Từ hình vẽ ta thấy `H` là hình chiếu của `I` trên đường thẳng `HM`

Lại có điểm `N` nằm trên đường thẳng `HM`

Do đó `NI` có hình chiếu trên đường thẳng `HM` là `NH`

Phát biểu 1 đúng. Qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng ta chỉ kẻ được duy nhất một đường vuông góc xuống đường thẳng đó.

Phát biểu 2 đúng. Từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng ta có thể kẻ được vô số các đường xiên xuống đường thẳng đó.

Phát biểu 3 sai. Vì đó có thể là hai điểm phân biệt.

Chẳng hạn trên hình vẽ, điểm `A` và điểm `B` phân biệt có hình chiếu cùng là điểm `H` trên đường thẳng `d`.

Phát biểu 4 sai. Trong mọi đoạn thẳng kẻ từ điểm `A` đến đường thẳng `d`, đoạn thẳng ngắn nhất là khoảng cách từ `A` đến `d`. Đó là đường vuông góc kẻ từ `A` xuống đường thẳng `d`.

Phát biểu 5 đúng. Trong một tam giác chiều cao ứng với một đỉnh là đường vuông góc kẻ từ đỉnh xuống cạnh đối diện. Do đó nó là khoảng cách từ đỉnh đến đường thẳng chứa cạnh đối diện.

Vậy có `3` phát biểu đúng là 1; 2; 5

Ta có `AH` và `AM` lần lượt là đường vuông góc và đường xiên kẻ từ điểm `A` đến đường thẳng `HM`

Do đó `AH<AM` (đường vuông góc nhỏ hơn đường xiên)

Lập luận tương tự, ta có: `AM<AP; AP<AQ; AQ<AN`

Do đó: `AH<AM<AP<AQ<AN`

Vậy khẳng định sai là `AP>AN`

Vì `BD bot AC` tại `D` nên `BD;BA` lần lượt là đường vuông góc và đường xiên kẻ từ `B` xuống `AC`

`=>BD<BA` (đường vuông góc nhỏ hơn đường xiên)        (1)

Vì `CE bot AB` nên `CE;CA` lần lượt là đường vuông góc và đường xiên kẻ từ `C` xuống `AB`

`=>CE<CA` (đường vuông góc nhỏ hơn đường xiên)         (2)

Từ (1) và (2) suy ra `BD+CE<AB+AC`

Vậy đáp án đúng là `BD+CE<AB+AC`

Vì `MH bot AB` tại `H`

`=>MH` là đường vuông góc từ `M` xuống `AB`; `MB` là đường xiên từ `M` xuống `AB`

`=>MH<MB` (Đường vuông góc nhỏ hơn đường xiên)       (1)

Vì `MK bot AC` tại `K`

`=>MK` là đường vuông góc từ `M` xuống `AC`; `MC` là đường xiên từ `M` xuống `AC`

`=>MK<MC` (Đường vuông góc nhỏ hơn đường xiên)       (2)

Từ (1) và (2) suy ra `MH+MK<MB+MC` mà `MB+MC=BC`

`=>MH+MK<BC`

`triangleABM` vuông tại `A` (gt) nên `BA<BM` (đường vuông góc nhỏ hơn đường xiên)

Mà `BM=BD+DM` `=>BA<BD+DM` (1)

Mặt khác, `BM=BE-ME=>BA<BE-ME` (2)

Cộng hai vế của (1) và (2) ta được: `2AB<BD+BE+MD-ME` (3)

Vì `M` là trung điểm của `AC` (gt) `=>AM=MC`

Xét tam giác vuông `ADM` và tam giác vuông `CEM` có:

`AM=MC` (cmt)

`\hat(ADM)=\hat(EMC)` (hai góc đối đỉnh)

`=>triangleADM=triangleCEM` (cạnh huyền - góc nhọn)

`=>MD=ME` (hai cạnh tương ứng) (4)

Từ (3) và (4) suy ra `BD+BE>2AB`

Vậy `BD+BE>2AB`

Vì `AH bot BC` tại `H` nên `AH<AB; AH<AC` (đường vuông góc nhỏ hơn đường xiên)

Do đó `2.AH<AB+AC` `=>AH<(AB+AC)/2`

Ta có: `AB=AC` (`triangleABC` cân tại `A`); `AM=AN` (gt)

`=>AB-AM=AC-AN`

`=>MB=NC`

Xét `triangleMHB` và `triangleNKC` có:

`\hat(MKB)=\hat(NKC)=90^o` (`MH bot BC` tại `H`; `NK bot BC` tại `K`)

`MB=NC` (cmt)

`\hat(MBH)=\hat(NCK)` (`triangleABC` cân tại `A`)

Ta có: `BN>BK; CM>CH` (quan hệ giữa đường xiên và đường vuông góc)

`=>BN+CM>BK+CH`

`=>BN+CM>(BH+HK)+CH`

`=>2BN>(BH+CH)+HK` (vì `BN=CM`)

`=>2BN>BC+HK`

`=>BN>(BC+HK)/2`

Vậy `BN>(BC+HK)/2`

Trên cạnh `BC` lấy điểm `D` sao cho `BD=BA`

Ta có `triangleBAD` cân tại `B` `=>\hat(BDA)=\hat(BAD)` (tính chất)

Mà `\hat(A_1)+\hat(BDA)=90^o` (`triangleAHD` vuông tại `H`)

`\hat(A_2)+\hat(BDA)=90^o` (`\hat(BAC)=90^o`)

`=>\hat(A_1)=\hat(A_2)`

Kẻ `DE bot AC` tại `E`

Xét `triangleAHD` và `triangleAED` có:

`\hat(AHD)=\hat(AED)=90^o` `(AH bot BC; DE bot AC)`

`AD`: cạnh chung

`\hat(A_1)=\hat(A_2)` (cmt)

`=>triangleAHD=triangleAED` (cạnh huyền - góc nhọn)

`=>AH=AE` (2 cạnh tương ứng)

Ta có: `EC<DC` (đường vuông góc nhỏ hơn đường xiên)

`=>EC+BD<DC+BD`

`=>EC+AB<BC`

`=>AE+EC+AB<BC+AH` (`AH=AE`)

`=>AC+AB<BC+AH`

Vậy đáp án đúng là `AB+AC<AH+BC`

Ta có `BH<BM` và `CK le CM` (quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên)

Do đó: `BH+CK le BM+CM=BC`

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi `BM=BH; CM=CK`

Hay đồng thời `H-=M` và `K-=M`. Tức là `Ax bot BC` tại `M`

Vì hai góc `B` và `C` nhọn nên khi đó `M` nằm giữa `B` và `C`, thỏa mãn điều kiện

Vậy để tổng `BH+CK` lớn nhất thì tia `Ax` vuông góc với `BC`