`1`.Nhắc lại về thứ tự trong tập hợp số thực
Trong hai số thực khác nhau luôn có một số nhỏ hơn số kia.
- Nếu số thực `a` nhỏ hơn số thực `b` thì ta viết `a < b` hay `b > a`.
- Số thực lớn hơn `0` gọi là số thực dương.
- Số thực nhỏ hơn `0` gọi là số thực âm.
Ta đã có các kết quả sau:
- Trên trục số nằm ngang, nếu số thực `a` nằm bên trái số thực `b` thì `a < b` hay `b > a`.
- Tổng của hai số thực dương là số thực dương. Tổng của hai số thực âm là số thực âm.
- Với hai số thực `a, b` ta có:
`ab > 0` thì `a, b` cùng dương hoặc cùng âm (hay `a, b` cùng dấu) và ngược lại;
`ab < 0` thì `a, b` trái dấu và ngược lại.
- Với `a, b` là hai số thực dương, nếu `a > b` thì `sqrt a > sqrt b`.
`2`.Bất đẳng thức
a)Khái niệm
Ta gọi hệ thức dạng `a < b` (hay `a > b`, `a >= b`, `a <= b`) là bất đẳng thức và gọi `a` là vế trái, `b` là vế phải của bất đẳng thức.
Ví dụ: `3 < 4, x > 2, 2x + 3y >= 0, x <= y` là các bất đẳng thức.
b)Chú ý
- Hai bất đẳng thức `a < b` và `c < d` (hay `a > b` và `c > d`) được gọi là hai bất đẳng thức cùng chiều.
- Hai bất đẳng thức `a < b` và `c > d` (hay `a > b` và `c < d`) được gọi là hai bất đẳng thức ngược chiều.
Ví dụ: Cặp bất đẳng thức `5 > 2` và `3 > 1` là cùng chiều.
Cặp bất đẳng thức `-1 < 2` và `10 > 4` là ngược chiều.
`3`.Một số tính chất
a)Tính chất `1`
Với hai số thực `a` và `b`, ta có:
- Nếu `a > b` thì `a - b > 0`. Ngược lại, nếu `a - b > 0` thì `a > b`.
- Nếu `a < b` thì `a - b < 0`. Ngược lại, nếu `a - b < 0` thì `a < b`.
- Nếu `a >= b` thì `a - b >= 0`. Ngược lại, nếu `a - b >= 0` thì `a >= b`.
- Nếu `a <= b` thì `a - b <= 0`. Ngược lại, nếu `a - b <= 0` thì `a <= b`.
Nhận xét: Do khẳng định nêu trên, để chứng minh `a > b`, ta có thể chứng minh `a - b > 0` hoặc `b - a < 0`.
Ví dụ: Cho `a < b`. Chứng minh `2a - b < a`
Giải
Do `a < b` nên `a – b < 0`
Xét hiệu `(2a - b) - a = a - b < 0`. Vậy `2a - b < a`.
b)Tính chất `2`
- Khi cộng cùng một số vào cả hai vế của một bất đẳng thức, ta được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.
Ví dụ: Vì `3 > 2` nên `3 + 1 > 2 + 1` suy ra `4 > 3`.
- Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số dương, ta được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.
Ví dụ: Vì `3 > 2` nên `3.3 > 2.3` suy ra `9 > 6`.
- Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số âm, ta được bất đẳng thức mới ngược chiều với bất đẳng thức đã cho.
Ví dụ: Vì `3 > 2` nên `3.(-3) < 2.(-3)` suy ra `-9 < -6`.
c)Tính chất `3`
Nếu `a > b` và `b > c` thì `a > c`.
Ví dụ: Nếu `10 > 2` và `2 > 1` thì `10 > 1`.
Hotline: 1900 633 551
