Bài 1: Đường tròn. Vị trí tương đối của hai đường tròn

1. Khái niệm đường tròn

 - Trong mặt phẳng, đường tròn tâm `O` bán kính `R` là tập hợp các điểm cách điểm `O` một khoảng bằng `R (R > 0)`, kí hiệu là `(O; R)`.

- Chú ý:

• Một đường tròn hoàn toàn xác định khi biết tâm là bán kính.
• Khi không quan tâm đến bán kính của đường tròn `(O; R)`, ta cũng có thể kí hiệu đường tròn là `(O)`.

- Nhận xét:

• Nếu điểm `M` thuộc đường tròn `(O)` (hay ta còn nói điểm `M` nằm trên đường tròn `(O)`, hoặc đường tròn `(O)` đi qua điểm `M`) thì `OM = R` và ngược lại.
• Nếu điểm `M` nằm bên trong (hay nằm trong, ở trong) đường tròn `(O)` thì `OM < R` và ngược lại.
• Nếu điểm `M` nằm bên ngoài (hay nằm ngoài, ở ngoài) đường tròn `(O)` thì `OM > R` và ngược lại.

- Ví dụ: Cho đường tròn `(O; R)` và `3` điểm `A, B, C` (hình vẽ). So sánh độ dài các đoạn thẳng `OA, OB, OC` với `R`.

Giải

Vì `A` thuộc `(O; R)` nên `OA = R`.

Vì `B` nằm bên trong `(O; R)` nên `OB < R`.

Vì `C` nằm bên ngoài `(O; R)` nên `OC > R`.

2. Liên hệ giữa đường kính và dây của đường tròn

- Đoạn thẳng nối hai điểm phân biệt thuộc đường tròn được gọi là dây (hay dây cung) của đường tròn.

- Dây đi qua tâm là đường kính của đường tròn. Trong các dây của đường tròn, dây lớn nhất là đường kính.

3. Tính đối xứng của đường tròn

- Nhận xét: Điểm đối xứng của một điểm tùy ý trên đường tròn qua tâm của đường tròn cũng nằm trên đường tròn đó.

- Đường tròn là hình có tâm đối xứng. Tâm của đường tròn là tâm đối xứng của đường tròn đó.

- Đường tròn là hình có trục đối xứng. Mỗi đường thẳng đi qua tâm là một trục đối xứng của đường tròn đó.

4. Vị trí tương đối của hai đường tròn

a) Hai đường tròn cắt nhau

- Hai đường tròn có đúng hai điểm chung gọi là hai đường tròn cắt nhau.

- Nhận xét: Cho hai đường tròn `(O; R)` và `(O'; r)` với . Người ta chứng minh được khẳng định sau: Nếu hai đường tròn đó cắt nhau thì `R - r < OO' < R + r`. Điều ngược lại cũng đúng.

b) Hai đường tròn tiếp xúc nhau

- Hai đường tròn có đúng một điểm chung gọi là hai đường tròn tiếp xúc nhau (tại điểm chung đó).

Điểm chung của hai đường tròn tiếp xúc nhau gọi là tiếp điểm.

- Nhận xét: Cho hai đường tròn `(O; R)` và `(O'; r)`. Người ta chứng minh được các khẳng định sau:

• Nếu hai đường tròn đó tiếp xúc ngoài thì tiếp điểm nằm giữa `O, O'` và `OO' = R + r`. Điều ngược lại cũng đúng.
• Giả sử `R > r`. Nếu hai đường tròn đó tiếp xúc trong thì điểm `O'` nằm giữa `O, A` và `OO' = R - r`. Điều ngược lại cũng đúng.

c) Hai đường tròn không giao nhau

- Hai đường tròn không có điểm chung gọi là hai đường tròn không giao nhau.

- Nhận xét: Cho hai đường tròn `(O; R)` và `(O'; r)`. Người ta chứng minh được các khẳng định sau:

• Nếu hai đường tròn ở ngoài nhau thì `OO' > R + r`. Điều ngược lại cũng đúng.
• Giả sử `R > r`. Nếu đường tròn `(O)` đựng đường tròn `(O')` thì `OO' < R -r`. Điều ngược lại cũng đúng.

Ví dụ: Cho `2` đường tròn `(O; 3cm)` và `(O'; 5cm)`. Xét vị trí tương đối của `2` đường tròn trong các trường hợp sau:

a) Biết `OO' = 8 cm`

b) Biết `OO'=9 cm`

c) Biết `OO' = 7 cm`

Giải

a) Xét đường tròn `(O)` và `(O')` có: `OO' = 3+5 (= 8 cm)` nên đường tròn `(O)` tiếp xúc ngoài với `(O')`

b) Xét đường tròn `(O)` và `(O')` có: `OO' > 3+5 (9 cm > 8 cm)` nên đường tròn `(O)` và `(O')` ở ngoài nhau

c) Xét đường tròn `(O)` và `(O')` có: `5-3 < OO' < 3+5 (2cm < 7cm < 8cm)` nên đường tròn `(O)` cắt đường tròn `(O')`

Nhận xét: Ta có thể nhận biết vị trí tương đối của hai đường tròn `(O; R)`, `(O'; r)` (`R >= r`) thông qua hệ thức giữa `OO'`với `R` và `r` được tóm tắt trong bảng sau: