Bài luyện tập số 2

Câu 1

Nối những đáp án đúng với nhau

Cho hình vẽ sau. Nối cột bên trái với cột bên phải để được các kết quả đúng

1

H là trực tâm của

2

A là trực tâm của

3

B là trực tâm của

4

C là trực tâm của

tam giác HAB

1

tam giác HAC

2

tam giác HBC

3

tam giác ABC

4

(Hướng dẫn: Bạn hãy kéo miếng ghép màu xanh với miếng ghép màu cam tương ứng, hoặc click lần lượt vào hai miếng ghép đó để tạo thành đáp án đúng.)

Xem gợi ý

Gợi ý

Dựa vào định nghĩa trực tâm của tam giác

Đáp án đúng là:

1

H là trực tâm của

2

A là trực tâm của

3

B là trực tâm của

4

C là trực tâm của

tam giác ABC

4

tam giác HBC

3

tam giác HAC

2

tam giác HAB

1

Kiểm tra

Xem hướng dẫn giải

Câu tiếp theo

Hướng dẫn giải chi tiết

Từ hình vẽ ta có:

H là trực tâm của tam giác ABC

A là trực tâm của tam giác HBC

B là trực tâm của tam giác HAC

C là trực tâm của tam giác HAB

Câu 2

Chọn đáp án đúng nhất

Cho $triangleABC$ cân tại $B$ , $H$ là trực tâm. Để $H$ là trọng tâm của tam giác này thì cần thêm điều kiện gì?

$AB>AC$

$AB bot AC$

$hat(A)=60^o$

$hat(B)=90^o$

Xem gợi ý

Gợi ý

Sử dụng tính chất các đường cao và các đường trung tuyến trong tam giác để chỉ ra điều kiện của $triangleABC$ .

Đáp án đúng là:

$hat(A)=60^o$

Kiểm tra

Xem hướng dẫn giải

Câu tiếp theo

Hướng dẫn giải chi tiết

Xét $triangleABC$ cân tại $B$ . Ta có: $AB=BC$ (tính chất tam giác cân) (1)

Giả sử điểm $H$ là trực tâm đồng thời cũng là trọng tâm của tam giác

Khi đó ta có:

Đường thẳng $AH$ là đường cao đồng thời cũng là đường trung tuyến của $triangleABC$

$=>triangleABC$ cân tại $A$

$=>AB=AC$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $AB=BC=AC=>triangleABC$ đều $=>hat(A)=60^o$

Do đó để trực tâm $H$ đồng thời là trọng tâm $triangleABC$ thì cần thêm điều kiện là $hat(A)=60^o$ .

Câu 3

Chọn đáp án đúng nhất

Cho $△ABC$ nhọn có hai đường cao $AH$ và $BK$ cắt nhau tại $D$ .

Nếu $DA=DB$ thì $△ABC$ là tam giác gì?

$△ABC$ cân tại $A$

$△ABC$ cân tại $B$

$△ABC$ cân tại $C$

$△ABC$ đều

Xem gợi ý

Gợi ý

Sử dụng tính chất của đường cao để xét mối quan hệ số đo các góc trong các tam giác vuông

Đáp án đúng là:

$△ABC$ cân tại $C$

Kiểm tra

Xem hướng dẫn giải

Câu tiếp theo

Hướng dẫn giải chi tiết

Vì $DA=DB$ nên $△DAB$ cân tại $D => hat(DAB)=hat(DBA)$ (Tính chất tam giác cân) $(1)$

Xét $△AHB$ vuông tại $H$ có $hat(ABH)=90^o - hat(BAH)$ $(2)$

Xét $△ABK$ vuông tại $K$ có $hat(BAK)=90^o-hat(ABK)$ $(3)$

Từ $(1);(2);(3)$ $=> hat(ABH)=hat(BAK)$ hay $hat(ABC)=hat(BAC)$

$=> △ABC$ cân tại $C$

Vậy $△ABC$ cân tại $C$

Câu 4

Điền đáp án đúng

Cho $∆ABC$ cân tại $A$ , đường cao $BE$ cắt đường trung tuyến $AD$ ở $H$ .

Khi đó:

$CH$ tạo với $AB$ một góc º.

Đáp án đúng là:

$CH$ tạo với $AB$ một góc $90^o$ .

Kiểm tra

Xem hướng dẫn giải

Câu tiếp theo

Hướng dẫn giải chi tiết

Xét $∆ABC$ cân tại $A$ có: $AD$ là đường trung tuyến (gt) $=> AD$ cũng là đường cao của $∆ABC$

Ta có $BE$ là đường cao của $∆ABC$ mà $BE$ cắt $AD$ tại $H$

$=> H$ là trực tâm của $∆ABC$
$=> CH bot AB$ hay $CH$ tạo với $AB$ một góc $90^o$ .

Câu 5

Điền đáp án đúng

Cho biết có bao nhiêu tam giác trên hình vẽ mà có điểm $F$ là trực tâm?

Có tam giác có điểm $F$ làm trực tâm

Xem gợi ý

Gợi ý

Dựa vào định nghĩa trực tâm của tam giác

Đáp án đúng là:

$4$

Kiểm tra

Xem hướng dẫn giải

Câu tiếp theo

Hướng dẫn giải chi tiết

Từ hình vẽ ta có $QF⊥PR$ tại $F$

Do đó $F$ sẽ là trực tâm của các tam giác vuông mà có đỉnh $F$ là đỉnh góc vuông

Đó là các tam giác: $∆PFJ; ∆PFQ; ∆RFJ; ∆RFQ$

Vậy có $4$ tam giác có điểm $F$ làm trực tâm

Câu 6

Điền đáp án đúng

Cho tam giác $ABC$ , $2$ đường cao $AH,BK$ cắt nhau tại $I$ . Biết $hat(ACH)=50^o$ , tính $hat(HIK)$

$hat(HIK)=$ độ

Xem gợi ý

Gợi ý

Dựa vào mối quan hệ giữa các góc nhọn trong tam giác vuông, tính $hat(BIH)$ rồi từ $hat(BIH)$ suy ra $hat(HIK)$ .

Đáp án đúng là:

$130^o$

Kiểm tra

Xem hướng dẫn giải

Câu tiếp theo

Hướng dẫn giải chi tiết

Ta có: $hat(ACH)=50^o$ hay $hat(KCB)=50^o$

Xét $△BIH$ vuông tại $H$ (vì $AH⊥AC$ )

$=> hatB_1+hat(BIH)=90^o$ $(1)$

Xét $△BKC$ vuông tại $K$ (vì $BK⊥AC$ )

$=> hatB_1+hat(KCB)=90^o$ $(2)$

Từ $(1);(2) => hat(BIH)=hat(KCB)$ (cùng phụ $hatB_1$ )

$=> hat(BIH)=hat(KCB) = 50^o$

Lại có $hat(BIH)+hat(HIK)=180^o$ (hai góc kề bù)

$=> hat(HIK)=180^o-hat(BIH)=180^o-50^o=130^o$

Vậy $hat(HIK)=130^o$

Câu 7

Chọn đáp án đúng nhất

Tam giác $ABC$ có góc $A$ nhọn, kẻ đường cao $BK$ và $CH$ . Trên tia đối của tia $BK$ lấy điểm $E$ sao cho $BE=AC$ , trên tia đối của $CH$ lấy điểm $F$ sao cho $CF=AB$ . Cho biết tam giác $AEF$ là tam giác gì?

Tam giác vuông

Tam giác cân

Tam giác vuông cân

Tam giác đều

Đáp án đúng là:

Tam giác vuông cân

Kiểm tra

Xem hướng dẫn giải

Câu tiếp theo

Hướng dẫn giải chi tiết

Ta có: $hatB_1 + hat(BAC) =90^o$ (hai góc phụ nhau)

$hatC_1+hat(BAC)=90^o$ (hai góc phụ nhau)

$=> hatB_1 = hatC_1$

Ta có: $hat(ABE)+hatB_1=180^o$ (hai góc kề bù)

$hat(ACF)+hatC_1=180^o$ (hai góc kề bù)

Mà $hatB_1=hatC_1$ (chứng minh trên) $=> hat(ABE)=hat(ACF)$

Xét $△ABE$ và $△FCA$ có:

$AB=FC$ (giả thiết)

$hat(ABE)=hat(ACF)$ (chứng minh trên)

$BE=CA$ (giả thiết)

$=> △ABE=△FCA$ $(c.g.c)$

$=> AE=AF$ (hai cạnh tương ứng) $(1)$

và $hat(AEB)=hat(FAC)$ (hai góc tương ứng)

Ta có: $hat(EAF)=hat(EAB)+hat(BAC)+hat(FAC)$

$=hat(EAB)+hat(BAC)+hat(AEB)$

$=hat(EAK)+hat(AEK)$

$=90^o$ (do $△AEK$ vuông tại $K$ )

$=> hat(EAF)=90^o$ $(2)$

Từ $(1);(2)$ $=>$ $△AEF$ vuông cân tại $A$

Câu 8

Chọn đáp án đúng nhất

Cho tam giác $ABC$ nhọn có $H$ là trực tâm.

Cho biết phát biểu nào sau đây là đúng?

$AB+AC > HA+HB+HC$

$AB+AC < HA+HB+HC$

$AB+AC = HA+HB+HC$

$AB+AC <= HA+HB+HC$

Xem gợi ý

Gợi ý

Từ $H$ kẻ các đường thẳng song song với $AB;AC$

Áp dụng bất đẳng thức tam giác để so sánh $AB+AC$ với $HA+HB+HC$

Đáp án đúng là:

$AB+AC > HA+HB+HC$

Kiểm tra

Xem hướng dẫn giải

Câu tiếp theo

Hướng dẫn giải chi tiết

Qua $H$ kẻ đường thẳng song song với $AC$ cắt $AB$ tại $F$ , kẻ đường thẳng song song với $AB$ cắt $AC$ tại $E$

Vì $AE////HF$ (cách vẽ) nên: $hat(EAH)=hat(FHA)$ (hai góc so le trong thì bằng nhau)

Vì $AF////HE$ (cách vẽ) nên: $hat(AHE)=hat(HAF)$ (hai góc so le trong thì bằng nhau)

Xét $△AEH$ và $△HFA$ có:

$hat(EAH)=hat(FHA)$ (chứng minh trên)

$AH$ là cạnh chung

$hat(AHE)=hat(HAF)$ (chứng minh trên)

$=> △AEH=△HFA$ $(g.c.g)$

$=> EH=AF;AE=HF$ (hai cạnh tương ứng)

Vì $HF////AC$ (cách vẽ), mà $BH⊥AC$ (H là trực tâm) nên $BH⊥HF$ (từ vuông góc đến song song)

Tương tự: $CH⊥HE$

Khi đó $BF;BH$ lần lượt là đường xiên và vuông góc kẻ từ $B$ đến $FH$ nên $BF > BH$ (quan hệ đường xiên - đường vuông góc) (1)

$CE;CH$ lần lượt là đường xiên và vuông góc kẻ từ $C$ đến $EH$ nên $CE > CH$ (quan hệ đường xiên - đường vuông góc) (2)

Xét $△AEH$ có: $AE+EH > HA$ (bất đẳng thức tam giác) (3)

Ta có: $AB+AC=AF+FB+AE+EC$

$=> AB+AC=EH+FB+AE+EC$ (vì $EH=AF$ chứng minh trên)

$=> AB+AC=(AE+EH)+FB+EC$ (4)

Từ (1), (2), (3) và (4) $=> AB+AC > HA+HB+HC$

Vậy $AB+AC > HA+HB+HC$

Câu 9

Chọn đáp án đúng nhất

Cho tam giác $ABC$ có $AB=AC$ , kẻ $AH$ vuông góc với $BC$ $(H in BC)$ . Từ $H$ kẻ đường thẳng song song với $AC$ , cắt $AB$ tại $D$ . Gọi $G$ là giao của $CD$ và $AH$ .

Cho biết khẳng định nào sau đây là đúng?

$AB+AC+BC=AH+3BG$

$AB+AC+BC>AH+3BG$

$AB+AC+BC le AH+3BG$

$AB+AC+BC < AH+3BG$

Xem gợi ý

Gợi ý

Sử dụng tính chất trung tuyến kết hợp bất đẳng thức tam giác để so sánh $AB+AC+BC$ với $AH+3BG$

Đáp án đúng là:

$AB+AC+BC>AH+3BG$

Kiểm tra

Xem hướng dẫn giải

Hướng dẫn giải chi tiết

Ta có: $triangleABC$ cân tại $A$ (Vì $AB=AC$ )

$=>AH$ là đường cao đồng thời là đường phân giác

$=>hat(A_1)=hat(A_2)$ (1)

Mà $DH$ // $AC$ (gt) $=>hat(H_1)=hat(A_2)$ (hai góc so le trong) (2)

Từ (1) và (2) suy ra $hat(A_1)=hat(H_1) (=hat(A_2))=>triangleADH$ cân tại $D=>DA=DH$

Vì $DH$ // $AC$ (gt) $=>hat(H_2)=hat(ACB)$ (hai góc đồng vị) (3)

Mặt khác $hat(ABC)=hat(ACB)$ (do $triangleABC$ cân tại $A$ ) (4)

Từ (3) và (4) suy ra $hat(H_2)=hat(ABC) (=hat(ACB))$

$=>triangleDBH$ cân tại $D$

$=>DB=DH$

Mà $DA=DH$ (cmt)

$=>DB=DA$

$=>D$ là trung điểm của $AB$

$=>CD$ là đường trung tuyến của $triangleABC$

Xét $triangleABC$ cân tại $A$ có $AH$ là đường cao nên $AH$ đồng thời là đường trung tuyến

Hai đường trung tuyến $AH, CD$ của $triangleABC$ cắt nhau tại $G$

$=>G$ là trọng tâm của $triangleABC$

Gọi $E$ là trung điểm của $AC$

Ta có $BE$ là trung tuyến của $triangleABC$

Do $G$ là trọng tâm của $triangleABC$ nên $G in BE$ và $BG=2/3BE$

$=>3BG=2BE$ (5)

Trên tia đối của tia $EB$ lấy điểm $K$ sao cho $EK=EB$

$=>BK=BE+EK=2BE$ (6)

Từ (5) và (6) suy ra $3.BG=BK$

Xét $triangleAEK$ và $triangleCEB$ có:

$AE=CE; hat(AEK)=hat(CEB)$ (hai góc đối đỉnh); $EK=EB$

$=>triangleAEK=triangleCEB$ (c.g.c)

$=>AK=BC$ (hai cạnh tương ứng)

Xét $triangleABK$ có: $AB+AK>BK$ (Bất đẳng thức tam giác)

$=>AB+BC>3BG$ (do $AK=BC; BK=3BG$ )

Mà $AC>AH$ (đường xiên lớn hơn đường vuông góc)

$=>AB+BC+AC>3BG+AH$ (đpcm)