kiểm tra

Xem hướng dẫn giải

Câu tiếp theo

Hướng dẫn giải chi tiết

Ta có $AH$ và $AM$ lần lượt là đường vuông góc và đường xiên kẻ từ điểm $A$ đến đường thẳng $HM$

Do đó $AH<AM$ (đường vuông góc nhỏ hơn đường xiên)

Lập luận tương tự, ta có: $AM<AP; AP<AQ; AQ<AN$

Do đó: $AH<AM<AP<AQ<AN$

Vậy khẳng định sai là $AP>AN$

Câu 4

Chọn đáp án đúng nhất

Cho tam giác $ABC$ nhọn. Kẻ $BD; CE$ lần lượt vuông góc với $AC; AB$ tại $D$ và $E$ . So sánh $BD+CE$ và $AB+AC$ .

$BD+CE<AB+AC$

$BD+CE>AB+AC$

$BD+CE le AB+AC$

$BD+CE ge AB+AC$

Xem gợi ý

Gợi ý

Dựa vào quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên để so sánh $BD$ với $BA$ ; $CE$ với $CA$ .

Đáp án đúng là:

$BD+CE<AB+AC$

Kiểm tra

Xem hướng dẫn giải

Câu tiếp theo

Hướng dẫn giải chi tiết

Vì $BD bot AC$ tại $D$ nên $BD;BA$ lần lượt là đường vuông góc và đường xiên kẻ từ $B$ xuống $AC$

$=>BD<BA$ (đường vuông góc nhỏ hơn đường xiên) (1)

Vì $CE bot AB$ nên $CE;CA$ lần lượt là đường vuông góc và đường xiên kẻ từ $C$ xuống $AB$

$=>CE<CA$ (đường vuông góc nhỏ hơn đường xiên) (2)

Từ (1) và (2) suy ra $BD+CE<AB+AC$

Vậy đáp án đúng là $BD+CE<AB+AC$

Câu 5

Chọn đáp án đúng nhất

Cho tam giác $ABC$ , điểm $M$ nằm giữa $B$ và $C$ . Gọi $H$ và $K$ là chân các đường vuông góc kẻ từ $M$ đến các đường thẳng $AB$ và $AC$ . So sánh $BC$ và tổng $MH+MK$ .

$MH+MK=BC$

$MH+MK ge BC$

$MH+MK < BC$

$MH+MK > BC$

Xem gợi ý

Gợi ý

Dựa vào quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên để so sánh các đoạn thẳng $MH; MK$ với $MB; MC$

Đáp án đúng là:

$MH+MK < BC$

Kiểm tra

Xem hướng dẫn giải

Câu tiếp theo

Hướng dẫn giải chi tiết

Vì $MH bot AB$ tại $H$

$=>MH$ là đường vuông góc từ $M$ xuống $AB$ ; $MB$ là đường xiên từ $M$ xuống $AB$

$=>MH<MB$ (Đường vuông góc nhỏ hơn đường xiên) (1)

Vì $MK bot AC$ tại $K$

$=>MK$ là đường vuông góc từ $M$ xuống $AC$ ; $MC$ là đường xiên từ $M$ xuống $AC$

$=>MK<MC$ (Đường vuông góc nhỏ hơn đường xiên) (2)

Từ (1) và (2) suy ra $MH+MK<MB+MC$ mà $MB+MC=BC$

$=>MH+MK<BC$

Câu 6

Chọn đáp án đúng nhất

Cho $triangleABC$ vuông tại $A$ , $M$ là trung điểm của $AC$ . Gọi $D, E$ lần lượt là hình chiếu của $A$ và $C$ xuống đường thẳng $BM$ .

Khẳng định nào sau đây là đúng?

$BD+BE>2AB$

$BD+BE<2AB$

$BD+BE=2AB$

$BD+BE<AB$

Xem gợi ý

Gợi ý

Dựa vào quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên để so sánh $BA$ với các đoạn thẳng khác trên hình vẽ.

Đáp án đúng là:

$BD+BE>2AB$

Kiểm tra

Xem hướng dẫn giải

Câu tiếp theo

Hướng dẫn giải chi tiết

$triangleABM$ vuông tại $A$ (gt) nên $BA<BM$ (đường vuông góc nhỏ hơn đường xiên)

Mà $BM=BD+DM$ $=>BA<BD+DM$ (1)

Mặt khác, $BM=BE-ME=>BA<BE-ME$ (2)

Cộng hai vế của (1) và (2) ta được: $2AB<BD+BE+MD-ME$ (3)

Vì $M$ là trung điểm của $AC$ (gt) $=>AM=MC$

Xét tam giác vuông $ADM$ và tam giác vuông $CEM$ có:

$AM=MC$ (cmt)

$\hat(ADM)=\hat(EMC)$ (hai góc đối đỉnh)

$=>triangleADM=triangleCEM$ (cạnh huyền - góc nhọn)

$=>MD=ME$ (hai cạnh tương ứng) (4)

Từ (3) và (4) suy ra $BD+BE>2AB$

Vậy $BD+BE>2AB$

Câu 7

Chọn đáp án đúng nhất

Cho tam giác $ABC$ nhọn. Kẻ $AH$ vuông góc với $BC$ tại $H$ . Cho biết khẳng định nào dưới đây là đúng?

$AH ge (AB+AC)/2$

$AH<(AB+AC)/2$

$AH=(AB+AC)/2$

$AH>(AB+AC)/2$

Xem gợi ý

Gợi ý

Dựa vào quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên để so sánh $AH$ với $AB; AC$

Đáp án đúng là:

$AH<(AB+AC)/2$

Kiểm tra

Xem hướng dẫn giải

Câu tiếp theo

Hướng dẫn giải chi tiết

Vì $AH bot BC$ tại $H$ nên $AH<AB; AH<AC$ (đường vuông góc nhỏ hơn đường xiên)

Do đó $2.AH<AB+AC$ $=>AH<(AB+AC)/2$

Câu 8

Chọn đáp án đúng nhất

Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ . Trên hai cạnh $AB$ và $AC$ lấy điểm $M$ và $N$ sao cho $AM=AN$ . Vẽ $MH bot BC$ tại $H$ ; $NK bot BC$ tại $K$ .

Cho biết khẳng định nào dưới đây là đúng?

$BN>(BC+HK)/2$

$BN=(BC+HK)/2$

$BN<(BC+HK)/2$

Đáp án khác

Xem gợi ý

Gợi ý

Dựa vào quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên để so sánh các đoạn thẳng $BN;CM$ với $BK;CH$

Đáp án đúng là:

$BN>(BC+HK)/2$

Kiểm tra

Xem hướng dẫn giải

Câu tiếp theo

Hướng dẫn giải chi tiết

Ta có: $AB=AC$ ( $triangleABC$ cân tại $A$ ); $AM=AN$ (gt)

$=>AB-AM=AC-AN$

$=>MB=NC$

Xét $triangleMHB$ và $triangleNKC$ có:

$\hat(MKB)=\hat(NKC)=90^o$ ( $MH bot BC$ tại $H$ ; $NK bot BC$ tại $K$ )

$MB=NC$ (cmt)

$\hat(MBH)=\hat(NCK)$ ( $triangleABC$ cân tại $A$ )

Ta có: $BN>BK; CM>CH$ (quan hệ giữa đường xiên và đường vuông góc)

$=>BN+CM>BK+CH$

$=>BN+CM>(BH+HK)+CH$

$=>2BN>(BH+CH)+HK$ (vì $BN=CM$ )

$=>2BN>BC+HK$

$=>BN>(BC+HK)/2$

Vậy $BN>(BC+HK)/2$

Câu 9

Chọn đáp án đúng nhất

Cho tam giác $ABC$ có $\hat(A)=90^o$ , vẽ $AH$ vuông góc với $BC$ tại $H$ . So sánh $AB+AC$ và $AH+BC$ .

$AB+AC>AH+BC$

$AB+AC<AH+BC$

$AB+AC=AH+BC$

Đáp án khác

Xem gợi ý

Gợi ý

Trên cạnh $BC$ lấy điểm $D$ sao cho $BD=BA$

Dựa vào các tam giác vuông và tam giác cân trên hình vẽ, kết hợp với quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên để so sánh $AB+AC$ và $AH+BC$

Đáp án đúng là:

$AB+AC<AH+BC$

Kiểm tra

Xem hướng dẫn giải

Câu tiếp theo

Hướng dẫn giải chi tiết

Trên cạnh $BC$ lấy điểm $D$ sao cho $BD=BA$

Ta có $triangleBAD$ cân tại $B$ $=>\hat(BDA)=\hat(BAD)$ (tính chất)

Mà $\hat(A_1)+\hat(BDA)=90^o$ ( $triangleAHD$ vuông tại $H$ )

$\hat(A_2)+\hat(BDA)=90^o$ ( $\hat(BAC)=90^o$ )

$=>\hat(A_1)=\hat(A_2)$

Kẻ $DE bot AC$ tại $E$

Xét $triangleAHD$ và $triangleAED$ có:

$\hat(AHD)=\hat(AED)=90^o$ $(AH bot BC; DE bot AC)$

$AD$ : cạnh chung

$\hat(A_1)=\hat(A_2)$ (cmt)

$=>triangleAHD=triangleAED$ (cạnh huyền - góc nhọn)

$=>AH=AE$ (2 cạnh tương ứng)

Ta có: $EC<DC$ (đường vuông góc nhỏ hơn đường xiên)

$=>EC+BD<DC+BD$

$=>EC+AB<BC$

$=>AE+EC+AB<BC+AH$ ( $AH=AE$ )

$=>AC+AB<BC+AH$

Vậy đáp án đúng là $AB+AC<AH+BC$

Câu 10

Chọn đáp án đúng nhất

Cho hình vẽ sau:

Biết $triangleABC$ có $\hat(B)$ và $\hat(C)$ nhọn. Gọi $H$ và $K$ lần lượt là hình chiếu của $B$ và $C$ trên $Ax$ . Điều kiện để tổng $BH+CK$ lớn nhất là:

Tia $Ax$ đi qua trung điểm của $BC$

Tia $Ax$ vuông góc với $BC$

Tia $Ax$ là tia phân giác của $\hat(BAC)$

Đáp án khác

Xem gợi ý

Gợi ý

Dựa vào quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên để so sánh các đoạn thẳng $BH;CK$ với $BM;CM$ . Từ đó tìm điều kiện của tia $Ax$ để thỏa mãn tổng $BH+CK$ lớn nhất.

Đáp án đúng là:

Tia $Ax$ vuông góc với $BC$

Kiểm tra

Xem hướng dẫn giải

Hướng dẫn giải chi tiết

Ta có $BH<BM$ và $CK le CM$ (quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên)

Do đó: $BH+CK le BM+CM=BC$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $BM=BH; CM=CK$

Hay đồng thời $H-=M$ và $K-=M$ . Tức là $Ax bot BC$ tại $M$

Vì hai góc $B$ và $C$ nhọn nên khi đó $M$ nằm giữa $B$ và $C$ , thỏa mãn điều kiện

Vậy để tổng $BH+CK$ lớn nhất thì tia $Ax$ vuông góc với $BC$