Bài 2: Phương trình bậc hai một ẩn

1. Định nghĩa

- Phương trình bậc hai một ẩn (nói gọn là phương trình bậc hai) là phương trình dạng `ax^2+bx+c=0` trong đó `x` là ẩn; `a, b, c` là những số cho trước gọi là các hệ số và `a ne 0`.

- Ví dụ: Các phương trình `2x^2+x-5=0`, `3x^2-7=0` là các phương trình bậc hai.

2. Giải phương trình

- Xét phương trình `ax^2+bx+c=0 (a ne 0)` và biệt thức `Delta=b^2-4ac`.

• Nếu `Delta >0` thì phương trình có hai nghiệm phân biệt

`x_1 = (-b+sqrt Delta)/(2a)`; `x_2 = (-b-sqrt Delta)/(2a)`.

• Nếu `Delta =0` thì phương trình có nghiệm kép `x_1=x_2=-b/(2a)`.
• Nếu `Delta < 0` thì phương trình vô nghiệm.

- Ví dụ: Giải phương trình `2x^2-x-3=0`.

Giải

Phương trình có các hệ số `a=2`, `b=-1`, `c=-3`,

`Delta = (-1)^2-4.2.(-3)=25>0`

Do `Delta >0` nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là:

`x_1=(-(-1)+ sqrt 25)/(2.2)=3/2`; `x_2=(-(-1)- sqrt 25)/(2.2)=-1`

- Nhận xét: Xét phương trình `ax^2+bx+c=0 (a ne 0) với`b=2b'`và`Delta' = b'^2-ac`.

• Nếu `Delta'>0` thì phương trình có hai nghiệm phân biệt

`x_1 = (-b'+ sqrt Delta')/a`; `x_2 = (-b'- sqrt Delta')/a`.

• Nếu `Delta'=0` thì phương trình có nghiệm kép `x_1=x_2=-b'/a`.
• Nếu `Delta'<0` thì phương trình vô nghiệm.

- Ví dụ: Giải phương trình `3x^2-4x-2=0`.

Giải

Phương trình có các hệ số `a=3`, `b'=-2`, `c=-2`

`Delta' = (-2)^2-3.(-2)=10>0`

Do `Delta'>0` nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là:

`x_1=(-(-2)+ sqrt 10)/3=(2+sqrt 10)/3`; `x_2=(-(-2)- sqrt 10)/3=(2-sqrt 10)/3`

3. Ứng dụng của phương trình bậc hai một ẩn

- Để giải bài toán trên bằng cách lập phương trình bậc hai, ta có thể làm như sau:

Bước `1`: Lập phương trình bậc hai

+ Chọn ẩn số và đặt điều kiện cho ẩn số.

+ Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.

+ Lập phương trình bậc hai biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

Bước `2`: Giải phương trình bậc hai

Bước `3`: Kết luận

+ Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thỏa    mãn, nghiệm nào không thỏa mãn điều kiện của ẩn.

+ Đưa ra câu trả lời.

4. Sử dụng máy tính cầm tay để tìm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn

- Quy tắc chung: Mở chương trình giải phương trình bậc hai một ẩn  rồi nhập dữ liệu.