Bài 3: Định lí Viète

1. Định lí Viète

Nếu `x_1`; `x_2` là hai nghiệm của phương trình `ax^2 + bx + c = 0 (a ne 0)` thì

`x_1+x_2=-b/a`; `x_1x_2=c/a`

Nhận xét:

• Nếu phương trình `ax^2+bx+c=0 (a ne 0)` có `ac<0` thì `Delta = b^2-4ac>0`, do đó phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
• Nếu phương trình `ax^2+bx+c=0 (a ne 0)` có `a+b+c=0` thì phương trình có một nghiệm là `x_1=1` và nghiệm còn lại là `x_2=c/a`.
• Nếu phương trình `ax^2+bx+c=0 (a ne 0)` có `a-b+c=0` thì phương trình có một nghiệm là `x_1=-1` và nghiệm còn lại là `x_2=-c/a`

Ví dụ: Cho phương trình `x^2+5x-3=0`

a) Chứng minh rằng phương trình có hai nghiệm phân biệt `x_1`; `x_2` và cả hai nghiệm đều khác `0`.

b) Tính `x_1^2 +x_2^2`

Giải

a) Phương trình có các hệ số `a = 1`, `b = 5`, `c = -3`. Ta có `ac < 0`. Do đó, phương trình đã có có `2` nghiệm phân biệt `x_1`; `x_2` và `x_1x_2 = -3 < 0` nên cả hai nghiệm `x_1`; `x_2` đều khác `0`.

b) Theo định lí Viete, ta có: `x_1+x_2=-5`; `x_1x_2=-3`.

Do đó: `x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=(-5)^2-2(-3)=31`.

2. Tìm hai số khi biết tổng và tích

Nếu hai số có tổng bẳng `S` và tích bẳng `P` thì hai số đó là nghiệm của phương trình 

`x^2-Sx+P=0`

Chú ý: Điều kiện để có hai số đó là `S^2-4P>=0`.

Ví dụ: Cho hai số có tổng bằng `4` và tích bằng `- 21`. Phương trình bậc hai ẩn `x` nhận hai số trên làm nghiệm là: `x^2 - 4x - 21 = 0`.