Bài 2: Bất phương trình bậc nhất một ẩn

1. Mở đầu về bất phương trình một ẩn

- Một bất phương trình với ẩn `x` có dạng `A(x) > B(x)` (hoặc `A(x) < B(x)`; `A(x) >= B(x)`; `A(x) <= B(x)`) trong đó vế trái và vế phải  là hai biểu thức của cùng biến `x`.

Ví dụ: `3x-2 > x^2 +1; -x^2+2x+3 < 3x; x+2 >= 5x-2`; .....

- Khi thay giá trị `x=a` vào bất phương trình với ẩn `x`, ta được một khẳng định đúng thì số `a` (hay giá trị `x=a`) gọi là nghiệm của bất phương trình đó.

Ví dụ: Cho bất phương trình `2x + 3 > 3x - 5`

*) Thay giá trị `x = 2` vào bất phương trình đã cho, ta được `2.2 + 3 > 3.2 - 5` là khẳng định đúng.

Vậy giá trị `x = 2` là nghiệm của bất phương trình `2x + 3 > 3x - 5`.

*) Thay giá trị `x = 10` vào bất phương trình đã cho, ta được `2.10 + 3 > 3.10 - 5` là khẳng định không đúng.

Vậy giá trị `x = 10` không là nghiệm của bất phương trình `2x + 3 > 3x - 5`.

2. Bất phương trình bậc nhất một ẩn

- Định nghĩa: Bất phương trình dạng `ax + b > 0` (hoặc `ax + b < 0`; `ax + b >= 0`; `ax + b <= 0` ) với `a, b` là hai số đã cho và `a ne 0` được gọi là bất phương trình bậc nhất một ẩn.

Ví dụ: `2x + 3 > 0; 3,5x -1/2 >=0; 0,5x- 0,7 <0`; …..

- Cách giải:

Bất phương trình `ax + b > 0` (với `a > 0`) được giải như sau:

`ax+b > 0`

`ax > -b`

`x > -b/a`

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là: `x > -b/a`.

Bất phương trình `ax + b > 0` (với `a < 0`) được giải như sau:

`ax+b > 0`

`ax > -b`

`x < -b/a`

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là: `x < -b/a`.

Chú ý: Các bất phương trình bậc nhất `ax + b < 0`; `ax+b>=0`; `ax+b <=0` với `a, b` là hai số đã cho và `a ne 0` được giải bằng cách tương tự.

Ví dụ `1`: Giải các bất phương trình sau

a) `2/3x -3 >= 0`

`2/3x >= 3`

`x >= 3. 3/2`

`x >= 9/2`

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là `x >= 9/2`.

b) `-5x + 5/4 < 0`

`-5x < -5/4`

`x > (-5)/4. 1/(-5)`

`x> 1/4`

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là `x> 1/4`.

Ví dụ `2`: Giải bất phương trình `5x +3 > x+ 19`

Để giải bất phương trình trên, ta làm như sau:

`5x +3 > x+ 19`

`5x+3-x > 19`       (Cộng cả hai vế với `- x` )

`4x> 19-3`    (Cộng cả hai vế với `- 3`)

`4x > 16`

 `x > 4`     (Nhân cả hai vế với `1/4`)

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là `x > 4`.

Nhận xét:  Bằng cách tương tự như trên, ta có thể giải được các bất phương trình dạng `ax+b > cx+ d`; `ax+b < cx+ d`; `ax+b >= cx+ d`; `ax+b <= cx+ d`. ( với `a ne c`)